Шпаргалка по "Математике"

 

То есть v′ = а. Но v = S′t. Поэтому                 а = (S′t)′, т.е. а = S′′t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. Понятие дифференциала функции.  Гео-метрический смысл дифференциала функ-ции.

Определение. Дифференциалом функции    y = f (x) в точке x называется произведение ее производной на приращение независи-мой переменной.

dy = f ′(x) Δx.

При f (x) = x получим f ′(x) = 1 и dx = Δx. То есть дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому записывают:

dy = f ′(x)dx.

Геометрический  смысл дифференциала функции.

Проведем касательную МТ к графику функции

y = f(x) в точке М(x, y). Дадим аргументу x приращение Δx и найдем ординату B ка-сательной в точке x + Δx. Из прямоугольно-го треугольника МАВ:

 

 

 

 

 

На основании геометрического  смысла про-изводной

 

 

 

 

 

 

Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение Δx.

В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

 

 

 

 

20. Основные теоремы о дифференциалах. Применение дифференциала к приближен-ным вычислениям.

Теорема 1. Дифференциал суммы, произве-дения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими форму-лами:

d(u + v) = du + dv

d(uv) = du*v + dv*u

d(u/v) = (vdu – udv)/v ²; (v ≠ 0)

Теорема. Дифференциал сложной  функции равен произведению производной  этой функции по промежуточному аргументу  на дифференциал этого промежуточного аргу-мента.

 

 

 

 

 

Это свойство называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифферен-циала.

С помощью определения  дифференциала и основных теорем о дифференциалах табли-цу производных можно преобразовать в таб-лицу дифференциалов.

Например:

 

 

 

 

 

Применение дифференциала  к приближен-ным вычислениям.

На основании связи  приращения функции и ее дифференциала можно записать, что для малых приращений Δx справедливо:

f (x + Δx) = f` (x)Δx + f(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Дифференциалы высших порядков.

Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал                    dy = f' (x)dx есть также функция от x; можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала  функции y = f(x) называется ее вторым дифференци-алом (или дифференциалом второго поряд-ка) и обозначается d ²y или d ²f(x).

Так как dx = Δx не зависит от x, при диффе-ренцировании считаем его постоянным.

d ²y = d(dy) = d(f`(x)dx) = (f`(x)dx)`dx = f ``(x)dx*dx = f ``(x)(dx) ²

Обозначив (dx) ² = dx ² получим d ²y =     = f ``(x)dx ²

Аналогично определяются дифференциалы 3 и более высоких  порядков.

Дифференциал n-го порядка

d ⁽ⁿ⁾y = f ⁽ⁿ⁾(x)dx ⁿ

 

 

22. Теоремы о среднем для дифференциру-емых функций: а) теорема Ролля, б) теоре-ма Лагранжа, в) теорема Коши.

Теорема Ролля. Если функция f(x) непре-рывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы одна точка сЄ(a;b), в которой производная f’(x) обращается в нуль, то есть f’(c) = 0.

Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции y = f(x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференци-руема на интервале (a; b), то найдется хотя бы одна точка с Є (a; b), такая, что выпол-няется равенство f(b) – f(a) = F `(c)(b – a)

Эту формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении.

(f(b) – f(a))/(b – a) = f `(c)

Данная формула имеет  простой геометри-ческий смысл. Величина

(f(b) – f(a))/(b – a) = f `(c) это угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке c. Следовательно, на графике функции y = f(x) найдется такая точка С(c, f(с)), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.

Следствие из теоремы  Коши (Признак пос-тоянства функции). Если производная функ-ции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши. Если функции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a; b], дифферен-цируемы на интервале (a; b), причем  φ'(x) ≠ 0, то найдется хотя бы одна точка    с Є (a; b) такая, что выполняется равенство

Теорему Лагранжа можно рассматривать  как частный случай теоремы Коши.

Правило Лопиталя. (Раскрытие неопреде-ленностей.)

Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест-ности точки x₀ и обращаются в нуль в этой точке f(x₀) = g(x₀) = 0. Если существует предел

 

 

 

 

 

23. Теоремы Лопиталя для случаев неопределенностей «0/0» и «¥/¥».

Правило Лопиталя раскрытия неопреде-лённостей вида «0/0»

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0 и

обращаются в нуль в  этой точке: f(x₀) = g(x₀) = 0. Пусть g′ (x) ≠ 0 в окрестности точки x₀. Если существует предел

 

 

 

 

 

Правило Лопиталя раскрытия неопреде-лённостей вида «¥/¥».

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀), в этой окрестности

 

 

 

 

 

 

Если существует предел

 

 

 

 

 

 

 

25. Возрастание и убывание функций.  Необходимое и достаточное условия.

Функция y=f(x), определенная на некото-ром отрезке [a, b], называется возрастаю-щей на этом отрезке, если большему значе-нию аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если     x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂)

Функция y=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b] соответству-ет большее значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотон-ной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при измене-нии аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции  изображенной на рисунке и определим  промежутки возрас-тания и убывания функции.

(-∞;  a), (c; +∞) – убывает;

(a; b) – постоянная;

(b; c) – возрастает.

Теорема. (Необходимое  и достаточное ус-ловия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая  функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная не-отрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерыв-на на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом от-резке, f '(x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрас-тает на [a, b].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27. Наибольшее и наименьшее значения  непрерывной функции на отрезке.

Пусть функция y = f (x) непрерывна на от-резке [a,b]. Как известно, такая функция на этом отрезке достигает наибольшего и наи-меньшего значений.

Эти значения функция может  принять либо во внутренней точке  отрезка [a,b], либо на границе отрезка.

Для нахождения наибольшего  и наименьше-го значений функции на отрезке [a,b] необ-ходимо:

1) найти критические точки  функции в интер-вале (a,b);

2) вычислить значения функции  в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции  на концах отрезка, то есть  при x = a и x = b;

4) из всех вычисленных  значений функции выбрать наибольшее  и наименьшее.

 

 

 

 

 

 

 

28. Выпуклые функции. Достаточное усло-вие строгой выпуклости функции. Точки пе-региба. Необходимое и достаточное усло-вия существования точек перегиба.

Определение. График дифференцируемой функции y = f(x)

называется выпуклым (или  вогнутым вверх) в интервале (a,b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Достаточное условие  строгой выпуклости функции.

Пусть функция f(x) дважды дифференцируе-ма (имеет вторую производную) на интерва-ле (a, b), тогда:

если  f ''(x) < 0 для любого x(a, b), то функция f(x) является выпуклой на интерва-ле (a, b).

Точки перегиба.

Точка графика непрерывной  функции             y = f(x), отделяющая его выпуклую часть от вогнутой части, называется точкой перегиба. В интервале (a,c) кривая y = f (x) выпукла, в интервале (c,b) − вогнута; точка           M(c, f (c))− точка перегиба.

 

Необходимое условие  существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x₀, имеет в x₀ точку перегиба, то f ``(x₀) = 0.

Достаточное условие  существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем  k нечётно и k ≥ 3, и f ⁽ⁿ⁾ = 0 при n = 2, 3, …, k – 1, a f ^(k) ≠ 0, то функция f(x) имеет в x0 точку перегиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29. Асимптоты графика функции. Примеры.

Определение 1. Прямая x = x₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть

 

Например, кривая y = 1/(x – 2) имеет вер-тикальную асимптоту x = 2, так как

 

 

 

Определение 2. Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функ-ции y = f (x) при x → +∞ (или x →−∞), если

 

 

 

В рассмотренном выше примере  прямая       y = 0 является горизонтальной асимптотой, так как

 

 

 

Определение 3. Прямая y = k x + b (k ≠ 0) называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞            (или x →−∞), если функцию f (x) можно представить в виде

f (x) = k x + b + α(x), где α(x) – б. м. ф., то есть

 

 

 

Укажем способ отыскания  наклонной асимптоты y = k x + b. По определению, f (x) = k x + b + α(x) →

→ f(x)/x = k + b/x + α(x)/x

Переходя в этом равенстве  к пределу при     x → +∞ (x → −∞) получим

 

 

 

Для определения b найденное значение k подставляем в равенство

f (x)−  k x = b + α(x) и снова переходим к пределу, получим

 

 

 

Если хотя бы один из указанных  выше преде-лов не существует или равен бесконечности, то кривая y = f (x) наклонной асимптоты не имеет.

Пример.

Найти асимптоты графика  функции y = xe^x

Решение. Так как

 

 

 

то график функции при x → +∞ наклонной асимптоты не имеет.

 

 

 

 

 

Следовательно, при x →−∞ график имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30. Общая схема исследования функции  и построения графика. Примеры.

Исследование функции y = f (x) целесооб-разно вести в следующей последовательнос-ти:

1. Найти область определения  функции.

2. Найти (если это можно)  точки пересече-ния графика с осями координат.

3. Выяснить четность и  нечетность функции.

4. Найти асимптоты графика  функции.

5. Найти интервалы монотонности  функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба  графика функции.

8. На основании проведенных  исследований построить график  функции.

Пример.

Исследовать функцию y = x/(1 – x²) и построить ее график.

Решение.

1. D(y) = (− ∞;−1)U (−1;1)U (1;+∞).

2. Если x = 0, то y = 0. График пересекает ось 0y в точке O(0;0). Если y = 0, то x = 0, следовательно, график пересекает ось 0x в точке O(0;0).

3. Функция является нечетной, так как               y(-x) = (-x)/(1 – (-x) ²) = -(x/(1 – x ²)) =   = -y(x). Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

4. Прямые x = −1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами:

 

 

 

 

 

 

 

Найдем наклонные асимптоты.