Теория вероятности и математическая статистика

Средняя квадратическая ошибка определяется по формуле

 

Найдем выборочную дисперсию

Теперь найдем искомую  вероятность

Так как нам известна эта  вероятность Р = 0,907, то . Отсюда по таблице для нахождения Ф(t) определяем из условия Ф(t) = 0,907, t = 1,68.

Искомый доверительный интервал будет равен

Средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях с вероятностью 0,907 будет находиться в интервале 

б) Доля предприятий, затраты которых снижены не менее  чем на 10% в выборке  равна

Для нахождения вероятности воспользуемся формулой

Найдем среднюю  квадратическую ошибку бесповторной выборки  для доли

Теперь найдем требуемую вероятность

По таблице значений Ф(t) находим . Тогда, получаем

С вероятностью 0,6319 можно утверждать, что доля всех предприятий, затраты которых снижены  не менее чем на 10%, отличается от доли таких предприятий в выборке  не более чем на 0,04 (по абсолютной величине).

 

в) Объем бесповторной выборки определим по формуле

Так как  , то . По таблице значений функции Ф(t) определяем, что

Объем повторной  выборки равен

Теперь вычислим объем бесповторной выборки

Необходимо исследовать 178 предприятий, чтобы те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно было гарантировать с вероятностью 0,9876.

 

2. По данным  задачи 1, используя  - критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – процент снижения затрат – распределена по нормальному закону.

Построить на одном  чертеже гистограмму эмпирического  распределения и соответствующую  нормальную кривую.

 

Решение.

Рассмотрим  гипотезу Н₀: пусть случайная величина Х – процент снижения затрат, распределена по нормальному закону. Т.е. имеет плотность распределения

и функцию вероятности

Т.к. объем выборки n – 100 – достаточно большой, то по закону больших чисел

 

Проверим правильность сделанного выбора, т.е. хорошо ли согласуется теоретический ряд с эмпирическим,  используя - критерий согласия Пирсона.

Статистика  - критерия согласия Пирсона

где вероятность того, что случайная величина заключена в интервале

Для построения теоретического ряда найдем вероятности  попадания случайной величины Х в заданные интервалы по формуле

для каждого  интервала, для которого .

Если для  интервала оказалось  , то объединяем такой интервал с последующим или с предыдущим.

Для определения  статистики удобно составить таблицу

Снижение затрат, %	Число предприятий,
4 – 6	6	0,0586	5,86	0,0033	0.06
6 – 8	20	0,17745	17,745	0,2866	0.2
8 – 10	31	0,29555	29,555	0,0706	0.31
10 – 12	24	0,27215	27,215	0,3798	0.24
12 – 14	13	0,13855	13,855	0,0528	0.13
14 – 16	6	0,03875	3,875	1,1654	0,06
ИТОГО	n = 100	0,98105	98,105	1,9585

 

Получили опытное значение . По таблице определим критическое значение для

 число степеней свободы,  количество интервалов признака в выборке.

Так как  , то гипотеза о нормальном распределении не отвергается.

Строим гистограмму  эмпирического распределения.

Строим нормальную кривую

Получили координаты вершины нормальной кривой А( ; 0,3).

Получили координаты двух точек В(7,182;0,19) и С(12,258;0,19) или В(7,2;0,19) и С(12,3;0,19).

Получили координаты еще двух точек D(4,644; ) и F(14,796; ) или D(4,6; ) и F(14,8; )

Нормальную  кривую построишь по точкам  А, В, С, D, F на том же графике где гистограмма.

 

 

3. Распределение  60 предприятий по объему инвестиций  в развитие производства Х  (млн. руб.) и получаемой за год  прибыли Y (млн. руб.) представлено  в таблице.

y x	0 – 0,8	0,8 – 1,6	1,6 – 2,4	2,4 – 3,2	3,2 – 4,0	Итого
2 - 4	2	2				4
4 - 6	2	7	10			19
6 - 8		2	17	7		26
8 - 10			4	3	2	9
10 - 12					2	2
Итого	4	11	31	10	4	60

 

Необходимо:

1. Вычислить  групповые средние  , построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая,  что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения  прямых регрессии, построить их графики  на одном чертеже с эмпирическими  линиями регрессии и дать экономическую  интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить  коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;

в) используя  соответствующее уравнение регрессии, оценить полученную прибыль при  объеме инвестиций 5 млн. руб.

 

Решение.

1. Групповые  средние у по х

Для каждого значения , т.е. для каждой строки таблицы вычислим групповые средние

где частоты пар и число интервалов по переменной Y.

Найдем середины интервалов

	0,4	1,2	2	2,8	3,6	Итого
3	2	2				4
5	2	7	10			19
7		2	17	7		26
9			4	3	2	9
11					2	2
Итого	4	11	31	10	4	60

 

Групповые средние х по у.

Аналогично  для каждого значения , т.е. для каждого столбца таблицы вычислим групповые средние

где частоты пар и число интервалов по переменной X.

Эмпирическая  линия регрессии Y по Х – ломаная линия, соединяющая точки . Эмпирическая линия регрессии Х по Y – ломаная линия, соединяющая точки .

 

По групповым  средним построены эмпирические линии регрессии, точки которых  образуют так называемое корреляционное поле. По результатам выборки можно  предварительно заключить, что связь  между переменными х и у прямая, т.е. с ростом объема инвестиций (Х) годовая прибыль (Y) возрастает и, наоборот. Так как линии расположены близко друг к другу, можно предположить, что связь между х и у достаточно тесная.

2. а) Уравнение регрессии Y по Х имеет вид

Уравнение регрессии  Х по Y имеет вид

Геометрически тангенс угла наклона прямой регрессии к оси ОХ; тангенс угла наклона прямой регрессии к оси ОY.

Вычислим параметры  уравнений регрессии. Для этого  перейдем к  условным вариантам

		0,4	1,2	2	2,8	3,6
		-2	-1	0	1	2
3	-2	2 4	2 2				4	0,8	-8	16	12
5	-1	2 2	7 1	10 0			19	1,5	-19	19	11
7	0		2 0	17 0	7 0		26	2,2	0	0	0
9	1			4 0	3 1	2 2	9	2,6	9	9	7
11	2					2 4	2	3,6	4	8	8
		4	11	31	10	4	60		-14	52
		4	5	6,6	7,6	10
		-8	-11	0	10	8	-1
		16	11	0	10	16	53
		12	11	0	3	12					38