Шпаргалка по "Математике"

В) у=е^х. Имеем f(x)=f ^/(x)=f ^//(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)= е^х; f(0)=f ^/(0)=f ^//(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)= е^o=1. По формуле 1/1∙2+1/2∙3+…+1/3∙4+…+1/п(п+1)+…. е^х =1+х+х²/2!+х³/3!+…+х^п/п!+…. Область сходимости ряда (-∞;+∞).

7. Собственные  векторы и собственные значения  матрицы. Характеристическое уравнение  матрицы.

Опр:В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-е А_nx1* Х_nx1=Y_* X_nx1,где Y-собств.зн-е квадр.м-цы А.коллинеарный в-р.

Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А^~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х.

Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров.Т.к. Х_nx1=Е_{nx1 *} Х_nx1, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если _^ = |A-YE|=0,то т.к.все _^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0).

Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х.

Св-ва собств.зн-ний  м-цы А: 1)Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y₁,Y₂,...,Y_n.

2)Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу.

3)Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд.

4)Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А^-1. 5)Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Y^m-собств.зн-е м-цы А^m, где m – натур.ч-ло.

13. Понятие  элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

Элементарная  ф-ция.

Опр:Эл.ф-ция – составленная из основных элементарных (константа,степенная,логарифм. и т..д.) при помощи алгебраических действий или при помощи конечного числа операций образования сложной ф-ции.

Алгебраической наз-ся ф-ция, в кот. над аргументом производится конеч.ч-ло алгебраич.действий. К ч-лу алг.ф.относят:1)целая рациональная ф-ция: у=а₀хⁿ + а₁х^n-1 + … + а_n-1х + а_n; 2)дробно-рациональная ф-ция – отношение 2-х многочленов; 3)иррациональная ф-ция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня.

Преобр-е графиков. 1.Гр.ф-ции у=f(х+а) есть гр. у=f(х), сдвинутый (при а>0 влево, при а<0 вправо) на |а| ед-ц парал-но оси Ох.

2.Гр.ф-ции у=f(х)+b есть гр. у=f(х), сдвинутый (при b>0 вверх, при b<0 вниз) на |b| ед-ц параллельно оси Оу.

3.Гр.ф-ции у=mf(х) (m не=0) есть гр. у=f(х), растянутый (при m>1) в m раз или сжатый (при 0<m<1) вдоль оси Оу. При –беск.<m<0 гр.ф-ции у=mf(х) есть зеркальное отображение гр. у=-mf(х) от оси Ох.

4.Гр.ф-ции у=f(kх) (k не=0) есть гр. у=f(х), сжатый (при k>1) в k раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси Ох. При –беск.<k<0 гр.ф-ции у=f(kх) есть зеркальное отобр-е гр-ка у=-f(kх) от оси Оу.

Осн.эл.ф.:(только непериодические ф-ци!)1)Степенная ф: а) y=xⁿ (n принадл.N) Обл.опр.: (-б,+б); Обл.зн.:(-б,+б),если n-неч.,[0;б), если n-неч.; Чет/нечет: Неч,если n-неч; чет-если n – чёт.; График: Возрастает на (-б;+б), если n- неч; убывает на (-б;0], возр.на (0;б), если n – чёт.

б) у= x^-n (n принад. N). Обл.опр.: (-б;0) U (0,б); Обл.зн.: (-б,0) U (0,б), если n – неч., [0,б), если n – чёт. Чет/нечет: Неч.,если n –неч., Чёт,если n-чёт.; График: Убыв.на (-б,0) и на (0,б),если n-неч.; возр.на (-б,0) и убыв. на (0,б),если n-чёт.

в) у =ⁿкв.к.х (n принад. N, n>1). Обл.опр.: (-б,б), если n-неч., [0,б), если n-чёт. Обл.зн.: (-б,б),если n-неч., [0,б), если n-чёт. Чёт/нечёт: Неч., если n-неч, общ. в., если n-чёт. График: Возр. на (-б,б), если n-неч, возр. На [0,б), если n-чёт.

2)Показательная  ф.: у=а^x (а>0, а не=1) Обл.опр.: (-б,б); Обл.зн.: (0,б); Чёт/нечёт: общ.в; График: Возр. на (-б,б), если а>1, убыв. на (-б,б), если (-б,б), если 0<а<1.

3)Логарифмическая  ф.: у=log_ax (a>0, a не=0) Обл.опр.: (0,б); Обл.зн.: (-б,б); Чёт/Нечёт: общ.в; График: Возр. на (0,б), если а>1, убыв. на (0,б), если 0<а<1.