СИстемы массового обслуживания

 (15).

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим   - матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди   и среднего времени обслуживания  . Если загрузка системы составляет 100%, очевидно,  , в противном же случае:

.

Отсюда:

.

Пример 1. Автозаправочная  станция (АЗС) представляет собой СМО с одним каналом обслуживания (одной колонкой).

Площадка при станции  допускает пребывание в очереди  на заправку не более трех машин  одновременно (m = 3). Если в очереди  уже находятся три машины, очередная  машина, прибывшая к станции, в очередь не становится. Поток машин, прибывающих для заправки, имеет интенсивность  =1 (машина в минуту). Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин.

Определить:

вероятность отказа;

относительную и абсолютную пропускную способности АЗС;

среднее число машин, ожидающих  заправки;

среднее число машин, находящихся  на АЗС (включая обслуживаемую);

среднее время ожидания машины в  очереди;

среднее время пребывания машины на АЗС (включая обслуживание).

Иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в  очереди, деленному на интенсивность  потока заявок.

Находим вначале приведенную интенсивность  потока заявок:  =1/1,25=0,8;  =1/0,8=1,25.

По формулам (8):

Вероятность отказа  0,297.

Относительная пропускная способность  СМО: q=1- =0,703.

Абсолютная пропускная способность  СМО: A= =0,703 машины в мин.

Среднее число машин в очереди находим по формуле (12):

,

т.е. среднее число машин, ожидающих  в очереди на заправку, равно 1,56.

Прибавляя к этой величине среднее  число машин, находящихся под обслуживанием:

получаем среднее число машин, связанных с АЗС.

Среднее время ожидания машины в  очереди по формуле (15):

Прибавляя к этой величине  , получим среднее время, которое машина проводит на АЗС:

Системы с неограниченным ожиданием. В таких системах значение т не ограничено и, следовательно, основные характеристики могут быть получены путем предельного перехода   в ранее полученных выражениях (5), (6) и т.п.

Заметим, что при этом знаменатель  в последней формуле (6) представляет собой сумму бесконечного числа  членов геометрической прогрессии. Эта сумма сходится, когда прогрессия бесконечно убывающая, т.е. при  <1.

Может быть доказано, что  <1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при   будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что  <1.

Если , то соотношения (8) принимают вид:

 (16).

При отсутствии ограничений  по длине очереди каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, поэтому q=1,  .

Среднее число заявок в очереди получим из (12) при  :

.

Среднее число заявок в системе по формуле (13) при  :

.

Среднее время ожидания получим из формулы (14) при :

.

Наконец, среднее время  пребывания заявки в СМО есть:

.

2.2 Многоканальная СМО с ожиданием 

 

Система с ограниченной длиной очереди. Рассмотрим  канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью  ; интенсивность обслуживания (для одного канала)  ; число мест в очереди  .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал, остальные свободны;

 — заняты  -каналов, остальные нет;

— заняты все  -каналов, свободных нет;

есть очередь:

 — заняты все n-каналов; одна заявка стоит  в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 17. У  каждой стрелки проставлены соответствующие  интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему  переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью  , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна  , умноженному на число занятых каналов.

Рис. 17. Многоканальная СМО  с ожиданием

Граф типичен для  процессов размножения и гибели, для которой решение ранее  получено. Напишем выражения для  предельных вероятностей состояний, используя  обозначение  : (здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем  ).

Таким образом, все вероятности  состояний найдены.

Определим характеристики эффективности системы.

Вероятность отказа. Поступившая  заявка получает отказ, если заняты все n-каналов и все m-мест в очереди:

 (18)

Относительная пропускная способность дополняет вероятность  отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

 (19)

Среднее число занятых  каналов. Для СМО с отказами оно  совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число  занятых каналов  . Каждый занятый канал обслуживает в среднем  -заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А-заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

.

Среднее число заявок в очереди можно вычислить  непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

 (20)

где  .

Здесь опять (выражение  в скобках) встречается производная  суммы геометрической прогрессии (см. выше (11), (12) — (14)), используя соотношение  для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди. Рассмотрим ряд  ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены  в математическом ожидании равны  нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все n-каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное   (потому что «поток освобождений»  -каналов имеет интенсивность  ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени   (по   на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди  -заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени  . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m-заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена). Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

 (21)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (20) только множителем  , т. е.

.

Среднее время пребывания заявки в системе, так же, как и  для одноканальной СМО, отличается от среднего времени ожидания на среднее  время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

.

Системы с неограниченной длиной очереди. Мы рассмотрели  канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m-заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений  необходимо рассмотреть полученные соотношения при  .

Вероятности состояний получим из формул предельным переходом (при  ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при   и расходится при  >1. Допустив, что  <1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

 (22)

Вероятность отказа, относительная  и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или  поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

Среднее число заявок в очереди получим при   из (20):

,

а среднее время ожидания — из (21):

.

Среднее число занятых  каналов  , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

.

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

.

Пример 2. Автозаправочная станция с двумя колонками (n = 2) обслуживает поток машин с интенсивностью  =0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины:

В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин  перед АЗС может расти практически  неограниченно. Найти характеристики СМО.

Имеем:

Поскольку <1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:

 и т. д.

Среднее число занятых  каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО А= =0,8 на интенсивность обслуживания  =0,5:

Вероятность отсутствия очереди у АЗС будет:

Среднее число машин  в очереди:

Среднее число машин  на АЗС:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время пребывания машины на АЗС:

СМО с ограниченным временем ожидания. Ранее рассматривались  системы с ожиданием, ограниченным только длиной очереди (числом m-заявок, одновременно находящихся в очереди). В такой СМО заявка, разраставшая в очередь, не покидает ее, пока не дождется обслуживания. На практике встречаются СМО другого типа, в которых заявка, подождав некоторое время, может уйти из очереди (так называемые «нетерпеливые» заявки).

Рассмотрим СМО подобного типа, предполагая, что ограничение времени ожидания является случайной величиной.

Предположим, что имеется n-канальная СМО с ожиданием, в  которой число мест в очереди  не ограничено, но время пребывания заявки в очереди является некоторой случайной величиной со средним значением , таким образом, на каждую заявку, стоящую в очереди, действует своего рода пуассоновский «поток уходов» с интенсивностью:

Если этот поток пуассоновский, то процесс, протекающий в СМО, будет  марковским. Найдем для него вероятности  состояний. Нумерация состояний  системы связывается с числом заявок в системе — как обслуживаемых, так и стоящих в очереди:

нет очереди:

 — все каналы свободны;

 — занят один канал;

 — заняты два канала;

 — заняты все n-каналов;

есть очередь:

 — заняты все n-каналов, одна заявка стоит  в очереди;

 — заняты все n-каналов, r-заявок стоят  в очереди и т. д.

Граф состояний и  переходов системы показан на рис. 23.

Рис. 23. СМО с ограниченным временем ожидания

Разметим этот граф, как  и раньше; у всех стрелок, ведущих  слева направо, будет стоять интенсивность  потока заявок  . Для состояний без очереди у стрелок, ведущих из них справа налево, будет, как и раньше, стоять суммарная интенсивность потока обслуживании всех занятых каналов. Что касается состояний с очередью, то у стрелок, ведущих из них справа налево, будет стоять суммарная интенсивность потока обслуживания всех n-каналов  плюс соответствующая интенсивность потока уходов из очереди. Если в очереди стоят r-заявок, то суммарная интенсивность потока уходов будет равна  .

Как видно из графа, имеет  место схема размножения и  гибели; применяя общие выражения для предельных вероятностей состояний в этой схеме (используя сокращенные обозначения  , запишем:

 (24)

Отметим некоторые особенности  СМО с ограниченным ожиданием  сравнительно с ранее рассмотренными СМО с «терпеливыми» заявками.

Если длина очереди  не ограничена и заявки «терпеливы» (не уходят из очереди), то стационарный предельный режим существует только в случае   (при   соответствующая бесконечная геометрическая прогрессия расходится, что физически соответствует неограниченному росту очереди при  ).

Напротив, в СМО с «нетерпеливыми» заявками, уходящими рано или поздно из очереди, установившийся режим обслуживания при   достигается всегда, независимо от приведенной интенсивности потока заявок  . Это следует из того, что ряд для   в знаменателе формулы (24) сходится при любых положительных значениях   и  .