Система упражнений, способствующих повышению мышления школьников при обучении математике

Содержание

 

Введение..................................................................................................................3

1.Основные логические понятия  элементарной математики.............................5

1.1. Высказывания ….............................................................................................5

1.1.1. Логические операции над  высказываниями..............................................6

1.2. Кванторы…………………………………………………………………….10

1.3. Виды теорем...................................................................................................10

1.4. Необходимое и достаточное условия..........................................................11

1.5.Предикаты........................................................................................................12

2. Система упражнений, способствующих повышению мышления школьников при обучении математике....................................................................................14

Заключение............................................................................................................20

Список использованной литературы..................................................................22

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В системе учебных предметов  математике принадлежит особая роль. Она вооружает учеников необходимыми знаниями, умениями и навыками, которые  используются при изучении других школьных дисциплин, особенно при изучении геометрии, алгебры, физики и информатики. При  изучении данного предмета от учащихся требуется немало волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет  кругозор школьников, поэтому необходимо развивать познавательный интерес  к математике, что возможно с помощью  использования различных видов  логических упражнений.

Интеллектуальное развитие, формирование уровня абстрактного и логического мышления и алгоритмической культуры, необходимого для обучения в высшей школе и будущей профессиональной деятельности. Поэтому появилась необходимость введения интегрированных, элективных курсов по математической логике. Потребность в таких спецкурсах была вызвана рядом причин: необходимо побудить учащихся к активному познанию окружающей действительности, к осмыслению и нахождению причинно-следственных связей, к развитию логики мышления, коммуникативных способностей; вызвать у них особый интерес нестандартной формой решения; современному обществу необходимы высококлассные, хорошо подготовленные специалисты, умеющие применить свои знания при решении практических задач; дать возможность для самореализации, самовыражения, творчества учащихся.

Цель работы: изучить возможности  повышения культуры мышления учащихся.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

1. ознакомиться с дополнительным материалом по основным логическим понятиям элементарной математики (высказывания и предикаты, виды теорем, необходимое и достаточное условия, кванторы);
2. актуализировать знания, выполнив практические задания;
3. подобрать систему упражнений, способствующих повышению культуры мышления школьников при изучении некоторых разделов школьного курса математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Основные логические  понятия элементарной математики

1.1. Высказывания

 

Понятие «высказывание» первично. Под  высказыванием в логике понимают повествовательное предложение, о  котором можно говорить, что оно  истинно или ложно.

Примеры высказываний: 1) «0<1» ; 2) «2 * 3 =6» ; 3) « 5 есть четное число»; 4) « Санкт-Петербург стоит на Неве»; 5) «Париж — столица Англии»; 6) «Карась не рыба»; 7) «Число 6 делится на 2 и на 3» ; 8) «Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости». Высказывания 1), 2), 4), 7), 8) истинны, а высказывания 3), 5) и 6) ложны.

Различают два вида высказываний.

Высказывание, представляющее собой  одно утверждение, принято называть простым или элементарным, при  этом они рассматриваются как  целые, не неразделимые на части, внутренняя структура которых нас не будет  интересовать.

Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1), 2), 4) и 5).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если .... то ...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными.

Так, высказывание 6) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью  отрицания «не», высказывание 7) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на З», соединенных союзом «и». Высказывание 8) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если ..., то ...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки  зрения их логического значения, а  от их житейского содержания отвлекаются.

Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать а= 1, а если а ложно, то а= 0.

1.1.1. Логические операции над высказываниями

 

Из элементарных высказываний с помощью логических операций можно  получать новые, более сложные высказывания. Истинностное значение сложного высказывания зависит от истинностных значений высказываний, составляющих сложное высказывание. Эта зависимость устанавливается  в данных ниже определениях и отражается в истинностных таблицах. В левых  столбцах этих таблиц размещаются всевозможные распределения истинностных значений для высказываний, непосредственно  составляющих рассматриваемое сложное  высказывание. В правом столбце пишут  истинностные значения сложного высказывания соответственно распределениям в каждой строке.

Отрицание.

Отрицанием высказывания х называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно.

Отрицание высказывания х обозначается ˥х и читается «не х» или «неверно, что х».

Операция отрицания полностью  определяется истинностной таблицей

х	˥х
1	0
0	1

 

Конъюнкция.

Конъюнкцией (логическим умножением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания х и у истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция высказываний х и у обозначается символом х&у (х˄у), читается «х и у». Высказывания х и у называются членами конъюнкции.

Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

х	у	х˄у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пример, для высказываний «6 делится на 2», «6 делится на 3»  их конъюнкцией будет высказывание «6 делится на 2 и 6 делится на 3», которое, очевидно, истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в  алгебре логики употребляется в  том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято  соединять союзом «и» два высказывания далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается  конъюнкция двух любых высказываний.

Дизъюнкция

Дизъюнкцией (логическим сложением) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний х, у истинно, и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний х, у обозначается символом «x˅у», читается «х или у». Высказывания х, у называются членами дизъюнкции.

Логические значения дизъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

х	у	х˅у
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

Пример: Высказывание « 3 меньше 8 или 5 больше 2», являющееся дизъюнкцией  двух высказываний, одно из которых  истинно, имеет значение «истина».

Импликация.

Импликацией двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается ложным, если х истинно, а у - ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний х, у обозначается символом х→у , читается «если х, то у» или «из х следует у». Высказывание х называют условием или посылкой, высказывание у - следствием или заключением, высказывание х→у следованием или импликацией.

Логические значения операции импликации описываются следующей  таблицей истинности:

х	у	х→у
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

Отметим, что между посылкой и заключением могут отсутствовать  причинно- следственные связи, но это  не может повлиять на истинность или  ложность импликации.

Пример: Высказывание «если 5 — простое число, то биссектриса равностороннего треугольника является медианой» будет истинным, хотя в обычном понимании второе не следует из первого.

Истинным также будет  высказывание «если 2+2=5, то 6+3=9», поскольку  истинно его заключение. При данном определении, если заключение истинно, импликация будет истинной независимо от истинностного значения посылки. В том случае, когда ложна посылка, импликация будет истинна независимо от истинностного значения заключения. Эти обстоятельства кратко формулируют  так: «истина следует из чего угодно», «из ложного следует все, что угодно».

Эквиваленция.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний х и у называется новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания х, у либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний х, у обозначается символом х↔ у , читается «для того, чтобы х, необходимо и достаточно, чтобы у» или «х тогда и только тогда, когда у». Высказывания х, у называются членами эквиваленции.

Логические значения операции эквиваленции описываются следующей  таблицей истинности:

х	у	х↔у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Пример: высказывание «2>5 тогда  и только тогда, когда 3+0=4» истинно, как эквиваленция двух ложных высказываний.

Эквивалентность играет важную роль в математических доказательствах. Известно, что значительное число  теорем формулируется в форме  необходимых и достаточных условий, то есть в форме эквивалентности. В этом случае, зная об истинности или ложности одного из двух членов эквивалентности и доказав истинность самой эквивалентности, мы заключаем об истинности или ложности второго члена эквивалентности.

 

1.2. Кванторы

 

Рассмотрим новые операции, которые применяются к предикатам или высказываниям и дают в  результате их применения предикаты  или высказывания. Эти операции выражают утверждения общности или существования.