Шпаргалка по "Математике"

Теорема. Пусть для ряда ∑^∞_п=1и_п с положительными членами сущ предел отношения (п+1)-го члена к п-му члену lim_n→∞(u_n+1)/u_n=L. Тогда, если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится, если l=1, то вопрос остается нерешенным. Примеры: а) ½+2/2²+…+п/2^п+…, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞((п+1)/(2^п+1))п/2^п= lim_n→∞(п+1)/2п=1/2<1, то по признаку Даламбера ряд сходится. б) ∑^∞_п=13^пп!/п^п, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞(3^п+1(п+1)!/(п+1)^п+1)/(3^пп!/п^п)= lim_n→∞(3п/(п+1))^п=3/( lim_n→∞(п/(п+1))^п=3/е>1-расходится.

 

 

№16 а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной ф-ии).

а) Число А наз пределом чиловой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такой номер N (зависящий от ε, N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|<ε. Предел числовой последовательности обозначается lim_n→∞a_n=A или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, наз сходящейся, в противном случае-расходящейся. Число А наз пределом ф-ии у=f(x) при х→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число М=0, что для всех х удовлетворяющих равенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<E.При этом говорят, что A=lim_x→∞f(x).

б)Теорема1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел. Теорема2: Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших значениях х) ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при х→х_о (или х→∞), то ф-ия f(x) имеет тот же предел А.  Пусть при х→х_о lim _х→хо φ(х)=А, lim _х→хо ψ(х)=А. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0, сто для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ будут верны одновременно неравенства | φ(х)-А|<ε, | ψ(х)-А|<ε или А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε. Т к по усл ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ми, т е φ(х)≤ f(x) ≤ ψ(х), то из неравенства А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε следует, что A-ε< f(х)<A+ε, т е |f(x)-A|<ε. А это и означает, что lim_x→хоf(x)=А.

 

№17 а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

а)Число А наз пределоф ф-ии f(x) при х→х_о (или в точке х_о), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. Этот предел ф-ии обозначается lim_x→xof(x)=A или f(x)→A при x→x_о.

б) 1) Ф-ия не может иметь более одного предела. Док-во: Предположим противное, т е что ф-ия f(x) имеет два предела А и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ий в соответствии с формулой f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x),где α(x), β(x)- бесконечно малые при x→x_o(x→∞). Вычитая почленно эти равенства, получим 0= A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)= D-А. Это равенство не возможно, т к на основании св-ва 1 бесконечно малых α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2) Предел алгеброической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)+φ(x)]=A+B. 3) Предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)φ(x)]=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е lim_x→xo(∞)(сf(x))=сA. 4) Предел частного двух ф-ий равен частному пределов этих ф-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т е lim_x→xo(∞)f(x)/φ(x)=A/B (В≠0). 5) Если lim_u→uof(u)=A, lim_x→xoφ(x)=u_o, то предел сложной ф-ии lim_x→xof[φ(x)]=A. 6) Если в некоторой окрестности точки х_о ( или при достаточно больших х) f(x)<φ(x), то lim_x→xo(∞)f(x)≤ lim_x→xo(∞)φ(x).

 

№54 Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Получить разложение ф-ии у=ln(1+x)  след образом:  Рассм геометрический ряд 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… со знаменателем q= -x, кот сходится при |q|=|-x|<1, т е при -1<x<1, к ф-ии f(x)=a/(1-q)=1/(1+x). Интегрируя равенство 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… в интервале (0;х), где |x|<1, с учетом того, что ∫^х_оdx/(1+x)=ln|1+x||^x_o=ln(1+x), получим ln(1+x)=х-х²/2+х³/3-…+((-1)^пх^п+1)/(п+1)+…. Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;1].

 

№55 Разложение в ряд Маклорена ф-ции  у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

у=(1+х)^п, где п- любое действительное число. Имеем f(x)=(1+x)ⁿ, f ^/ (x)=n(1+x)^n-1, f ^// (x)=n(n-1)(1+x)^n-2, f ^/// (x)=n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3,…,f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)…(n-k+1)(1+x)^n-k. При х=0 f(0)=1, f ^/ (0)=m, f ^// (0)=n(n-1), f ^/// (0)=n(n-1)(n-2), …, f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)…(n-k+1). По формуле f(x)=f(0)+ f ^/ (0)x+ (f ^// (0))/2! ∙x²+( f ^/// (0))/3!∙x³+…+( f⁽ⁿ⁾(0))/n!∙xⁿ+…, получаем:

(1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+….Интервал сходимости ряда (-1;1) (на концах интервала при х=+- 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений п). Ряд (1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+…. наз биномиальным. Если п- целое положительное число, то биномиальный рад представляет формулу бинома Ньютона, т к при k=n+1, n-k+1=0, n-ый член ряда и все последующие равны нулю, т е ряд обрывается и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

 

№39 Метод интегрирования по частям для  случаев неопределенного и определенного  интегралов (вывести формулу). Примеры.

Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ии. Тогда по св-ву дифференциала d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части и учитывая, что: d(∫f(x)dx)=f(x)dx u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: ∫udv=uv-∫vdu-формула интегрирования по частям для неопред интеграла. Пусть ф-ии и=и(х) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда : ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, где uv|^b_a=u(b)v(b)-u(a)v(a)-для опред интеграла. Т к (uv)^/=u^/v+uv^/, то ф-ия uv явл первообразной для ф-ии u^/v+uv^/. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: uv|^b_a=∫^b_a(u^/v+uv^/)dx=∫^b_avu^/dx+ ∫^b_auv^/dx, что равносильно ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, т к по определению дифференциала u^/(x)dx=du и v^/(x)dx=dv. Примеры:А) ∫xln(x²+1)dx=|u= ln(x²+1), dv=xdx,du=2xdx/(x²+1), v=∫dv=∫xdx=x²/2|=x²/2ln(x²+1)-∫x²/2∙2xdx(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫x³/(x²+1)dx=| x³/(x²+1)=x+x/(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫(x-x(x²+1)dx= x²/2ln(x²+1)-∫xdx+∫x/(x²+1)dx=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫x/(x²+1)dx=|x²+1=t, 2xdx=dt, xdx=dt/2|=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫dt/2t=x²/2ln(x²+1)-x²/2+1/2lnt=x²/2ln(x²+1)-x²/2+(ln(x²+1))/2= ln(x²+1)(x²/2+1/2)-x²/2=((x²+1)2)ln(x²+1)-x²/2+C. Б) ∫^e-2_-1ln(x+2)dx=|x+2=t, dx=dt,x=e-2 t=e, x=-1  t=1|=∫^e₁lntdt=|u=lnt, dv=dt, v=∫dv=∫dt=t, du=dt/t|=|∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu|=tlnt|^e₁-∫^e₁t/tdt=elne-1ln1-x|^e₁=e-(e-1)=e-e+1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№40 а)определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного интеграла.

a)Определенным интегралом от ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b] наз предел интегральной суммы ∑^п_i=1f(c_i)∆x_i=f(c₁)∆x₁+ f(c₂)∆x₂+…+ f(c_n)∆x_n при λ→0 ∫^b_af(x)dx=lim_λ→o ∑ⁿ_i=1f(c_i) ∆x_i.

b) 1) Постоянный множитель можно выность за знак определенного интеграла: ∫^b_aLf(x)dx=L ∫^baf(x)dx   L-const. 2)  Определенный интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ∫^b_a[f(x)+-G(x)]dx= ∫^b_af(x)dx+- ∫^b_aG(x)dx. 3)При перестановке пределов интегрирования знак опред оитеграла меняется на противоположный ∫^b_af(x)dx= -∫^a_bf(x)dx. 4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждого полученного отрезка: ∫^b_af(x)dx=∫^с_af(x)dx+∫^b_сf(x)dx, a<c<b. 5) Если на отрезке [a;b] ф-ия φ(х) не превосходит ф-ии g(x) |φ(x)≤g(x)|, тогда ∫^b_af(x)dx≤ ∫^b_ag(x)dx. 6) Теорема о среднем: Если на отрезке [a;b] ф-ия у=f(x) непрерывна, то внутри отрезка найдется такая точка С, что выполняется выражение ∫^b_af(x)dx=φ(с)(b-a). Теорема о среднем утверждает, что сущ такая точка С, принадлежащая отрезку Сє [a;b], что площадь под кривой у=f(x) равна площади прямоугольника со сторонами: φ(с) и b-a. (рис)

 

 

 

№49 Гармонический ряд и его расходимость (доказать).

Ряд 1+1/2+1/3+…+1/п+…, наз гармоническим. Необходимый признак сходимости выполнен: lim_n→∞u_n= lim_n→∞1/n=0. Докажем, что несмотря на это, гармонический ряд расходится.  Вначале получим вспомогательное неравенство. С этой целью запишем сумму первых 2п и п членов ряда: S_2n=1+1/2+1/3+…+1/n+1/(n+1)+…+1/2n, S_n=1+1/2+1/3+…+1/n. Найдем разность: S_2n-S_n=1/(n+1)+…+1/2n. Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьши, равным 1/2n, придем к вспомогательному неравенству S_2n-S_n>1/1n+…+1/2n=n∙1/2n=1/2 или S_2n-S_n>1/2. Предположим противное, т е что гармонический ряд сходится, тогда lim_n→∞S_n= lim_n→∞S_2n=S и, переходя к пределу в неравенстве |f(x)-A|<ε, получим, что S-S≥1/2 или 0≥1/2. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверно, т е гармонический ряд расходится.

 

 

№46 Простейшие дифференциальные ур-ния 1-го порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющими переменными) и их решение. Примеры.

Определение: ДУ 1-го порядка назыв ур-ние в кот входит неизвестная ф-ия, независимая переменная и производная ф-ии, F(x,y,y^/)=0. Общим решением ДУ 1-го порядка явл ф-ия y=φ(x;c). Основные типы ДУ 1-го порядка.

С разделяющимися переменными: а) y^/=f(x)g(x), б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0,Решение: Необходимо преобразовать исходные ур-ия, т о чтобы ф-ии зависящие от х и dx были в одной части равенства, а ф-ии зависящие от у, dy-в др.(процедура разделения переменных). Далее необходимо про интегрировать обе части равенства: а) y^/=dy/dx. Dy/dx=f(x)g(x), dy/g(y)=f(x)dx, ∫dy/d(y)=f(x)dx. Б)P(x)Q(y)dx+N(x)M(y)dy=0, P(x)dx/N(x)= -M(y)dy/Q(y). ∫P(x)dx/N(x)=-∫M(y)dy/Q(y). Примеры: 3x²ydx+2(4-x³)1/2dy=0- С разделяющимися переменными.(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=-∫2dy/y. ∫(3x²dx)/(4-x³)^1/2=|4-x³=t,-3x²dx=dt|=-∫dt/t^1/2=-2t^1/2= -2(4-x³)^1/2+C. -2(4-x³)^1/2+C₁= -2ln|y|+C₂ или  -2(4-x³)^1/2+C= -2ln|y|. ln|Cy|=(4-x³)^1/2. Cy=e^(4-x3)1/2. y=C₁∙ e^(4-x3)1/2.

 

 

43. Однородные и линейные дифференциальные  уравнения 1-го порядка и их  решения. Примеры.

Дифференциальное урав-е  первого порядка наз-ся однородным, если оно может быть представлено в виде y’=g(y/x). Понятие однород-го диф-го урав-я связано с однород-ми фун-ми. Фун-я y=f(x,y) наз-ся однородной степени k (по переменным x и y), если для произвольного числа α выполняется равенство f(αx, αy)=α^k f(x,y) При-р: f(x,y)=x² – xy. f(αx, αy)=(αx)² – (αx)(αy)=α²(x² – xy)= α² f(x,y), данная фун-я однород-я степени 2.

Диф-ное урав-е первого  порядка наз-ся линейным, если оно имеет вид y’+f(x)y=g(x). В случае, когда фун-я g(x) тождественно равна нулю, урав-е наз-ся однород-м, в противном случае – неоднород-м.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.

 

№53 а)Условия разложения ф-ий в степенной  ряд.б) Ряд Маклорена.в) Разложение в  ряд Маклорена ф-ии у=е^х(вывод).г) Интервал сходимости полученного ряда.

a) Если ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница (знакочередующейся и его значения должны по абсолютной величине убывать), то ошибки при замене суммы ряда несколькими его первыми слагаемыми не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемого членов ряда.

Б)Предположим, что ф-ия f(x), определена и п раз дифференцируемая в окрестности точки х=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, др словами , может быть разложена в степенной ряд f(x)=c_o+c₁x+c₂x²+c₃x³+C₄x⁴+…+C_пХ^п+… Выразим коэффициенты ряда ч/з f(x). Найдем производные ф-ии f(х), почленно дифференцируя ряд п раз: f ^/(x)= c₁+2c₂x+3c₃x²+4C₄x³+…+nC_пХ^п-1+…,f ^//(x)= 2c₂x+3∙2c₃x+4∙3∙C₄x²+…+n(n-1)C_пХ^п-2+…, f ^///(x)= 3∙2c₃+4∙3∙2∙C₄x+…+n(n-1)(n-2)C_пХ^п-3+…,…….. f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)(n-2)∙3∙2c_n+… . Полагая в полученных равенствах х=0, получим f(0)=c_o, f ^/(0)=c₁, f ^//(0)=2∙1∙c₂=2! c₂, f ^///(x)= 3∙2c₃=3!c_3,…, f⁽ⁿ⁾(0)=n!c_n, откуда  С_о= f(0), с₁= f ^/(0), с₂= f ^//(0)/2!, с₃= f ^///(0)/3!,…, с_п= f⁽ⁿ⁾(0)/п!. Подставляя значения коэффициентов с_о, с₁, с₂, с₃,…, с_п, получим ряд f(x)=f(0)+f ^/(0)x+ f ^//(0)/2! X²+ f ^///(0)/3!x³+…+f⁽ⁿ⁾(0)/n!xⁿ+…- называемый рядом Маклорена.