Автор работы: Пользователь скрыл имя, 17 Марта 2013 в 18:20, шпаргалка
Числовые множества. Основные операции над множествами. Множество действительных чисел. Числовые промежутки. Окрестность точки.
Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функций. Четные и нечетные функции. Периодические функции.
Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции, их классификация.
Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е.
Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.).
аналогично k = 0 при x →−∞
Следовательно, есть горизонтальная асимп-тота y = 0.
5. Найдем интервалы возрастания и убыва-ния функции
Отсюда видно, что y′ > 0 в области опреде-ления функции, поэтому функция является возрастающей на каждом интервале области определения.
6. Исследуем функцию на экстремум. Так как y ′ = (x 2 + 1)/(1 – x 2) 2 , то критическими точками являются точки x1 = −1, x2 = 1 (y′ не существует), но они не входят в об-ласть определения функции. Функция экст-ремумов не имеет.
7. Найдем интервалы выпуклости и вогнутос-ти кривой.
y ′′ = ((x 2 + 1)/(1 – x 2) 2) =
= (2x(x 2 + 3))/(1 – x 2) 3.
Вторая производная равна нулю или не су-ществует в точках x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1. при x ∈(− ∞;−1) y′′ > 0 − кривая вогнутая;
при x ∈(−1;0) y′′ < 0 − кривая выпуклая;
при x ∈(0;1) y′′ > 0 − кривая вогнутая;
при x ∈(1;+∞) y′′ < 0 − кривая выпуклая.
Точка O(0;0) является точкой перегиба.
3.Обратная функция. Сложная функция. Элементарные функции, их классификация.
Обратная функция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция. f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)).
Функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций посредством арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и образования сложных функций, называются элементарными функциями .
Примером может являться функция
5. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Бесконечно большая функция (б.б.ф.)
Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва). Левый и правый пределы функции в данной точке
и
Функция f (x) называется
бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если
для любого как угодно большого положительного
числа K > 0 существует
δ = δ(K) > 0, такое,
что для всех х, удовлетворяющих
условию 0 < | x – х0
| < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.
В этом случае пишут
8. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
10. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация.
Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. Пример. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.