Шпаргалка по "Математике"

Докажем что (х^п)^/=пх^п-1:1)Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение ф-ции у+∆у=(х+∆х)^п ; 2) Находим приращение ф-ции ∆у=(х+∆х)^п- х^п= х^п+ пх^п-1∆х+ пх∆х^п-1+∆х^п-х^п=∆х(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1). 3)составим отношение ∆у/∆х= пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1

4) найдем предел у^/=lim_∆x→0∆у/∆х= lim_∆x→0(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1)=nx^n-1.

б)Теорема: Пусть ф-ция у=f(x)- сложная ф-ция, где и=φ(х), тогда, если ф-ции f(и), φ(х) явл дифференцируемыми ф-ми, то производная сложной ф-ции по независимой переменной х: у^/х=f^|и×и^/х.  1)(z^a)^/=az^a-1×∙z^/; 2) (z^1/2)^/=1/2z^1/2∙ z^/;3) (sinz)^/=cosz∙z^/;4) ( cosz)^/= -sinz∙z^/;5) (tgz)^/=1/ cos²z∙z^/; 6) (сtgz)^/= -1/ sin²z∙z^/.

 

№26 Основные правила дифференцирования  ф-ций одной переменной (одно из них  доказать).

1) Производная постоянной  равна нулю С^/=0(т к любое приращение постоянной ф-ции у=С равно0. 2)производная аргумента=1, т е х^/=1(следует из (х^п)^/=пх^п-1 при п=1).

В след случаях будем  полагать, что и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции. 3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций (и+ v)^/= и^/+ v^/. 4) Производная произведения двух дифференцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения 1-го сомножителя на производную 2-го, т е (иv)^/= и ^/v + и v^/.

1^о Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (си)^/= си^/.  2^о Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)^/= u^/vw+ uv^/w+ uvw^/. 5) Производная частного 2-х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле: (u/v)^/= (u^/v- uv^/)/ v².

Докажем 4): Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции.Найдем производную ф-ции у= иv,∆х≠0,наращение для ф-ции и- и+∆и, для v- v+∆v, а ф-ция у- значение у+∆у=(и+∆и)(v+∆v). Найдем приращение: ∆у=(и+∆и)(v+∆v)-uv=uv+∆иv+u∆v+∆и∆v-иv=∆иv+ u∆v+∆и∆v,следов. ∆у/∆х=∆и/∆х v+ u∆v/∆х +(∆и/∆х)∙( ∆v/∆х) ∆х. Найдем придел этого отношения про ∆х→0, используя теоремы о пределах: lim_∆х→0∆у/∆х= lim_∆х→0∆и/∆х v+ lim_∆х→0 u∆v/∆х + lim_∆х→0 (∆и/∆х)∙ lim_∆х→0 ( ∆v/∆х)∙ lim_∆х→0 ∆х. На основании определения производной получили, что у^/= и ^/v + и v^/+и ^/ v^/∙0 или у^/= и ^/v + и v^/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное  условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и  правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное  усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

 

№31 Достаточные признаки существования  экстремума (доказать одну из теорем).

1) Если при переходе  ч/з т. х_о производная дифференцируемой ф-ции у=f(x) меняет свой знак с «+» на «-», то т. х_о есть точка максимума ф-ции у=f(x) , а если с «-» на «+», то –точка минимума.

Пусть производная меняет знак с  «+» на «-»,т е в некотором  интервале (а,х_о) производная положительна (f ^/(х)>0), а в некотором интервале (х_о;b)- отрицательна (f ^/(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности ф-ция f(x) возрастает на интервале (а;х_о) и убывает на (х_о;b).  По опред возрастающей ф-ции f (х_о)≥ f (х) при х є (а;х_о), а по опред убывающей ф-ции f (х_о)≤ f (х) при х є (х_о;b), т е f (х_о)> f (х) при всех х є (а;b), следов. т. х_о- точка максимума ф-ции у=f(x). Аналогично, когда производная меняет знак с «-» на «+».

2) Если первая производная f ^/(х) дважды дифференцируемой ф-ции =0 в некоторой точке х_о, а вторая производная в этой точке f ^//(х) положительна, то х_о- есть точка минимума ф-ции f ^/(х), если f ^//(х)-отрицательна, то х_о- точка минимума.

 

№32 а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

а)Асимптотой графика ф-ции наз прямая, обладающая след св-ми: при удалении точки на графике ф-ции от начала координат, расстояние от этой точки до прямой стремится к 0.

б)1) Прямая х=х_о явл вертикальной асимптотой графика ф-ии у=f(х), если хотябы один из односторонних пределов ф-ции при х→х_о равен ∞: lim _х→хо+-0 f(х)=∞.(рис.)

т.х_о при этом явл точкой разрыва ф-ции.

2) Прямая у=b явл горизонтальной асимптотой ф-ции, если ф-ция определена при достаточно больших значениях х и сущ предел: lim _х→∞f(х)=b.(рис.)

3)Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой ф-ии у=f(х), если ф-ия определена при достаточно больших значениях х и сущ конечные пределы: k=lim_x→+-∞ f(х)/х; b= lim_x→∞[f(x)-kx].(рис.)

Горизонтальная асимптота  явл частным случаем наклонной  асимптоты при k=0, поэтому у ф-ии в одном направлении не может быть одновременно горизонтальной и наклонной асимптот.

Пример: у=(2х²-1)/х.   1)вертик.асимптоты х=0; lim _х→0+0(2х²-1)/х= -∞; lim _х→0-0(2х²-1)/х=∞; х=0-вертик. асимптота.   2) наклонные асимптоты y=kx+b;  k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(2х²-1)/хх =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х²(2-1/х²)/х²=2; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[(2х²-1)/х-2х]= lim_x→∞(2х²-1-2х²)/х = lim_x→∞(-1)/х =0. у=2х+0; у=2х-наклонная асимтота. {если k=0, то горизонтальная асимптота }, {если получается ∞, то горизонтальных и вертикальных асимптот нет}.

 

№33 Общая схема исследования ф-ий и  построения их графиков. Пример.

1) Область определения  ф-ии, 2) исследовать на четность, нечетность, 3) найти асимптоты графика, 4)Исследовать ф-цию на возрастание  и убывание и найти экстремумы. 5) Найти точки пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1)V(-1;1)V(1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ.   3) асимптоты : -вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b;  k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота.   4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0 , 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

6)

 

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные  производные (определение). в)Экстремум ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

а) Пусть имеется п переменных величин и каждому набору из значений (х_1,х_2,…,х_п) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана ф-ция нескольких переменных z=f(x₁,…,x_n). Z=πх₁²х₂- задает объем цилиндра z как ф-цию 2-ух переменных: х₁(радиус основания) и х₂(высоты). Z=а₁х₁ +а₂х₂+…+ а_пх_п+ b, где а,…, а_п, b-постоянные числа (линейная ф-ция). Ф-ция Z=1/2∑^п_i,j=1b_ijx_ix_j (b_ij-постоянные числа) называется квадратической.

б) Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0( если этот предел сущ) Z^/x, f ^/х(х,у) .

в) Точка М(х_о;у_о) называется точкой максимума (минимума) ф-ции z=f(x_,у)_, если сущ окрестность точки М, такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x_o;y_o)≥f(x;y)(( f(x_o;y_o)≤f(x;y)).

Необходимое условие  экстремума. Теорема: Пусть точка (x_o;y_o)- есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x_,у). Тогда частные производные f ^/х(x_o;y_o) и f ^/у(x_o;y_o) в этой точке =0.

 

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод системы нормальных уравнений).

а) Формулы служащие для аналитического представления опытных данных наз эмпирическими формулами.  Суть метода наименьших квадратов: Неизвестные параметры ф-ции у= f(x) подбираются таким образом, чтобы ∑ квадратов невязок была минимальной. Невязками наз  отклонения м/д теоретическими значениями f(x_i), полученных по формуле у= f(x) и эмпирическими значениями у_i обозначается δ_i= f(x_i)-у_i.

б) Предположим, что м/д х и у сущ линейная зависимость (х, у- переменные), т е  у=ах+b. ∫=∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)² должна быть min. а,b-переменные;{S^/а=0, S^/b=0}; S^/а=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, S^/b=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)1=0; ∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, ∑^п₀₌₁(ах_i+b-y_i)=0; {∑^п_i=1ах_i+∑^п_i=1bх_i-∑^п_i=1y_iх_i=0; ∑^п₀₌₁ах_i+∑^п₀₌₁b-∑^п₀₌₁y_i)=0};и {а∑х_i²+b∑х_i=∑y_iх_i; a∑х_i+nb=∑y_i}.

 

№36 а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

а)Дифференциалом ф-ции наз главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ции равная произведению производной на приращение независимой переменной (обозначается dy- главная линейная часть) dy= f(x) ∆х (1). Дифференциал независимой переменной х равен приращению этой переменной, тогда формулу (1) можно записать как dy= f^/(x)dх. С геометрической точки зрения дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции у= f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆х.

Рассм график ф-ии у= f(x):

т.М –произвольная, <φ-егол наклона касательной к ОХ. ∆у=АВ+ВК, из ∆АМВ найдем АВ: АВ=tg φМА= tg φ∆х=f ^/(х) ∆х; ∆у= f ^/(х) ∆х+ВК.

б)Инвариантность (неизменность) формулы дифференциала: Если ф-ция у= f (х), следов. dy= f^/(x)dх. Рассм сложную ф-цию у=f(u),где u=φ(х). Найдем производную ф-ции. у^/х= f ^/u∙ u^/х |∙ dх; у^/х dх= f ^/u∙ u^/х dх;  dу= f ^/u∙ du.  Т о видно, что формула дифференциала не изменится, если вместь ф-ции от независимой переменной Х рассматривать ф-цию от зависимой переменной u.

 

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак Лейбнмца сходимости знакочередующихся рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

а) Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: и₁-и₂-и₃-и₄+…+(-1)^п-1и_п+…, где и_п>0.

б)Теорема(Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и₁ >и₂>…>u_n>…и предел его общего члена при п→∞ равен 0, т е limu_n=0,то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

в) Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд наз условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

 

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

а) Ф-ции, построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной ф-ции, наз элементарными.

б)1)Постоянная: у=b (b||OX) (рис.)

2)Степенная: А) у=х^п, п -натуральное число. Для п-четного (рис у=х², у=х⁴): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)-убывает, (0;+∞)-возрастает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х, у=х³, у=х⁵): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. Б) у=1/х^п, п- натуральное число. Для п-четного (рис у=1/х², у=1/х⁴); 1-D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)- возрастает, (0;+∞)- убывает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=1/х): 1- D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)= (-∞;0)V(0;+∞); 3-(-∞;0), (0;+∞)-убывает; 4- нечетные; 5- непериодичные. В) у=х^1/п. Для п-четного (рис у=х^1/2). 1-D(f)=[0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х^1/3): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные.3)Показательная: у=а^х (а>0; a≠1). Для а>1(рис): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3(-∞;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3- (-∞;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные. 4)Логарифмическая: (а>0; a≠1). У=log_ax. Для а>1(рис): 1-D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (0;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные.