Шпаргалка по "Математике"

1. Числовые множества. Основные операции над множествами. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки.
2. Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.
3. Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции, их классификация.
4. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел  монотонной  ограниченной  последовательности. Число е.
5. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).
6. Бесконечно малые функции (б.м.ф.). Основные теоремы.
7. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах функций. Признаки существования пределов функций.
8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
9. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них. Применение эквивалентных бесконечно малых функций.
10. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
11. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
12. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.
13. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производная суммы, разности; произведения и частного функций.
14. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.
15. Гиперболические функции и их производные.
16. Дифференцирование  неявных  и  параметрически  заданных функций.
17. Логарифмическое дифференцирование.
18. Производные высших порядков явно заданной функции. Механический смысл производной второго порядка.
19. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала функции.
20. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
21. Дифференциалы высших порядков.
22. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций: а) теорема Ролля, б) теорема Лагранжа, в) теорема Коши.
23. Теоремы Лопиталя для случаев неопределенностей “0/0” и “¥/¥”.
24. Раскрытие неопределенностей различных видов.
25. Возрастание и убывание функций. Необходимое и достаточное условия.
26. Глобальные и локальные экстремумы функции. Достаточное условие отсутствия локального экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования локального экстремума.
27. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
28. Выпуклые функции. Достаточное условие строгой выпуклости функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.
29. Асимптоты графика функции. Примеры.
30. Общая схема исследования функции и построения графика. Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Числовые множества. Основные операции над множествами.

Множества, элементами которых  являются числа, называются числовыми.Например:N={1; 2; 3; ...; n; ... } — множество натуральных чисел, Z={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} — множество целых чисел; R—множество действительных чисел. Операции над множествами. Два множества

А=В, если они состоят из одних и тех же элементов.Объединением множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}.Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}.Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Числовыми промежутками называют подмножества всех действительных чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если

каждому значению х соответствует единственное значение у.

 Переменная х- независимая переменная или аргумент.  Переменная у- зависимая переменная. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Функцию  задают при помощи формулы. Например, у = 2х – 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x). График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .  Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f (—x) = f (x). Если же f (—x) = — f (x), то функция f (x) называется нечётной. Например, у = cosx, у = x²— чётные функции, а = у sinx, у = x³— нечётные. График чётной функции симметричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел  монотонной  ограниченной  последовательности. Число е.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины. Последовательность называется- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом . ЧИСЛО "е" - то же, что неперово число.

 

5. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)

Число b наз-ся пределом функции в точке а,если для всех х достаточно близких к а и отличных от а ,значение функции f(x)  сколь угодно мало отличается от числа b. Односторо́нний преде́л— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва). Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Бесконечно малые функции (б.м.ф.). Основные теоремы.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю

 функция f (x) в окрестности точки х₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию. Если функция y=f(x) представима при x>aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины б(x): f (x)=b+ б(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+б(x), где a(x) - бесконечно малая при x>a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах функций. Признаки существования пределов функций.

Если | A | < ∞, то функция f (x) ограничена в окрестности точки х₀. Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих в данной точке конечный предел, равен алгебраической сумме пределов этих функций в этой же точке:

Предел произведения конечного числа функций равен  произведению пределов этих функций, при  условии, что последние существуют.

Предел отношения  двух функций равен отношению  пределов этих функций, при условии, что последние существуют и предел знаменателя не равен нулю.

Предел отношения  двух функций, имеющих предел в данной точке, равен отношению пределов этих функций в той же точке, если предел знаменателя отличен от нуля:

Признаки существования  предела.  Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них. Применение эквивалентных бесконечно малых функций.

Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀). Если = 0,то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x). Если = А ≠ 0 ( A - число),то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x). 
   Если = ∞, то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).если = 1,то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).если

,то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x). Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий

f - g = o(f ) или f - g = o(g).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Дифференцирование  неявных   и  пара-метрически  заданных функций.

Неявно заданная функция.

Если функция задана уравнением y = f(x), то функция задана в явном виде. Под неявным заданием функции понимают задание функ-ции в виде уравнения F(x, y) = 0, не разре-шенного относительно y. Не всегда возмож-но разрешить уравнение относительно y.

Если функция задана неявно уравнением  F(x, y) = 0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать урав-нение относительно y: достаточно продиф-ференцировать это уравнение по x, рассмат-ривая при этом y как функцию x, полученное затем уравнение разрешить относительно y'.

Функция, заданная параметрически.

Пусть зависимость между  аргументом x и функцией y задана параметрически:

 

 

 

 

 

где t – вспомогательная переменная (пара-метр).

Теорема. Если функция y от аргумента x за-дана параметрически x = φ(t), y = ψ(t), где функции φ(t) и ψ(t) дифференцируе-мы и ψ'(t)≠0, то производная от этой функ-ции есть

 

 

 

 

 

 

17. Логарифмическое дифференцирование.

В некоторых случаях перед  вычислением производной полезно  предварительное ло-гарифмирование. Таким образом, например, можно продифференцировать степенно-по-казательную функцию y = u^v, где u(x) и v(x) – заданные дифференцируемые функции от х.

Найдем производную этой функции. Сначала логарифмируем  функцию.

 

 

 

 

 

 

Получаем формулу дифференцирования:

 

 

 

 

 

 

 

18. Производные высших порядков  явно за-данной функции. Механический смысл производной второго порядка.

Производные высших порядков явно за-данной функци.

Производной n-го порядка функции                y = f (x) называется производная от произ-водной   (n-1)-го порядка этой функции.

y ⁽ⁿ⁾ = (y ^{(n - 1)} (x))` x

Пример:

Найти производную третьего порядка от функции: y = x ⁴

Решение:

y ′′′ = (x ⁴) = (4x ³) ′′ = (12x ²) ′ = 24x

Механический  смысл производной второго порядка.

Пусть материальная точка  М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S′_t

t равна скорости точки в данный момент времени: S′_t = v.

Покажем, что вторая производная  от пути по времени есть величина ускорения  прямоли-нейного движения точки, т.е. S′′_t = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна v, а в момент t + Δt – скорость равна v + Δv, т.е. за промежуток времени Δt скорость изменилась на величину Δv.

Отношение Δv/Δt выражает среднее уско-рение движения точки за время Δt. Предел этого отношения при Δt → 0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: