Вещественные числа

На множестве величин  Евдокс определил операцию отношения. Два отношения  и считались равными если для любых целых чисел выполнялось одно из следующих условий:

1.  и

2.  и

3.  и .

Аналогичным способом определялись и неравенства между отношениями. Этот оператор разбивал все величины на классы пропорциональных друг другу. Евдокс также установил транзитивность операции отношения.

Как отмечено в [2, стр. 149], введение единозначного оператора отношения  для любого вида величин, подразумевало  что для любой пары величин  а величины найдется величина такого же вида, что и , такая что , но явно это положение не формулировалось и не рассматривалось.

Как видно из определения, каждое несоизмеримое отношение  определяло два класса рациональных чисел. Существенным пробелом являлось то, что не устанавливалось обратное соответствие.

Но основе построения Евдокса  возник метод исчерпывания, основанный на аксиоме Архимеда. Теперь математики не приписывали длины отрезкам, а  сравнивали их с другими отрезками. «... метод исчерпывания ... позволил грекам решать задачи, ставшие впоследствии предметом исчисления бесконечно малых»[1, стр. 239].

После разгрома античной культуры, ее достижения подхватили арабы, в том  числе и «Начала» Евклида в  которых описаны иррациональные числа. Однако математика арабов носила больше практический, вычислительный характер. «Преобладающее место ... заняло создание разнообразных вычислительных методов и измерительных средств  для нужд торговли, административного  управления, землемерия, картографии, астрономии, календаря и т.д.»[11, стр. 98]. Это способствовало тому, что  арабы оперировали с иррациональными  числами формально не уделяя особого  внимание теоретическому обоснованию  иррациональных чисел. По этой причине  грань между «настоящими» числами  и иррациональными постепенно стиралась. Также были сведены воедино несоизмеримость  геометрических отрезков и арифметическая иррациональность.

В 1077 Омар Хайям, пытаясь  преодолеть проблему несоизмеримости, в своем труде «Комментарии к  трудностям во введениях книги Евклида» определяет, два отношения равными, если равны все соответствующие  неполные частные разложения этих дробей в непрерывные дроби. Хайям показал  равносильность этого определения  с античным и ввел умножение и  деление отношений. В заключении своей работы Хайам приходит к  необходимости обобщения понятия  числа и расширения его на иррациональные числа. Идеи Хайама получили признание  среди арабских математиков. Его  идеи развил Ат-Туси, а в XIII в. каждое отношение с уверенностью приравнивалась к числу[11, стр. 101]. Здесь интересно  отметить, что в Европе до XVI в. существовало представление о несоизмеримых.

В Средневековой Европе вопросы, связанные с бесконечностью имели  большей частью схоластический и  метафизический характер.

3  Становление теории предела

 Строгая математическое  построение понятия вещественного  числа стала возможной благодаря  теории предела.

Человек, получивший современное  математическое образование с трудом представляет себе дифференциальное и  интегральное исчисление без аппарата теории предела. Однако, исторически  производная появилась раньше предела. Причины такого явления в[1] объясняются  насущной потребностью естествознания в XVII веке методах дифференциального  и интегрального исчисления.

В XVII идеи связанные с  инфинитезимальными методами начали бурно  развиваться. Здесь стоит отметить таких математиков как Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Кавальери, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, разработанный в античности, нашел  широкое применение и развитие. Исследовался вопрос касательных - было дано определение, более общее чем античное, были построены методы отыскания касательных. Были сделаны попытки ввести производную. Было даже установлено, что задача о нахождении касательной обратна к задаче о квадратуре.

Несмотря на отсутствие строгости  «...математики достигали все большего мастерства в обращении с понятиями, лежащими в основе исчисления бесконечно малых»[1, стр. 263].

Методы бесконечно малых  завоевывают популярность у математиков  и все больше используются и совершенствуются. Интегральное и дифференциальное исчисление постепенно оформляется и обобщается трудами таких ученых как Ньютон(1643-1727) и Лейбниц(1646-1716). Так, Ньютон установил  связь между производной и  интегралом, предложил новый метод  решения уравнений при помощи производной. Он разработал метод флюксий, который связал производную с  мгновенной скоростью и ускорением. При помощи этого метода он разрабатывал интегральное и дифференциальное исчисление. Также Ньютон предложил алгоритм для нахождения производной функции, основанный на ранней форме теории пределов. Основой и мощным средством метода флюксий было разложение функций в ряды, правда без должного обоснования их сходимости.

Лейбницу мы обязаны большим  количеством удобных и красивых обозначений в интегральном и  дифференциальном исчислении. К своим  результатам Лейбниц пришел независимо от Ньютона. Пользуясь знаниями из комбинаторики  он разработал формальный метод вычисления интегралов. Лейбниц ввел понятие  дифференциала определив его  через касательные, нашел некоторые  правила нахождения дифференциала  сложной функции, а также ввёл дифференциалы высших порядков. Также  Лейбницем были разработаны методы поиска точек экстремума и точек  перегиба. Сильной стороной теории Лейбница, с точки зрения практических вычислений, была алгоритмичность и  формальность.

И Ньютон, и Лейбниц решили множество практически важных задач, пользуюясь понятиями бесконечно малых  величин, их точки зрения на производную  и интеграл отличались друг от друга. Так Ньютон для решения дифференциальных задач использует метод флюксий, а Лейбниц дифференциалы. Ньютон рассматривает интегрирование как  задачу обратную дифференцированию(в  наших понятиях, отыскание первообразной), а Лейбниц рассматривает интеграл как сумму площадей бесконечно малых  прямоугольников. Вполне естесственно, что две эти концепции были конкурирующими друг другу.

Ньютон и Лейбниц, используя  в своих выкладках бесконечно малые, не могли объяснить их природу, потому что не представляли себе малой  величины и конечной и отличной от 0. Оба ученные близко подошли  к понятию предела, но «..узкая  концепция числа, не допускавшая  отождествления некоторых отношений  с числами, была отчасти причиной того, что ни в ньютоновской, ни в  лейбницевой теориях не могло "прорезаться" понятие предела»[1, стр. 275]. Математики пользовались интуитивными и геометрическими  соображениями. Функции понимались как кривые, полученные некоторым  движением(так же как их рассматривали  древние греки). «Первые создатели анализа и их последователи принимали как нечто само собой разумеющееся справедливость двух основным представлений о пространстве и механическом движени»[4, стр. 36]. Вероятно по этой причине связь между непрерывность и дифференцируемость долгое время считались почти синонимами.

Однако метод бесконечно малых доказал свою плодотворность и нужность математике, от этого  проблема фундамента для интегрального  и дифференциального исчисления становилась еще более острой. Споры были не только среди математиков; жестким нападкам подвергалась вся  математика, например, со стороны богослова  Д. Беркли. Это состояние математики XVII-XVII получило название второго кризиса математики.

Вслед за Ньютоном и Лейбницем  попытки определить понятие бесконечно малой предпринимались Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Эти попытки  нельзя назвать бесполезными, этими  работами укрепилось в матетике понятие  функций, что сыграло свою роль дальнейшие поиски теории предела. Однако построить  связанную и логически обоснованую  теорию не получилось.

Таким образом к XIX веку в  математике сложилась парадоксальная ситуация. Налицо были несомненные  успехи математических наук в естествознании, разработана методика обращения  с рядами, дифференцирования и  интегрирования, решены многие важные задачи, но понимния на чем основан  математический анализ не было. Необходимость  разобраться с фундаметом новой  математики стала всеобщей и насущной.

Построением стройной и строгой  теории бесконечно малых мы обязаны  Огюстену Луи Коши(1789-1857). Следует  признать, что Коши был не первым математиком, кто пришел к этой идее, но, исторически, его работы сыграли  в развитии математического анализа  ключевую роль. Коши дал общее определение  предела в описательной форме: «Если  значения, последовательно приписываемые  одной и той же переменной, неограниченно  приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных»¹. С точки зрения этого определения стало понтным что такое бесконечно малая величина - это всего лишь величина, имеющая предел равный 0, затем Коши определил понятие производной и показал связь этого определения с дифференциалами Лейбница. Также он построил первую строгую теорию интегрирования и доказал связь интегрирования и дифференцирования.

Переоценить вклад Коши в  математику трудно. Его работами открывалась  новая эпоха в математике, «...начинается так называемая "арифметизация" всей математики»[3, стр. 117]. Благодаря  работам Коши математический анализ прочно и заслуженно занял в математике одно из главных мест. Методы Коши получили всеобщее распрастранение, применялись  оттачивались весь XIX век. Идеи и методы Коши плодотворно пользуются и обобщаются современными математиками и сегодня.

4  Создание теории действительного числа

 После «наведения порядка»  в математическом анализе встал  вопрос о ситуации в арифметике. «К необходимости разработки  теории действительных чисел  приводили многие задачи анализа  и некоторые способы рассуждений,  применявшиеся при решении этих  задач»[4, стр. 61]. Проблема основания,  понимания того, что же такое  число, в XIX в. еще не была  решена. С нашей точки зрения, это была задача о пополнении  множества рациональных чисел.  Ее пытались решить следующим  способом(приведен по [4]):

Определим иррациональное число  как предел последовательности рациональных чисел. Надо показать, что такая последовательность сходится. Для этого воспользуемся  критерием Коши, который будет  справедлив для любых рациональных значений, однако для того чтобы  ответить на вопрос будет ли он справедлив для действительных чисел необходимо иметь определенными иррациональные числа. Получался замкнутый круг.

Эта задача была решена в XIX веке с разных точек зрения и независимо друг от друга Вейерштрассом, Дедекиндом, Кантором и Мерэ.

4.1  Карл Вейерштрасс

 Карл Вейерштрасс родился  в городе Остенфельд (предместье  Эннигерло), в семье секретаря  бургомистра. В 1834 г. с успехом  закончил Пандерборнскую гимназию, его имя было в списке 11 самых  талантливых учеников. По настоянию  отца в 1834 году Вейерштрасс  поступает в Боннский университет  для получения юридического образования.  Но юридические науки его не  увлекали, большую часть времени  он уделял занятиям математикой.  Через 4 года Вейерштрасс бросает  университет, не сдав ни одного  экзамена. В 1839 году поступает  в Мюнстерскую академию, а в  1841 году блестяще сдает выпускную  работу. После окончания университета  работает учителем в провинциальных  городах Германии. В 1845 публикует  статью по абелевым функциям, за которую получает докторскую  степень от Кенигсбергского университета. В 1861 избирается членом Баварской академии наук. С 1856 по 1889 читает лекции в Берлинском унивеситете. Умер Вейрштрасс в 1897 году.

Математическое творчество отличается стремлением к ясности  и строгости. Как пишет о нем  Пуанкаре[5]: «Вейерштрасс отказывается пользоваться интуицией или по крайней  мере оставляет ей только ту часть, которую не может у нее отнять»  Работы Вейерштрасса охватывают широкий  круг проблем: абелевы и эллиптические  функции, комплексные величины, теория рядов и многие другие.

Вейерштрасс сыграл главную  роль в арифметизации математического  анализа. Он стремился к тому, чтобы  все понятия математики перевести  в буквенно-числовые. Он ушел от любых  интуитивных и геометрических представлений  понятия функции. Чтобы уйти от туманных формулировок вроде «Неограниченное  приближение одной величины к  другой», был создан язык , который позволял теперь рассматривать функции как числовые соответствия между множествами, непрерывность которых можно установить при помощи арифметических неравенств. Вейерштрасс опроверг некоторые интуитивные представления о функциях, например, он построил непрерывную функцию не имеющей производной ни в одной точке.

Вейерштрасс придерживался  точки зрения, что строгость анализа  зависит от арифметики. Поэтому он начинает работать над приведением  в порядок доставшегося от греков математического наследства несоизмеримых. Он отделяет понятие числа от понятия  величины.

Приблизительно в 1863 году Карл Вейерштрасс создает теорию вещественных чисел, которая разрешает  логические нестыковки арифметики. К  сожалению, он не издавал её, а изложил  на лекции своим ученикам. Вейерштрасс  дал свое построение в терминах точных частей единицы, но здесь оно рассмотрено  в современной трактовке.

Положим что у нас есть рациональные числа. Возьмем множество  рациональных такое, что его сумма любого конечного числа элементов не превосходит заданных границ. Если мы будем теперь составлять из этих чисел сумму, то если сумма будет конечной. Таким образом, конечная сумма этих чисел будет представлять рациональное число, мы можем сопоставить любому рациональному числу некоторый конечный набор из некоторого множества . С иррациональным числом этот набор будет бесконечным. Далее, возьмем два бесконечных набора. Будем считать что рациональные числа представлены несократимыми дробями. Рассмотрим набор чисел натуральных чисел . Если для сумма дробей вида из первого множества совпадает с суммой таких же дробей из второго множества, то иррациональные числа совпадают друг с другом. Рассмотрим первый номер для которого это равенство не выполняется. Если для имеет место равенство , где суммы составлены по таким рациональным числам, которые имеют вид , то первое число больше второго. Если имеется обратное неравенство, то второе число больше первого. Сложение чисел определяется операцией объединения множеств. Вычитание определяется как операция обратная сложению. Составление агрегата вида , где умножение составляется по всевозможным элементам, определяет умножение.