Стохастическая линия в школьном курсе математики

Федосеев В. Н. в статье «Элементы теории вероятностей для 7-8 классов средней школы» излагает фрагменты курса «Элементы теории вероятностей», в котором рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В начале курса вводятся следующие понятия: испытание, единичное испытание, исходы испытаний, случайные исходы испытаний, множество исходов испытания. Примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов. Множества исходов таких испытаний можно определить простым перебором или построить с помощью таблиц и деревьев исходов. Автор статьи соглашается с мнением известного американского математика В. Феллера о том, что изучение дискретных пространств элементарных событий позволяет без использования сложного математического аппарата ввести ученика в круг основных идей теории вероятностей и её приложений, и на этой основе пытается построить изучение курса.

Гольдфаин И. И. в статье «Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии » пишет о противоречии между задачами школьного курса теории вероятностей, решать которые научить школьников нетрудно, и вероятностными представлениями, сформировать которые у тех же школьников весьма непросто. Это противоречие обусловлено в значительной степени тем,, что изучение основ теории вероятностей начинают, как правило, с ее простейшего классического варианта, основанного на понятии равновозможных исходов. В этом и заключается принципиальный недостаток классической вероятности - определение нового понятия «вероятность» через неопределенное понятие «равновозможный исход опыта». Если ученик уже приобрел соответствующие интуитивные представления, то такое определение вполне приемлемо. Но если нужных интуитивных представлений нет, то такое определение вероятности повисает в воздухе. По существу, именно с этим связано предложение начинать изучение теории вероятностей со значительно более сложного статистического определения. Поэтому, автор считает, что учителю математики следует обратить пристальное внимание на современную школьную программу по биологии, которая содержит элементы генетики. А некоторые механизмы передачи наследственной информации, которые изучает эта наука, полностью укладываются в схему классической вероятности. Поэтому изучение биологии будет способствовать развитию и укреплению вероятностных представлений у учащихся, более глубокому и осознанному восприятию этого довольно непростого материала.

В статье Булычева В. А. «Вероятность вокруг нас и в школьном учебнике математики» рассмотрены задачи последнего раздела «Вероятность вокруг нас» учебника «Математика - 6» под редакцией Г. В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина. Главная особенность этих задач - их проблемность. Это не задачи-упражнения, а задачи-проблемы. Именно поэтому многие их них имеют не совсем «математические» формулировки, оставляя ученику возможность самостоятельно сделать постановку, точно описать условие и сформулировать вопрос.

Анализ учебников  и учебных пособий.

Согласно требованиям  государственного стандарта по математике содержание материала, обязательного  изучаемого по данной теме в курсе  основной школы, должно включать:

· Понятие и примеры  случайных событий;

· Понятия частоты события  и вероятности;

· Равновозможные события  и подсчет их вероятности;

· Представление о геометрической вероятности;

· Представление данных в  виде таблиц, диаграмм, графиков;

· Средние результаты измерений;

· Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Согласно требованиям  стандарта по математике после изучения данной темы учащиеся должны уметь:

· Находить вероятности случайных  событий в простейших случаях;

· Находить частоту событий, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

· Вычислять средние значения результатов измерений;

и использовать приобретенные  знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· Сравнения шансов наступления  случайных событий, оценки вероятности  случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с  реальной ситуацией;

· Понимания статистических рассуждений;

· Анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц.

Попытка построения полноправной вероятностно-статистической линии  предпринята в рамках учебных  комплектов: "Математика 5", "Математика 6" под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, а также"Математика 7", "Математика 8" и "Математика 9" под редакцией Г.В. Дорофеева.

В учебнике для 5 класса представлены начальные сведения из области статистики, в частности, представление данных в виде таблиц и диаграмм. Материал выделен в отдельную главу, которая  так и называется - "Таблицы  и диаграммы". В этой главе авторы учат школьников извлекать и анализировать  информацию, представленную на диаграмме  или в виде таблицы. Задачный материал, представленный в учебнике, особым разнообразием не отличается. В основном, школьники учатся работать с готовыми таблицами и диаграммами, сравнительно немного заданий на самостоятельное  составление таблиц и диаграмм по представленной информации. Также немного заданий, подчеркивающих удобство использования таблиц и диаграмм для представления разнообразной информации, что является, на мой взгляд, существенным недостатком, поскольку таблицы и диаграммы значительно структурируют информацию, помещаемую в них, делают ее более наглядной, а на это в учебнике не сделан соответствующий упор.

В 6 классе авторы снова возвращаются к этому материалу, где знакомят учащихся с уже более сложными таблицами, а также указывают  на различия в применении столбчатых и круговых диаграмм. Задания более  сложные по сравнению с 5 классом, но их недостаточно. Авторы вновь делают упор на работу школьников с готовыми таблицами и диаграммами, забывая  о необходимости научить детей  самостоятельному составлению таблиц и диаграмм.

Также в конце 6 класса школьникам предлагается начать изучение основ  теории вероятностей. Этому посвящена  отдельная 8 глава «Вероятность случайных  событий». Школьники учатся оценивать  вероятность наступления несложных  случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. В параграфе «Частота и вероятность случайного события» учащиеся знакомятся с понятиями частоты события как отношения числа наступления события к числу экспериментов, на конкретном примере показано, что же такое вероятность случайного события, прослежена её связь с частотой, введено обозначение вероятности, но пока авторы не дают строгого определения вероятности с использованием частоты события, а говорят лишь об "оценке вероятности случайного события по его частоте" на конкретном примере. Вероятности достоверных и невозможных событий авторы вводят как определения, со словами “естественно считать” без использования понятия частоты.

Учебник для 7 класса призван  углублять, конкретизировать и уточнять знания по основам теории вероятностей, полученные учениками в 6 классе: дается строгое определение относительной  частоты случайного события, вводится статистическое определение вероятности. Большинство заданий практической части направлены на формирование правильного  понимания частоты случайного события  и умений находить вероятность события  по его частоте. Очень мало заданий, в которых требуется провести статистическое оценивание и прогноз, что является существенным недостатком, поскольку именно такие задания  помогают развитию у школьников статистического  мышления и интуиции.

В 8 классе предполагается изучение статистических характеристик ряда: моды, медианы, размаха и среднего арифметического. Задачи, предлагаемые авторами для решения, немногочисленны  и не обладают практической направленностью. В большинстве своем, это задачи на нахождение статистических характеристик  для имеющихся данных и на построение ряда по готовым статистическим характеристикам. Несомненно, такие задания нужны  для отработки определений статистических характеристик и для их качественного  и полноценного усвоения, но главный  недостаток таких задач - их абсолютная бесполезность с практической точки  зрения. Решая такие задачи, школьник просто оперирует с набором новых  для него понятий, усваивая их и запоминая, не вдумываясь в то, что в каждом конкретном примере эти статистические характеристики несут в себе огромный практический смысл, опираясь на который, можно спрогнозировать, оценить  и сделать важные выводы, полезные в этой ситуации. Поэтому задачи такого типа не должны занимать главенствующего  места в учебнике.

В этом же классе изучение вероятностно-статистической линии продолжается рассмотрением  классического определения вероятности  и геометрической вероятности.

В учебнике для 9 класса интересующий нас материал изложен в главе  «Статистические исследования». Глава  «Статистические исследования»  является завершающим фрагментом вероятностно-статистической линии курса. Здесь осуществляется переход от описательной статистики, которой учащиеся занимались с 5 по 8 класс, к начальному знакомству с  математической статистикой. В главе  рассматриваются доступные учащимся примеры комплексных статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных  экспериментах, способах представления  данных и статистических характеристиках, а также вводятся некоторые новые  понятия, отражающие специфику данного  исследования.

Для того чтобы сформировать у учащихся представление о статистическом исследовании, в учебнике рассмотрено 3 примера, близкие жизненному опыту школьников, соответствующие названиям параграфов в главе. Первый из них - исследование качества математической подготовки школьников.

В тексте отражены основные этапы этого исследования: обсуждается  проблема построения репрезентативной выборки, демонстрируются приемы сбора  данных и их наглядного представления, проводится анализ полученных результатов. По сути в учебнике представлен алгоритм, который используют статистики при проведении подобных исследований. Основная цель состоит в том, чтобы, опираясь на представленный образец, учащиеся при решении задач смогли воспроизвести его полностью или частично. При описании исследования используются уже известные учащимся вероятностно-статистические понятия, а также вводятся некоторые новые. Новые понятия возникают естественным путем, когда этого требует логика изложения. Это касается таких понятий, как генеральная совокупность, выборочное обследование, репрезентативная выборка, ранжирование ряда данных, полигон частот, интервальный ряд и гистограмма. Но авторы в тексте учебника не обращают внимание школьников на неоднозначность при построении интервального ряда, из-за которой при решении одной задачи могут получаться разные гистограммы, а также различные средние арифметические, что является, на мой взгляд, существенным недостатком.

Рассмотрим еще несколько  учебных пособий, призванных восполнить отсутствие вероятностно - статистической линии в основном учебнике:

Мордкович А. Г., Семенов  П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы  к курсу алгебры 7-9 кл.

Характеризуя данное учебное  пособие, следует отметить, что дополнительные параграфы ориентированы на курс алгебры 7 - 9 классов А. Г. Мордковича. Они предназначены для ознакомления учащихся с элементами теории вероятностей и математической статистики. Из основ  теории вероятностей учебное пособие  содержит только классическую вероятностную  схему, не рассмотрены 2 оставшихся подхода  к понятию вероятности: статистический и геометрический. Статистический материал собран в один параграф и рассмотрен поверхностно, авторы не обращают внимания школьников на практическую значимость многих статистических понятий и характеристик. Упражнения, представленные после каждого параграфа, в основном, направлены на усвоение новых понятий и алгоритмов, нет задач исследовательского характера, задач-проблем.

Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений.

Данное учебное пособие  содержит две главы посвященные  теории вероятностей и математической статистике. В первой главе авторы рассматривают последовательно  одно за другим все 3 определения вероятности  случайного события: классическое, геометрическое и статистическое. Такая последовательность изложения ничем не обоснована, и, на мой взгляд, неверна, поскольку  может послужить поводом для  ошибок учащихся при решении задач. Между этими определениями не установлена взаимосвязь, не указаны их достоинства и недостатки, возможности использования определений в каждом конкретном случае, что тоже может привести к неверному представлению учащихся о вероятности. Статистический материал представлен неполностью, зато пособие содержит излишние факты и понятия: дискретные и случайные непрерывные величины, отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, правило трех сигм не должны изучаться в основной школе ввиду их сложности. Как и в предыдущем случае, это пособие вряд ли претендует на право полноценно знакомства школьников с вероятностно-статистической линией с его помощью.

Методика изучения стохастической линии в основной школе.

При построении методики изучения стохастической линии в основной школе необходимо учитывать следующие важные моменты:

• Содержание материала, обязательно изучаемого в рамках данной линии в средней школе, определяется  требованиями государственного стандарта по математике.
• Изучение стохастической линии целесообразно начать со статистического материала и излагать весь последующий материал индуктивно.
• С учащимися необходимо рассмотреть различные понятия вероятности: классическое, статистическое и геометрическое. В противном случае происходит неполное представление о нем.
• Последовательность изучения понятия вероятности должна быть такова: вначале необходимо ввести и сформировать представление о статистической вероятности, затем, отмечая неудобство использования такого определения и его явную неточность, перейти к изучению классической вероятности и в завершении рассмотреть геометрическую вероятность как один из способов решения проблемы конечности числа исходов в классической вероятностной схеме. Такая последовательность изучения не соответствует историческому развитию науки, но помогает избежать типичных ошибок и неверных представлений о вероятности, способствует развитию вероятностного мышления и интуиции.
• При введении каждого из определений вероятности необходимо обращать внимание учащихся на его недостатки и области возможного применения.
• Поскольку основным средством обучения математике являются задачи, то при изучении вероятностно-статистической линии необходимо рассматривать с учащимися разнообразные задачи и примеры, особо выделяя среди них задачи практического характера, устанавливающие взаимосвязь изучаемых фактов и явлений с жизнью, опытом учащихся.
• Для полноценного и качественного усвоения данного материала необходимо максимально учитывать принципы дидактики. Поэтому необходимо: