Стохастическая линия в школьном курсе математики

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ.М.АКМУЛЛЫ»

 

 

Физико-математический факультет

Специальность: математика и информатика

Кафедра: математики и статистики

 

 

 

 

Стохастическая  линия в школьном курсе математики.

 

 

 

 

 

Выполнила: Хуснутдинова А.Р.

Проверила: Карунас Е.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

Уфа 2013

Содержание.

1. Введение.

2. Научные источники по  теории вероятностей и математической  статистики.

3. Функция стохастической  линии в школьном курсе математики.

4. Анализ учебников и  учебных пособий.

5. Методика изучения стохастической линии в школьном курсе математики.

6. Список литературы. 

Введение.

 

Как известно, современная концепция  школьного математического образования  ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых  методик, изменения в требованиях  к математической подготовке учащихся. И с этой точки зрения, когда  речь идет о формировании личности с помощью математики, необходимость  развития у всех школьников вероятностной  интуиции и статистического мышления становится насущной задачей.

Одновременно с этим само знакомство школьников с этой, очень своеобразной, областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и  вариантов, а между однозначным "да" и "нет" существует еще "быть может", причем это "быть может" поддается  строгой количественной оценке, способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроках математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Согласно данным ученых-физиологов и психологов, а также по многочисленным наблюдениям  учителей математики, в среднем звене  школы заметно падение интереса к математике и связано это  с тем, что у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой  стены между изучаемыми абстрактно-формальными  объектами и реальным миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее  время, - стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры  на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению  интереса к самому предмету "математика", пропаганде его значимости и универсальности.

Как известно, опыт преподавания в  школе основ теории вероятностей в период реформы 60-70 гг. на формально-логическом уровне дал в основном негативные результаты, что привело к изъятию  этого раздела из школьных программ: материал оказался сложным, плохо усваивался учащимися. К тому же неоднократно проводимые исследования знаний учащихся старших  математических классов показали, сколь  мало эти знания способствуют развитию вероятностной интуиции и статистического  мышления.

Однако совсем недавно было вновь  принято решение ввести этот материал в курс математики основной школы. Внедрение  вероятностно-статистической линии  в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению  оказались не готовы буквально все - от учителей математики до авторов  учебников. Удивительно, но, обладая  одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.

Как показывает анализ учебников и  учебных пособий, содержащих материал по данной теме, существуют проблемы как  в вопросах изложения этого достаточно сложного материала в школьном курсе, так и в определении содержания, необходимого для успешного усвоения и понимания основ теории вероятностей и статистики и его соответствия содержанию и требованиям государственного стандарта по математике.

Таким образом, актуальность темы работы обусловлена:

· необходимостью полноценного изучения важнейших элементов теории вероятностей и математической статистики в основной школе в связи с огромной значимостью  и важностью этого материала;

· «новизной» изучаемого материала, который  долгое время отсутствовал в курсе  математики основной школы;

· недостаточной разработанностью методики преподавания этого материала  в школьном курсе математики;

· существованием проблем в вопросах изложения этого материала в  различных учебных пособиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Научные источники  по теории вероятностей и математической статистике

 

Число различных определений  математической вероятности, предложенное теми или иными авторами научной  литературы, очень велико. С другой стороны, каждое из них можно отнести  к одной из 4 групп определений  математической вероятности:

·определения, сводящие понятие вероятности к понятию «равновозможности» как к более примитивному понятию, - классическое определение вероятности.

· геометрическое определение  вероятности.

· определения, основанные на частоте появления события в  длинной серии экспериментов, - статистическое определение вероятности.

· аксиоматическое определение  вероятности.

В научной литературе последовательность введения понятия вероятности различна.

Гмурман В.Е. в книге «Теория вероятностей и математическая статистика» рассматривает сначала классическое понятие вероятности, затем указывает его недостатки и вводит статистическое понятие вероятности и геометрическую вероятность. Далее он излагает теоремы сложения и умножения вероятностей и их следствия. Материал, посвященный статистике, содержит все понятия, касающиеся статистического распределения выборки, также рассматриваются понятия полигона и гистограммы частот.

Гнеденко Б.В. в книге «Курс теории вероятностей» тоже начинает введение в теорию вероятностей с классического определения. Позже, указывая его ограниченность, он вводит вначале геометрическое, а затем и статистическое определение вероятности. В более позднем издании в соавторстве с Хинчиным А.Я. в книге«Элементарное введение в теорию вероятностей» он использует только статистическое понятие вероятности.

Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. в книге «Введение в теорию вероятностей» на простых примерах вводят основные понятия теории вероятностей. Первым рассматривается классическое определение вероятности, вторым - статистическое.

Пугачев В.С. в книге с тем же названием за основное определение берет статистическое определение вероятности и использует только его.

В. Феллер в книге «Введение в теорию вероятностей и ее приложения» определяет вероятность через сумму вероятностей элементарных событий и дает статистическое понятие вероятности.

Вентцель Е.С. в книге «Теория вероятностей» вначале вводит классическое определение вероятности. Далее, указывая недостаток такого толкования вероятности, вводится понятие частоты случайного события и на его основе дается статистическое определение вероятности. Также книга содержит сведения из области статистики. В частности, рассмотрены такие понятия, как статистическая совокупность, статистический (интервальный ряд), гистограмма.

Нетрудно заметить, что  большинство авторов научной литературы, начинает излагать теорию вероятностей с классического определения вероятности. Я считаю, что это наиболее удобный путь введения понятия вероятности в высшей школе, так как он соответствует истории развития этого понятия и наиболее прост.

Завершая анализ научной  литературы, хотелось бы отметить, что  учебников для высшей школы, содержащих интересующий нас материал, существует достаточно много, но они не пригодны для среднего школьника, в силу сложности  изложения темы. Поэтому главная  проблема, стоящая перед учителями  и авторами будущих учебников, состоит  в том, что следует отобрать и  сделать понятным для ученика  обширный материал по теории вероятностей, которая преподается в вузе.

 

 

Функция стохастической линии в школьном курсе математики.

 

Поскольку вероятностно-статистическая линия была введена в школьный курс математики не так давно, то в  настоящее время существуют проблемы не только с реализацией этого  материала в школьных учебниках, но и с готовностью самих учителей математики преподавать этот материал. Об этом и говорит в статье «О подготовке учителей к обучению школьников стохастике» Селютин В. Д. Автор считает, что школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей, поэтому учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся. Главным при изучении этой темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому начинать обучение желательно с тех задач, в которых статистические сведения заданы изначально и требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации.

Пример. Некий городской житель решил переехать в деревню. Сведения об урожайности (ц\га) картофеля в двух селах таковы:

Село А: 180, 50, 60, 100, 170, 60, 150, 90, 120, 70, 60, 160, 90, 170, 90, 180, 160.

Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.

Какому из мест он отдаст предпочтение?

В условиях этой задачи критерием  принятия решения должен служить  разброс значений урожайности. В  селе А разброс больше, чем в селе Б. В селе А размах - разность между самым наибольшим и самым наименьшим значениями урожайности равен 180-50=30, в селе Б эта разность равна 30. Средняя урожайность картофеля в первом селе немного выше, чем во втором. Но несмотря на это, в селе А климатические условия таковы, что высокоурожайные для картофеля годы сменяются низкоурожайными. Видимо, лучше выбрать несколько меньшее значение средней урожайности, но при большей её стабильности. Устойчивость урожая особенно важна для человека, ещё не имеющего опыта ведения приусадебного хозяйства.

Владение искусством стохастических рассуждений - непременное условие  успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов, утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа не должен вызывать растерянности учителя. Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретации результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации.

Учитель призван прививать  ученикам критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковывать статистическую информацию. В конкретных ситуациях ему предстоит показать, что определенно подобранные статистические показатели могут служить основой для получения ложных выводов о происходящих событиях в политической и экономической жизни общества. Развитие у будущих взрослых граждан критического мышления, умений понимать скрытый смысл того или иного сообщения является важнейшей задачей учителя при изучении стохастики.

Приступая к обучению школьников стохастике, учитель должен ясно представлять себе, чем обусловлена необходимость введения в школу новой содержательно-методической линии. Осознание учителем целей обучения стохастике в школе, видение их соотношений с общими целями обучения математике и места стохастике в ряду других тем, знание итоговых требований с стохастической подготовке учащихся составляют важнейший общезначимый компонент методической готовности учителя математики к реализации новой линии.

Еще одна статья этого автора «О формировании первоначальных стохастических представлений» посвящена проблемам развития вероятностно-статистического мышления на первых этапах обучения. Селютин В. Д. рассматривает трудности изучения и восприятия учащимися этого материала и ставит вопрос о том, как, с помощью каких средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений у школьников. Автор предлагает стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование и рассматривает примеры их использования.

Пример. Учащиеся проводят в классе исследование на тему «Самый популярный певец». Для чего каждый ученик класса записывает на листочке бумаги фамилию эстрадного певца (певицы), который больше ему нравится, а кто-либо один собирает все эти листочки. Листочки раскладываются по группам, и подсчитывается их количество в каждой группе. Полученные сведения оформляются в виде таблицы. А по ней естественно задать учащимся вопрос: «Можно ли судить по таблице, кто самый популярный певец?» Возможно, учащиеся ответят, что в разных странах свои популярные певцы. Тогда возникает другой вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, кто самый популярный певец в нашей стране?» Выясняется, что и об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Таким образом, в сознание учащихся внедряется идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта, должен соответствовать выборке.

В статье Бунимовича Е. А. «Вероятностно-статистическая линия в базовом курсе математики» обоснована необходимость внедрения этой линии в школьный курс математики, ее значимость и важность для современного образования. Автор пишет о результатах проведенной экспериментальной работы по изучению вероятностных представлений школьников, на основании которых можно сделать вывод о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления и не избавляет даже от тривиальных вероятностных заблуждений и предрассудков. Поэтому нужен особый подход при изучении этой темы, который, в первую очередь, будет направлен на формирование жизненно необходимых представлений о вероятности и статистике.