Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задание 1.

В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство ( в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому  кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней  ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

- нормальности распределения  остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Квартал	Вариант 6
1	36
2	46
3	55
4	35
5	39
6	50
7	61
8	37
9	42
10	54
11	64
12	40
13	47
14	58
15	70
16	43

 

Решение:

1. Находим начальные оценки параметров и индексы сезонности при n=8.

y_расч(t)=а₀+а₁(t)

 

n*а₀+(Σt)a₁=Σy_t

(Σt)*a₀+(Σt²)a₁=Σ(t*y_t)

 

t	t2	y(t)	t*y(t)	yрасч(t)		Ft
1	1	36	36	41,917	0,859	0,860
2	4	46	92	42,762	1,076	1,080
3	9	55	165	43,607	1,261	1,280
4	16	35	140	44,452	0,787	0,780
5	25	39	195	45,297	0,861
6	36	50	300	46,142	1,084
7	49	61	427	46,987	1,298
8	64	37	296	47,832	0,774
36	204	359	1651	358,996	8,000

t²=204

8*a₀+36*a₁=359 | *36

36*a₀+204*a₁=1651 | *8

288*a₀+1296*a₁=12924

288*a₀+1632*a₁=13208

 

-336*a₁=-284

a₁=0,8452

а₀=41,0716

а₀(0)=41,072

а₁(0)=0,845

y _расч(t)=41,072+0,845*t

y_расч(1)=41,072+0,845*1=41,917

у_расч(2)=41,072+0,845*2=42,762

у_расч(3)=41,072+0,845*3=43,607

у_расч(4)=41,072+0,845*4=44,452

у_расч(5)=41,072+0,845*5=45,297

у_расч(6)=41,072+0,845*6=46,142

у_расч(7)=41,072+0,845*7=46,987

у_расч(8)=41,072+0,845*8=47,832

= =0,859

= =1,076

= =1,261

= =0,787

= =0,861

= =1,084

= =1,298

= =0,774

 

Для нахождения начальных оценок индексов сезонности нужно фактические значения признака разделить на расчетные и полученные значения усреднить по одноименным  кварталам.

 F _0,1= = =0,860

F _0,2= = =1,080

F _0,3= = =1,280

F _0,4= = =0,780

Первый цикл (Первый год)

t=1     к=1

у_р(1)=(а0(0)+а1(0)*1)*F0,1=(41,072+0,845)*0,860=36,049

а₀(1)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(0)+а₁(0))

а₀(1)=0,3* +(1-0,3)*(41,072+0,845)=12,558+0,7*41,917=41,900

а₁(1)=α₃*(а₀(1)-а₀(0))+(1-α₃)*а₁(0)

а₁(1)=0,3*(41,900-41,072)+(1-0,3)*0,845=0,3*0,828+0,7*0,845= 0,2484+0,5915=0,769

F _1,1=α₂* +(1-α₂)*F _0,1

F _1,1=0,6* +(1-0,6)*0,860=0,516+0,344=0,860

t=2

у _расч(2)=(а₀(1)+а₁(1)*1)*F _0,2

у_расч(2)=(41,900+0,840*1)*1,080=46,159

а₀(2)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(1)+а₁(1))

а₀(2)=0,3* +0,7*(41,900+0,840)=12,778+29,918=42,696

а₁(2)= α₃*(а₀(2)-а₀(1))+(1-α₃)*а₁(1)

а₁(2)=0,3*(42,696-41,900)+0,7*0,840=0,239+0,588=0,827

F _1,2= α₂* +(1-α₂)*F _0,2

F _1,2=0,6* +0,4*1,080=0,646+0,432=1,078

t=3

у _расч(3)=(а₀(2)+а₁(2)*1)*F _0,3

у_расч(3)=(42,696+0,827*1)*1,280=55,709

а₀(3)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(2)+а₁(2))

а₀(3)=0,3* +0,7*(42,696+0,827)=12,891+30,466=43,357

а₁(3)= α₃*(а₀(3)-а₀(2))+(1-α₃)*а₁(2)

а₁(3)=0,3*(43,357-42,696)+0,7*0,827=0,198+0,579=0,777

F _1,3= α₂* +(1-α₂)*F _0,3

F _1,3=0,6* +0,4*1,280=0,761+0,512=1,273

t=4

у _расч(4)=(а₀(3)+а₁(3)*1)*F _0,4

у_расч(4)=(43,357+0,777*1)*0,780=34,425

а₀(4)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(3)+а₁(3))

а₀(4)=0,3* +0,7*(43,357+0,777)=13,462+30,894=44,356

а₁(4)= α₃*(а₀(4)-а₀(3))+(1-α₃)*а₁(3)

а₁(4)=0,3*(44,356-43,357)+0,7*0,777=0,300+0,544=0,844

F _1,4= α₂* +(1-α₂)*F _0,4

F _1,4=0,6* +0,4*0,780=0,473+0,312=0,785

Второй цикл (Второй год).

t=5

у _расч(5)=(а₀(4)+а₁(4)*1)*F _1,1

у_расч(5)=(44,356+0,844*1)*0,860=38,872

а₀(5)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(4)+а₁(4))

а₀(5)=0,3* +0,7*(44,356+0,844)=13,605+31,64=45,245

а₁(5)= α₃*(а₀(5)-а₀(4))+(1-α₃)*а₁(4)

а₁(5)=0,3*(45,245-44,356)+0,7*0,844=0,267+0,591=0,858

F _2,1= α₂* +(1-α₂)*F _1,1

F _2,1=0,6* +0,4*0,860=0,517+0,344=0,861

t=6

у _расч(6)=(а₀(5)+а₁(5)*1)*F _1,2

у_расч(6)=(45,245+0,858*1)*1,078=49,699

а₀(6)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(5)+а₁(5))

а₀(6)=0,3* +0,7*(45,245+0,858)=13,915+32,272=46,187

а₁(6)= α₃*(а₀(6)-а₀(5))+(1-α₃)*а₁(5)

а₁(6)=0,3*(46,187-45,245)+0,7*0,858=0,283+0,601=0,884

F _2,2= α₂* +(1-α₂)*F _1,2

F _2,2=0,6* +0,4*1,078=0,650+0,431=1,081

t=7

у _расч(7)=(а₀(6)+а₁(6)*1)*F _1,3

у_расч(7)=(46,187+0,884*1)*1,273=59,921

а₀(7)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(6)+а₁(6))

а₀(7)=0,3* +0,7*(46,187+0,884)=14,375+32,950=47,325

а₁(7)= α₃*(а₀(7)-а₀(6))+(1-α₃)*а₁(6)

а₁(7)=0,3*(47,325-46,187)+0,7*0,884=0,341+0,619=0,960

F _2,3= α₂* +(1-α₂)*F _1,3

F _2,3=0,6* +0,4*1,273=0,773+0,509=1,282

t=8

у _расч(8)=(а₀(7)+а₁(7)*1)*F _1,4

у_расч(8)=(47,325+0,960*1)*0,785=37,904

а₀(8)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(7)+а₁(7))

а₀(8)=0,3* +0,7*(47,325+0,960)=14,140+33,800=47,940

а₁(8)= α₃*(а₀(8)-а₀(7))+(1-α₃)*а₁(7)

а₁(8)=0,3*(47,940-47,325)+0,7*0,960=0,185+0,672=0,857

F _2,4= α₂* +(1-α₂)*F _1,4

F _2,4=0,6* +0,4*0,785=0,463+0,314=0,777

Третий цикл (Третий год).

t=9

у _расч(9)=(а₀(8)+а₁(8)*1)*F _2,1

у_расч(9)=(47,940+0,857*1)*0,861=42,014

а₀(9)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(8)+а₁(8))

а₀(9)=0,3* +0,7*(47,940+0,857)=14,634+34,158=48,792

а₁(9)= α₃*(а₀(9)-а₀(8))+(1-α₃)*а₁(8)

а₁(9)=0,3*(48,792-47,940)+0,7*0,857=0,256+0,600=0,856

F _3,1= α₂* +(1-α₂)*F _2,1

F _3,1=0,6* +0,4*0,861=0,516+0,344=0,860

t=10

у _расч(10)=(а₀(9)+а₁(9)*1)*F _2,2

у_расч(10)=(48,792+0,856*1)*1,081=53,669

а₀(10)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(9)+а₁(9))

а₀(10)=0,3* +0,7*(48,792+0,856)=14,986+34,754=49,740

а₁(10)= α₃*(а₀(10)-а₀(9))+(1-α₃)*а₁(9)

а₁(10)=0,3*(49,740-48,792)+0,7*0,856=0,284+0,599=0,883

F _3,2= α₂* +(1-α₂)*F _2,2

F _3,2=0,6* +0,4*1,081=0,651+0,432=1,083

t=11

у _расч(11)=(а₀(10)+а₁(10)*1)*F _2,3

у_расч(11)=(49,740+0,883*1)*1,282=64,899

а₀(11)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(10)+а₁(10))

а₀(11)=0,3* +0,7*(49,740+0,883)=14,977+35,436=50,413

а₁(11)= α₃*(а₀(11)-а₀(10))+(1-α₃)*а₁(10)

а₁(11)=0,3*(50,413-49,740)+0,7*0,883=0,202+0,618=0,820

F _3,3= α₂* +(1-α₂)*F _2,3

F _3,3=0,6* +0,4*1,282=0,762+0,513=1,275

t=12

у _расч(12)=(а₀(11)+а₁(11)*1)*F _2,4

у_расч(12)=(50,413+0,820*1)*0,777=39,808

а₀(12)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(11)+а₁(11))

а₀(12)=0,3* +0,7*(50,413+0,820)=15,444+35,863=51,307

а₁(12)= α₃*(а₀(12)-а₀(11))+(1-α₃)*а₁(11)

а₁(12)=0,3*(51,307-50,413)+0,7*0,820=0,268+0,574=0,842

F _3,4= α₂* +(1-α₂)*F _2,4

F _3,4=0,6* +0,4*0,777=0,468+0,311=0,779

Четвертый цикл (Четвертый  год).

t=13

у _расч(13)=(а₀(12)+а₁(12)*1)*F _3,1

у_расч(13)=(51,307+0,842*1)*0,860=44,848

а₀(13)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(12)+а₁(12))

а₀(13)=0,3* +0,7*(51,307+0,842)=16,395+36,504=52,899

а₁(13)= α₃*(а₀(13)-а₀(12))+(1-α₃)*а₁(12)

а₁(13)=0,3*(52,899-51,307)+0,7*0,842=0,478+0,589=1,067

F _4,1= α₂* +(1-α₂)*F _3,1

F _4,1=0,6* +0,4*0,860=0,533+0,344=0,877

t=14

у _расч(14)=(а₀(13)+а₁(13)*1)*F _3,2