СИстемы массового обслуживания

Пусть система находится  в состоянии S₀. В состояние S₁ ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна:

где   - среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S₁ в S₀ систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна:

где   - среднее время ремонта первого станка.

Аналогично вычисляются интенсивности  потоков событий, переводящих систему  по всем дугам графа. Имея в своем  распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая система S имеет  -возможных состояний  . Вероятность  -го состояния   - это вероятность того, что в момент времени  , система будет находиться в состоянии  . Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Для нахождения всех вероятностей состояний   как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятиефинальной вероятности состояния.

Что будет происходить с вероятностями  состояний при  ? Будут ли   стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний.

где   - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

 

 

Финальная вероятность состояния   – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S₁, S₂ и S₃. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S₁, 3/10 – в состоянии S₂ и 5/10 – в состоянии S₃.

Правило составления системы уравнений  Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния  , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в  -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем  систему уравнений для нашего примера:

.

Эту систему четырех уравнений  с четырьмя неизвестными  , казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием:   и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей потоков равны:  .

Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное  условие:

.

.

Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S₀ (оба станка исправны), 20% - в состоянии S₁ (первый станок ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S₂ (второй станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S₃ (оба станка ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S₀ (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S₁ – доход 3 условные единицы, в состоянии S₂ – доход 5 условных единиц, в состоянии S₃ – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен:   условных единиц.

Станок 1 ремонтируется  долю времени, равную:  . Станок 2 ремонтируется долю времени, равную:  . Возникает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

1.5 Задачи теории массового обслуживания

Примеры систем массового  обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы  управления гибких производственных систем и т.д.

Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал  освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Предмет теории массового  обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему  из состояния в состояние –  простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и  его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей. На практике не Марковские процессы с приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковские процессы.

1.6 Классификация систем  массового обслуживания

Первое деление (по наличию очередей):

1.         СМО с отказами;

2.         СМО с очередью.

В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».

Итак, например, рассматриваются  следующие СМО:

·           СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);

·           СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.

Кроме этого СМО делятся  на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.

 
 

2. Системы массового  обслуживания с ожиданием 

 

2.1 Одноканальная СМО  с ожиданием 

 

Рассмотрим простейшую СМО с  ожиданием — одноканальную систему (n - 1), в которую поступает поток  заявок с интенсивностью  ; интенсивность обслуживания   (т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать   обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m-заявок, она покидает систему не обслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО  по числу заявок, находящихся в  системе (как обслуживаемых, так  и ожидающих обслуживания):

 — канал свободен;

 — канал занят, очереди нет;

 — канал занят, одна заявка стоит  в очереди;

 — канал занят, k-1 заявок стоят в  очереди;

 — канал занят, т-заявок стоят в  очереди.

ГСП показан на рис. 4. Все интенсивности  потоков событий, переводящих в  систему по стрелкам слева направо, равны  , а справа налево —  . Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность   (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис. 4. Одноканальная СМО с ожиданием

Изображенная на рис. 4 схема представляет собой схему размножения и гибели. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний:

 (5)

или с использованием:  :

 (6)

Последняя строка в (6) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р, откуда получаем:

 (7)

в связи с чем предельные вероятности  принимают вид:

(8).

Выражение (7) справедливо только при  < 1 (при  = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем  = 1 равна m+2, и в этом случае:

.

Определим характеристики СМО: вероятность  отказа  , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди  , среднее число заявок, связанных с системой  , среднее время ожидания в очереди  , среднее время пребывания заявки в СМО  .

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все  т-мест в очереди тоже:

 (9).

Относительная пропускная способность:

 (10).

Абсолютная пропускная способность:

.

Средняя длина очереди. Найдем среднее  число  -заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R—числа заявок, находящихся в очереди:

.

С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k-1 заявок, и т.д., откуда:

 (11).

Поскольку  , сумму в (11) можно трактовать как производную по   от суммы геометрической прогрессии:

.

Подставляя данное выражение в (11) и используя   из (8), окончательно получаем:

(12).

Среднее число заявок, находящихся  в системе. Получим далее формулу  для среднего числа  -заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку  , где   — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить  . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью  ) или 1 (с вероятностью 1 -  ), откуда:

.

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно:

(13).

Среднее время ожидания заявки в  очереди. Обозначим его  ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью   канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью   она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени   (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью   в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно  , и т.д.

Если же k=m+1, т.е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m-заявок в очереди (вероятность  этого  ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

,

если подставить сюда выражения  для вероятностей (8), получим:

(14).

Здесь использованы соотношения (11), (12) (производная геометрической прогрессии), а также   из (8). Сравнивая это выражение с (12), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.