Вещественные числа

Хотя аксиоматически сначала  строится множество натуральных  чисел, потом целые числа, а потом  уже рациональные, исторически рациональные числа появились раньше отрицательных  чисел и нуля.

Первоначально понятие нуля возникло в качестве обозначения  нулевого разряда в записи чисел. Первое достоверное использование  нуля обнаружено в Индии и относится  к IX веку. Однако точное происхождение  цифры ноль в позиционных системах не известно. «Одни исследователи(Г. Фреуденталь) предполагают, что нуль был заимствован у греков...Другие(Дж. Нидэм), наоборот, считают, что нуль пришел в Индию с востока»[10, стр. 183]. В Индии наиболее ясно и полно исследовали вопрос о применимости к 0 арифметических операций, математиком Бхаскара даже исследовался вопрос о делении на на 0.

Также в индийской математике было наиболее отчетливое представление  об отрицательных числах. «Индийские математики, начиная с Брахмагунты(VII в.н.э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное  число как имущество, а отрицательное  как долг»[10, стр. 190], хотя мы не можем  утверждать, что отрицательные числа  впервые появились в Индии. Было установлено, что квадрат отрицательного числа - число положительное, также ставились вопросы о наличии квадратного корня из отрицательного числа. Действиям с отрицательными числами посвящена целая глава в произведении Бхаскары «Виджаганита».

Менее ясные представления  об отрицательных числах были и у  китайцев. Их появление было связано  с задачами, которые сегодня называются системы линейных уравнений. «Так как  все вычисления, в том числе  и преобразования матрицы, производились  на счетной доске, то для обозначения  отрицательных чисел применялись  счетные палочки другого цвета  или формы, а в случае записи применялись  иероглифы разных цветов»[11, стр.84]. Юшкевич высказывает предположение  о том, что представление об отрицательных  числах имел Диофант [10, стр. 145].

Хотя идея ввести обозначение  для «ничего» возникла в математике достаточно давно, но как число нуль долгое время не воспринимался. Тем  более полноправными числами  не воспринимались отрицательные числа, мысль о том, что есть что-то меньше чем «ничто» многим казалась абсурдной. «...еще Кардано называет отрицательные  числа «фиктивными» [10, стр. 315].

Интерпретация отрицательного числа как «долга» у индусов  переняли арабы, использование отрицательных  чисел встречается в работах  арабского математика Абу-л-Вафы. Считается, что термин долг был заимствован  математиком Средневековья Леонардо Пизанским(ок. 1170-после 1250, известен как Фибоначчи) у арабов. Кроме «долга» существовал термин «меньше, чем ничто». Зачатки геометрической интерпретации отрицательных чисел появляется в работе М. Штифеля «Полная арифметика», но только после работ Ферма и Декарта отношение к отрицательным числам кардинально изменилось. Применение отрицательных чисел и нуля сыграло важную роль в математике, позволило обобщить многие задачи, упростить некоторые вычисления и формализовать многие алгоритмы.

Как было отмечено ранее, дроби  появились намного раньше чем  целые числа ( ) и даже раньше чем операция деления. Они возникли из потребности делить целое на части, а также выражать величину через ее части. Дроби вида называемые долями известны человечеству со времен зарождения математического знания. Так египтяне имели обозначения для дробей вида (единичные), а также для , однако если им встречались дроби другого вида, они раскладывали их на сумму единичных дробей. Единичные дроби использовались на ранних этапах греками и шумерами. Дроби общего вида появляются в Греции, хотя изначально не принимаются как числа. Греки впервые построили, по нашим понятиям группу положительных рациональных чисел. «Только в Греции начали оперировать с дробями вида , причем умели производить с ними все действия арифметики с тем ограничением, что вычитать можно было из большего меньшее»[10, стр. 71].

Дроби также были издавна  известны в Индии, упоминания о таких  дробях как  относятся к середине II тысячелетия до н.э. Причем индийцы записывали их способом, напоминающий современный: числитель над знаменателем, но без разделительной черты. Также указывались правила обращения с такими объектами, аналогичные современным правилам обращения с дробями.

Несколько слов стоит сказать  о происхождении десятичных дробей. Прообразом для десятичных дробей послужили  шестидесятиричные дроби, используемые вавилонянами. Она напоминала современный  способ записи дробей тем, что позволяла  записывать целю и дробную часть  однотипно, что значительно упрощало вычисления. Постепенно, возникают  догадки,что это удобство не связано  с какими-то особенными свойствами число 60. «Зреет мысль о том, что  в основу системы таких дробей может быть положено и другое число...Понимание  этой мысли можно видеть уже в  учебнике арифметики середины XII в., приписываемом  Иоанну Севильскому. Иордан Немораррий(XIII в.) дает даже специальное название таким систематическим дробям, аналогичным  шестидесятеричным»[6, стр. 240]. Идея десятичных дробей использовалась некоторыми математиками, но до XIV века строгого их построения не было. В середине XIV в. французский  математик Бонфис сделал попытку  развить идею десятичного числа. Однако его работа носила эскизный характер и не была опубликована.

В первой половине XV теорию десятичного числа построил самаркандский  математик Джемшид Гиясэддином  ал-Каши. Он описал десятичную записи числа  и описал правила обращения с  десятичными дробями. Однако работы ал-Каши оставались неизвестными вплоть до середины XX века.

В Европе десятичные дроби  появились благодаря инженеру Симону Стевину(1548-1620). Он объединил отдельные  идеи и представления о десятичных дробях и пламенно их пропагандировал. Большой интерес матетиков вызвали  периодические дроби. Они были впервые  обнаружены арабским матетиком ал-Марадини в XV в. В Европе вопрос о периодических  дробях был серьезно рассмотрен Валлисом в 1676 в трактате по алгебре. Вопросами  периодических дробей занимались также  Лейбниц, Ламберт, Эйлер, Бернулли, Гаусс  и др.

2  Проблема несоизмеримых или Первый кризис в основании математики

 Как видно из предыдущего  исторического экскурса, твердого  понимания что такое число  долгое время не было. С точки  зрения древних греков, числом  было только натуральное число  большее единицы. Несколько более  прогрессивная система счисления  была у вавлонян, использущих  шестидесятиричные дроби. Вавилоняне  знали теорему Пифагора и сталкивались  с проблемой извлечения корней  из чисел не имеющих точного  квадрата. Однако, нет данных о  том, рассматривали ли они этот  вопрос теоретически. «Обладание  подобной[шестидесятиричной] системой  и вытекающая отсюда уверенность  в числовых расчетах неизбежно  приводили к «наивному» понятию  действительного числа, почти  совпадающему с тем, которое  в наши дни можно встретить  в элементарных учебниках математики (связанное с десятичной системой  счисления) или у физиков и  инженеров. Это понятие не поддается  точному определению, но его  можно выразить, сказав, что число  рассматривается как определенное  благодаря возможности получать  его приближенные значения и  вводить их в вычисления.»[2, стр. 146]. Такой же прагматический подход  к иррациональным числам был  распространен в Индии и Китае. Несмотря на несовершенную систему счисления, строгость и теоретичность греческой математики способствовала развитию представлений о числе. Как уже было отмечено выше, каждое число греки видели как сумму единиц. Единица была образующей каждого числа, а все числа состояли измерялись единицей. Такой же подход был к геометрическим объектам. В основе теории соизмеримости лежала идея о том, что существует единая единица измерения всех отрезков, такая что каждый отрезок можно отождествить с натуральным числом, по количеству в нем единичных отрезков. Отсюда естественным образом следовало, что отношение двух отрезков можно было описать двумя целыми числами, или, говоря современным языком, рациональным числом. Подобные взгляды были распространены в греческой философии; так, пифагорейцы считали, что под все можно подвести число, Фалес пытался объяснить многообразие мира из единого начала.

Однако благодаря теореме  Пифагора открыта иррациональность, которая была серьезным ударом учению пифагорейцев. Школой Пифагора было установлено, что отношение диагонали квадрата к его стороне не может быть рациональным числом. Доказательство этого факта имеется в «Началах»  Евклида. Полагают, что это и есть пифагорейское доказательство [10, с. 73]. Приведем его в современной трактовке [10, с. 73].

Пусть - диагональ квадрата, а - его сторона. Тогда их отношение равно отношению целых чисел. Выберем такие числа, чтобы они были взаимопростыми.

Возведем эту дробь  в квадрат  . По теореме Пифагора , следовательно

 (1)

Отсюда следует, что  - четное число. Из свойств четных и нечетных чисел следует, что и четное, следовательно . Подставляя в (1), имеем

Из чего следует что, четное число, а значит и n четное, что невозможно т.к. m и n взамопростые.

Это замечательный пример того, что математики называют красивым доказательством, некоторые исследователи  полагают, что это было первое в  истории доказательство «от противного»[1, стр.235]. Возможно, доказательству этой теоремы предшествовали попытки  найти практически общую меру этих двух величин [7, стр. 92].

Это открытие потрясло греков. «...проблема несоизмеримости получила громкую известность среди широких  кругов образованных людей»[10, стр. 73]. Есть легенда о том, что Пифагор  в благодарность богам принес в жертву сто быков[7, стр. 91]. Возможно было даже мнение что этот результат  должен остаться тайным[1, стр.235].

Несоизмеримость не имела  геометрического осмысления. Это  явление назвали «алогон», не поддающееся  осмыслению. Термин «иррациональность» является латинским переводом этого  слова[7, стр.91]. В истории математики крушение пифагорейской арифметики называют Первым кризисом математики.

Вслед за открытием иррациональности последовало открытие иррациональности чисел , сделанное Теодором(Феодором) из Кирены. Ученик Теодора Теэтет(начало IV в. до н.э.) доказал несколько теорем и критериев несоизмеримости, в частности он предложил метод для доказательства иррациональностей вида . Теэтет классифицировал иррациональности, также он считается творцом общей теории делимости.

2.1  Следствия первого кризиса и попытки его преодоления

 Открытие несоизмеримости  оказало огромное влияние на  греческую мысль. «Именно с  открытием несоизмеримых величин  в греческую математику проникло  понятие бесконечности»[1, стр. 235]. Дело  в том, что до открытия несоизмеримости  греки находили общую меру  при помощи алгоритма Евклида.  Но случае несоизмеримых отрезков  алгоритм переставал быть конечным. Этот факт побудил греков к  рассмотрению бесконечности. Однако  понятие бесконечности давалось  грекам с трудом и глубоко  смущало их. Трудности связанные  с понятием бесконечного привели  к еще большему кризису в  математике и нашли отражение  в знаменитых апориях Зенона  Элейского. Эти апории(парадоксы)  вскрывали противоречия между  теми кто считал что материя  и время бесконечно делимыи  теми, кто считал что существуют первичные неделимые единицы. Приведем самые интересные для затронутой темы парадоксы по [10].

1.  Парадокс «Дихотомия»  построенный в предположении,  что пространство делимо до  бесконечности.

Движущееся тело никогда  не достигнет конца пути, потому что сначала оно должно дойти  до середины отрезка, потом до середины остатка отрезка, потом до четверти отрезка и так далее. Таким  образом тело должно пройти бесконечный  набор точек.

2.  Парадокс «Стрела», построенный в предположении,  что время пространство и время  состоят из неделимых элементов.

Стрела в некоторый  момент времени находится в точке  в неподвижном состоянии. Так  как это верно в каждый момент времени, то стрела покоится.

Несмотря на то что, в этих парадоксах отражено незнание греками  понятия предела, эти парадоксы  не так просты. Вопросы, поставленные Зеноном, обсуждались философами и  математиками во все времена. В частности  такими математикам как Гильберт и Вейль. Но для греческих математиков  вопрос был в том, допустимо или  не допустимо использовать бесконечность  в математике. Этот вопрос в греческой  математике стоял очень остро. Например, Протагор(V в. до н.э) отрицал даже все  математические абстракции[10, стр. 94].

Первая концепция бесконечного, которая стала общепринятой в  греческой математике, была выдвинута  Анаксагором(V в. до н.э.) и развита  Евдоксом Книдским. Евдоксу принадлежит  метод исчерпывания, который был  призван разрешить проблему несоизмеримых. Для этого он строит теорию величин  аксиоматически. Величины в понимании  Евдокса имеют различную природу - отрезки, числа, время, но все величины характеризуются:

1.  Транзитивностью. «Равные  одному и тому же равны между  собой».

2.  «Если к равным  прибавляются равные, то и остатки  будут равны».

3.  «Если от равных  отнимаются равные, то и остатки  будут равны».

4.  Эквивалентностью. «...совмещающиеся  друг с другом равны между  собой».

5.  Все величины одного  вида упорядочены, т.е.  .

6.  «...целое больше части».

7.  «величины имеют  отношение друг с другом, если  они взятые кратно могут превзойти  друг друга» (или в современной  трактовке: если  , то найдется такое что ).Эту аксиому Евдокс вводит, чтобы исключить бесконечно большие величины. Она известна в математике под названием аксиомы Архимеда, однако Архимед не только не был ее автором, но даже подчеркивал, что это аксиома была известна до него[2, стр. 148].

 Построение этой аксиоматики  было значительным шагом в  сторону теории действительного  числа.