Теория вероятности и математическая статистика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра математики и информатики

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

 

по дисциплине « Теория вероятности и математическая статистика»

 

на тему: Вариант № 7

 

Студент      Чуйко М.А О Курс     СП    Факультет  ЗФК Направление Бакалавр экономики Личное дело №  100.19/120147 Преподаватель  Аксенов  Н.А. (

 

 

Орел  2013

Контрольная работа № 3.

 

1. В цехе изготавливаются  однотипные изделия на трех  станках, которые производят соответственно 50, 35 и 15% изделий от общего их  числа. Брак составляет соответственно 2, 3 и 5%. Наудачу взятое изделие  из партии нерассортированной  продукции оказалось бракованным.

На каком станке вероятнее  всего изготовлено это изделие?

 

Решение.

1. Обозначим событие Е – «Наудачу взятое изделие из партии оказалось бракованным»

Можно сделать  следующие предположения:

A₁ – изделие изготовлено на первом станке

A₂ – изделие изготовлено на втором станке

A₃ – изделие изготовлено на третьем станке

События A₁,A₂,A₃ образуют полную группу.

Найдем вероятности этих событий:

Определим условную вероятность  того, что деталь оказалась бракованной  при условии, что она изготовлена на первом станке.

Условная вероятность  того, что деталь оказалась бракованной  при условии, что она изготовлена  на втором станке равна

Условная вероятность  того, что деталь оказалась бракованной  при условии, что она изготовлена  на третьем станке равна

Для того, чтобы  ответить на вопрос задачи, необходимо по формуле Байеса определить вероятности  изготовления бракованного изделия  на каждом станке и затем сравнить их.

Вероятность того, что изделие изготовлено на первом станке при условии, что оно бракованное равна

где

Вероятность того, что изделие изготовлено на втором станке при условии, что оно бракованное  равна

Вероятность того, что изделие изготовлено на третьем  станке при условии, что оно бракованное  равна

Взятое бракованное изделие из партии нерассортированной продукции вероятнее всего изготовлено на втором станке.

 

 

2. Вероятность  того, что менеджер фирмы находится  в командировке, равна 0,7.

Найти вероятность  того, что из пяти менеджеров находятся  в командировке:

а) не менее трех менеджеров;

б) два менеджера.

 

Решение.

а) событие А  – не менее трех менеджеров находятся  в командировке, означает, что либо три менеджера в командировке, либо четыре, либо все пять менеджеров находятся в командировке. Все  перечисленные события являются независимыми.

Вероятность события  А найдем по формуле Бернулли

б) вероятность  того, что из пяти менеджеров два  находятся в командировке, равна

 

 

3. Проводится  испытание нового оружия. Основным  показателем служит частость  попадания по стандартной мишени при заданном комплексе условий. Разработчики утверждают, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.

Какое количество выстрелов по мишени необходимо сделать, чтобы с вероятностью 0,95 можно  было утверждать, что частость попадания отклонится от вероятности попадания при каждом выстреле не более чем на 0,01 (по абсолютной величине)?

 

Решение.

Искомую вероятность  определим по формуле

Нам дано по условию 

Подставляем известные  данные в формулу

 

По таблице  значений для функции Ф определяем, что                     . Следовательно,

Необходимо  сделать 6147 выстрелов, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частость попадания отклонится от вероятности  попадания при каждом выстреле не более чем на 0,01 (по абсолютной величине).

 

4. В стопке  из шести книг три книги  по математике и три по информатике.  Выбирают наудачу три книги.

Составить закон  распределения числа книг по математике среди отобранных. Найти математическое ожидание и функцию распределения этой случайной величины.

 

Решение.

Случайная величина Х – число книг по математике среди трех отобранных – может принимать следующие значения: х₁ = 0 (ни одной книги по математике из трех не выбрали), х₂ = 1 (одна из трех отобранных книг является по математике), х₃ = 2 (две из трех отобранных книг является по математике), х₄ = 3 (все три книги – по математике).

Вероятность того, что среди трех отобранных книг нет  ни одной по математике. т.е. все книги  по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг одна по математике, а остальные две по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг две  по математике, а одна по информатике, равна

Вероятность того, что среди трех отобранных книг все  три по математике, равна

Составляем  закон распределения.

xi	0	1	2	3
pi	0,05	0,45	0,45	0,05

 

Проверка 

Математическое  ожидание случайной величины найдем по формуле

Дисперсию случайной  величины определим по формуле

Построим функцию распределения.

Если  . Действительно значений меньших 0 величина Х не принимает.

Если  . Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,05.

Если  . Действительно, если удовлетворяет неравенству , то равно вероятности события Х  < , которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 (вероятность 0,05) или значение 1 (вероятность 0,45). Поскольку эти события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х  < равна сумме вероятностей 0,05 + 0,45 = 0,5.

Аналогично, если .

Если  . Действительно, событие X ≤ 3 достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция  распределения может быть записана так:

5. Плотность  вероятности нормально распределенной  случайной величины Х имеет вид:

В какой интервал (6; 8) или (18; 20) эта случайная величина попадает с большей вероятностью?

 

 

Решение.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле

где матматическое ожидание нормально распределенной случайной величины;

      среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины.

Неизвестные параметры определим из заданной плотности вероятности распределения случайной величины.

Плотность вероятности  нормально распределенной случайной  величины в общем виде записывается следующим образом

Приведем заданную нам плотность вероятности к такому виду

Следовательно, математическое ожидание случайной  величины Х равно  , среднее квадратическое отклонение .

Теперь определим  вероятности попадания случайной  величины в каждый из заданных интервалов.

Для интервала (6; 8) имеем

Для интервала (18; 20) имеем

Сравнивая значения двух вероятностей можем сделать  вывод о том, что в интервал (18; 20) случайная величина попадает с  большей вероятностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данная  работа скачена с сайта http://www.vzfeiinfo.ru ID работы: 30965

Контрольная работа № 4.

 

1. В результате  выборочного обследования 100 предприятий  региона из 500 по схеме собственно-случайной  бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на производство продукции в процентах к предыдущему году.

Снижение затрат, %	4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12	12 – 14	14 – 16	Итого
Число предприятий	6	20	31	24	13	6	100

 

Найти:

а) границы, в  которых с вероятностью 0,907 будет находиться средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях;

б) вероятность  того, что доля всех предприятий, затраты  которых снижены не менее чем  на 10%, отличается от доли таких предприятий  в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы  для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

 

Решение.

а) Формула доверительной  вероятности для оценки неизвестного генерального среднего имеет вид

где выборочное среднее;

      генеральное среднее;

      предельная ошибка выборки;

      средняя квадратическая ошибка для выборочной средней.

Определим средний  процент снижения затрат в выборке

В качестве возьмем середины интервалов, определяющих процент снижения затрат.

Составим вспомогательную  таблицу.

Снижение затрат, %		Число предприятий,
4 – 6	5	6	30	-4,72	22,2784	133,6704
6 – 8	7	20	140	-2,72	7,3984	147,968
8 – 10	9	31	279	-0,72	0,5184	16,0704
10 – 12	11	24	264	1,28	1,6384	39,3216
12 – 14	13	13	169	3,28	10,7584	139,8592
14 – 16	15	6	90	5,28	27,8784	167,2704
ИТОГО		100	972			644,16

 

Средняя величина вклада