СИстемы массового обслуживания

Для СМО с «нетерпеливыми»  заявками понятие «вероятность отказа»  не имеет смысла — каждая заявка становится в очередь, но может и  не дождаться обслуживания, уйдя раньше времени.

Относительная пропускная способность, среднее число заявок в очереди. Относительную пропускную способность q такой СМО можно подсчитать следующим образом. Очевидно, обслужены будут все заявки, кроме тех, которые уйдут из очереди досрочно. Подсчитаем, какое в среднем число заявок покидает очередь досрочно. Для этого вычислим среднее число заявок в очереди:

 (25)

На каждую из этих заявок действует «поток уходов» с интенсивностью  . Значит, из среднего числа  -заявок в очереди в среднем будет уходить, не дождавшись обслуживания,  -заявок в единицу времени и всего в единицу времени в среднем будет обслуживаться  -заявок. Относительная пропускная способность СМО будет составлять:

Среднее число занятых  каналов   по-прежнему получаем, деля абсолютную пропускную способность А на  :

 (26)

Среднее число заявок в очереди. Соотношение (26) позволяет  вычислить среднее число заявок в очереди  , не суммируя бесконечного ряда (25). Из (26) получаем:

,

а входящее в эту формулу  среднее число занятых каналов  можно найти как математическое ожидание случайной величины Z, принимающей значения 0, 1, 2,..., n с вероятностями  , :

.

В заключение заметим, что  если в формулах (24) перейти к пределу  при   (или, что то же, при  ), то при   получатся формулы (22), т. е. «нетерпеливые» заявки станут «терпеливыми». 

 

 

 

 

 

 

 

3. Замкнутые СМО 

 

До сих пор мы рассматривали  системы, в которых входящий поток  никак не связан с выходящим. Такие  системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.

В замкнутой СМО циркулирует  одно и то же конечное число потенциальных  требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно  находится в блоке задержки. В  момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s,   - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:

ρ= .

Вероятность простоя  системы определяется формулой

Р₀= .

Финальные вероятности  состояний системы:

P_k=  при k<n, P_k=  при  .

Через эти вероятности  выражается среднее число занятых  каналов

=P₁+2P₂+…+n(P_n+P_n+1+…+P_s) или

=P₁+2P₂+…+(n-1)P_n-1+n(1-P₀-P₁-…-P_n-1).

Через   находим абсолютную пропускную способность системы:

A= ,

а также среднее число  заявок в системе

М=s- =s- . 

 

Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью   =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом t_обсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле

ρ = /μ =4/2=2, n=3,

Р₀= = = 0,158.

Вероятность отказа определяем по формуле:

Р_отк=Р_n= = 

P_отк= 0,21.

Относительная пропускная способность системы:

Р_обсл=1-Р_отк 1-0,21=0,79.

Абсолютная пропускная способность системы:

А= Р_обсл 3,16.

Среднее число занятых  каналов определяем по формуле:

 

 

      1,58, доля каналов, занятых обслуживанием,

    

q= 0,53.

Cреднее время пребывания  заявки в СМО находим как  вероятность того, что заявка  принимается к обслуживанию, умноженную  на среднее время обслуживания: t_СМО 0,395 мин.

Объединяя все три  канала в один, получаем одноканальную  систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:

Р₀= = =0,6,

вероятность отказа:

Р_отк=ρ Р₀= =0,4,

относительная пропускная способность:

Р_обсл=1-Р_отк=0,6,

абсолютная пропускная способность:

А= Р_обсл=2,4.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

t_СМО=Р_обсл = =0,1 мин.

В результате объединения  каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.

Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью  =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.

Для рассматриваемой  системы n=3,  =4, μ=1/0,5=2, ρ= /μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

Р = .

P₀=  =1/9.

Среднее число заявок в очереди находим по формуле:

L= .

L= = .

Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле:

t= .

t= = 0,22 ч.

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т=t+ 0,22+0,5=0,72. 

 

Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность  =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания t_обсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

Для данной задачи n=3, m=3,  =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:

Р₀= .

P₀= 0,012.

Вероятность отказа в  обслуживании определяем по формуле

Р_отк=Р_n+m=  .

P_отк=P_n+m 0,307.

Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:

P_обсл=1-P_отк 1-0,307=0,693.

Абсолютная пропускная способность:

А= Р_обсл 12 .

Среднее число занятых  каналов:

.

Средняя длина очереди  определяется по формуле:

L=

L= 1,56.

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

t= ч.

Среднее число заявок в СМО: 

 

M=L+ .

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Т=М/ 0,36 ч. 

 

Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью  =0,5 отказа в час, среднее время ремонта t_рем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает  замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:

Р₀= .

P₀= .

Вероятность занятости  рабочего Р_зан=1-Р₀ . Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P₀)μ=0,85μ   станков в час.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Расчет показателей эффективности одноканальной СМО с неограниченной очередью

Одноканальная система  с неограниченной очередью. На практике часто встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, телефон-автомат с одной будкой). Рассмотрим задачу.  
Имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложены никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживании — интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.  
Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂, …, S_k, по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — канал свободен; S₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди; ... S_k — канал занят, (k—1) заявок стоят в очереди и т.д.  
Граф состояний СМО представлен на рис. 8.  
  
Рис.8 8  
Это процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний, в котором интенсивность потока заявок равна λ, а интенсивность потока обслуживании μ.  
Прежде чем записать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t→∞, очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ<1, т.е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ≥1, очередь растет до бесконечности.  
Для определения предельных вероятностей состояний воспользуемся формулами (16), (17) для процесса гибели и размножении (здесь мы допускаем известную нестрогость, так как ранее эти формулы были получены для случая конечного числа состояний системы). Получим (32)  
Так как предельные вероятности существуют лишь при ρ < 1, то геометрический ряд со знаменателем  
ρ < 1, записанный в скобках в формуле (32), сходится к сумме, равной . Поэтому  
     (33)  
и с учетом соотношений (17)  
  
найдем предельные вероятности других состояний  
 (34)  
Предельные вероятности p₀, p₁, p₂, …, p_k,… образуют убывающую геометрическую профессию со знаменателем р < 1, следовательно, вероятность р₀ — наибольшая. Это означает, что если СМО справляется с потоком заявок (при ρ < 1), то наиболее вероятным будет отсутствие заявок в системе.  
Среднее число заявок в системе L_сист. определим по формуле математического ожидания, которая с учетом (34) примет вид  
  (35)  
(суммирование от 1 до ∞, так как нулевой член 0p₀=0).  
Можно показать, что формула (35) преобразуется (при ρ < 1) к виду  
 (36)  
Найдем среднее число заявок в очереди L_оч. Очевидно, что  
  (37)  
где L_об. — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием.  
Среднее число заявок под обслуживанием определим по формуле математического ожидания числа заявок под обслуживанием, принимающего значения 0 (если канал свободен) либо 1 (если канал занят):  
  
т.е. среднее число заявок под обслуживанием равно вероятности того, что канал занят:  
               (38)  
В силу (33)  
 (39)  
Теперь по формуле (37) с учетом (36) и (39)  
               (40)  
Доказано, что при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе (очереди) равна среднему числу заявок в системе (в очереди), деленному на интенсивность потока заявок, т.е.  
 (41)  
              (42)  
Формулы (41) и (42) называются формулами Литтла. Они вытекают из того, что в предельном, стационарном режиме среднее число заявок, прибывающих в систему, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока заявок имеют одну и ту же интенсивность λ.  
На основании формул (41) и (42) с учетом (36) и (40) среднее время пребывания заявки в системе определится по формуле:  
  
а среднее время пребывания заявки в очереди  
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

1) Фомин Г.П. Математические  методы и модели в коммерческой  деятельности. М: Финансы и статистика, 2001.

2) Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. М: Высшая школа, 2001.

3) Советов Б.А., Яковлев  С.А. Моделирование систем. М: Высшая  школа, 1985.

4) Лифшиц А.Л. Статистическое  моделирование СМО. М., 1978.

5) Вентцель Е.С. Исследование  операций. М: Наука, 1980.

6) Вентцель Е.С., Овчаров  Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М: Наука, 1988