Контрольная работа по "Финансовой математике"

у_расч(14)=(52,899+1,067*1)*1,083=58,445

а₀(14)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(13)+а₁(13))

а₀(14)=0,3* +0,7*(52,899+1,067)=16,066+37,776=53,842

а₁(14)= α₃*(а₀(14)-а₀(13))+(1-α₃)*а₁(13)

а₁(14)=0,3*(53,842-52,899)+0,7*1,067=0,283+0,747=1,030

F _4,2= α₂* +(1-α₂)*F _3,2

F _4,2=0,6* +0,4*1,083=0,646+0,433=1,079

t=15

у _расч(15)=(а₀(14)+а₁(14)*1)*F _3,3

у_расч(15)=(53,842+1,030*1)*1,275=69,962

а₀(15)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(14)+а₁(14))

а₀(15)=0,3* +0,7*(53,842+1,030)=16,471+38,410=54,881

а₁(15)= α₃*(а₀(15)-а₀(14))+(1-α₃)*а₁(14)

а₁(15)=0,3*(54,881-53,842)+0,7*1,030=0,312+0,721=1,033

F _4,3= α₂* +(1-α₂)*F _3,3

F _4,3=0,6* +0,4*1,275=0,765+0,510=1,275

t=16

у _расч(16)=(а₀(15)+а₁(15)*1)*F _3,4

у_расч(16)=(54,881+1,033*1)*0,779=43,557

а₀(16)=α₁* +(1-α₁)*(а₀(15)+а₁(15))

а₀(16)=0,3* +0,7*(54,881+1,033)=16,560+39,140=55,700

а₁(16)= α₃*(а₀(16)-а₀(15))+(1-α₃)*а₁(15)

а₁(16)=0,3*(55,700-54,881)+0,7*1,033=0,246+0,723=0,969

F _4,4= α₂* +(1-α₂)*F _3,4

F _4,4=0,6* +0,4*0,779=0,463+0,312=0,775

Для анализа, исследования и прогнозирования берут модель с последнего шага корректировки.

у _расч(t+к)=(а₀(16)+а₁(16)*к)*F _t-l+к 

у _расч(t+к)= (55,700+0,969*к)*F _t-l+к  адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса.

F _t: F _4,1=0,877; F _4,2=1,079; F _4,3=1,275; F _4,4=0,775

2. Оценим точность модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации

S=

t	y(t)	yрасч(t)	E(t)
1	36	36,049	-0,049	0,0014
2	46	46,159	-0,159	0,0035
3	55	55,709	-0,709	0,0129
4	35	34,425	0,575	0,0164
5	39	38,872	0,128	0,0033
6	50	49,699	0,301	0,0060
7	61	59,921	1,079	0,0177
8	37	37,904	-0,904	0,0244
9	42	42,014	-0,014	0,0003
10	54	53,669	0,331	0,0061
11	64	64,899	-0,899	0,0140
12	40	39,808	0,192	0,0048
13	47	44,848	2,152	0,0458
14	58	58,445	-0,445	0,0077
15	70	69,962	0,038	0,0005
16	43	43,557	-0,557	0,0130
136	777	775,94	1,06	0,1778

 

S= =1,11%

Так как средняя относительная  ошибка аппроксимации равна 1,11%, т.е. меньше 5%, то модель считается точной.

3.Оценим адекватность  построенной модели

а) случайность остаточной компоненты по критерию пиков

m>[ ]

m- количество поворотных точек или пиков

m>[ ]

m>6

t	y(t)	yрасч(t)	E(t)		m
1	36	36,049	-0,049	0,0014	-
2	46	46,159	-0,159	0,0035	0
3	55	55,709	-0,709	0,0129	1
4	35	34,425	0,575	0,0164	1
5	39	38,872	0,128	0,0033	1
6	50	49,699	0,301	0,0060	0
7	61	59,921	1,079	0,0177	1
8	37	37,904	-0,904	0,0244	1
9	42	42,014	-0,014	0,0003	1
10	54	53,669	0,331	0,0061	1
11	64	64,899	-0,899	0,0140	1
12	40	39,808	0,192	0,0048	0
13	47	44,848	2,152	0,0458	1
14	58	58,445	-0,445	0,0077	1
15	70	69,962	0,038	0,0005	1
16	43	43,557	-0,557	0,0130	-
136	777	775,94	1,06	0,1778

 

m=11

11>6

Свойство выполняется 

б) независимость уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32

d _расч=

t	y(t)	yрасч(t)	E(t)		m	Et-Et-1	(Et-Et-1)2	Et2
1	36	36,049	-0,049	0,0014	-	-		0,002
2	46	46,159	-0,159	0,0035	0	-0,11	0,012	0,025
3	55	55,709	-0,709	0,0129	1	-0,55	0,303	0,503
4	35	34,425	0,575	0,0164	1	1,284	1,649	0,331
5	39	38,872	0,128	0,0033	1	-0,447	0,200	0,016
6	50	49,699	0,301	0,0060	0	0,173	0,030	0,091
7	61	59,921	1,079	0,0177	1	0,778	0,605	1,164
8	37	37,904	-0,904	0,0244	1	-1,983	3,932	0,817
9	42	42,014	-0,014	0,0003	1	0,89	0,792	0,000
10	54	53,669	0,331	0,0061	1	0,345	0,119	0,110
11	64	64,899	-0,899	0,0140	1	-1,23	1,513	0,808
12	40	39,808	0,192	0,0048	0	1,091	1,190	0,037
13	47	44,848	2,152	0,0458	1	1,96	3,842	4,631
14	58	58,445	-0,445	0,0077	1	-2,597	6,744	0,198
15	70	69,962	0,038	0,0005	1	0,483	0,233	0,001
16	43	43,557	-0,557	0,0130	-	-0,595	0,354	0,310
136	777	775,94	1,06	0,1778		-0,508	21,518	9,045

 

d_расч= =2,38

-	?	+	d'
	d1	d2	2	4

 

Находим d’

d’=4-dрасч

d’=4-2,38=1,62

Свойство выполняется, остатки независимы

в) нормальность распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями  от 3 до 4,21

R/S=

S_E=

S_E= =0,773

R/S= =3,953

3<3,953<4,21

Свойство выполняется

4. Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед

Для прогнозирования берут модель с последнего шага корректировки

у _расч(16+к)=(61,030+0,955*к)*F (16+к-4)

F _4,1=0,877; F _4,2=1,079; F _4,3=1,275; F _4,4=0,775

 

Пятый цикл (Пятый год)

t=17 к=1

у _расч(17)=(а₀(16)+а₁(16)*1)*F _4,1

у_расч(17)=(55,700+0,969*1)*0,877=49,699

t=18 к=2

у _расч(18)=(а₀(16)+а₁(16)*2)*F _4,2

у_расч(18)=(55,700+0,969*2)*1,079=62,191

t=19 к=3

у _расч(19)=(а₀(16)+а₁(16)*3)*F _4,3

у_расч(19)=(55,700+0,969*3)*1,275=74,724

t=20 к=4

у _расч(20)=(а₀(16)+а₁(16)*4)*F _4,4

у_расч(20)=(55,700+0,969*4)*0,775=46,171

5. Отразим на графике  фактические, расчетные и прогнозные  данные

 

 

 

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения  цен;

- индекс относительной  силы;

- % R, %K и %D.

Расчеты проводить для  всех дней, для которых эти расчеты  можно выполнить на основании имеющихся данных.

Вариант 6
Дни	Цены
	максимальная	минимальная	закрытия
1	600	550	555
2	560	530	530
3	536	501	524
4	545	521	539
5	583	540	569
6	587	562	581
7	582	561	562
8	573	556	573
9	610	579	592
10	645	585	645

 

 

ЕМА_t=к*С_t+(1-к)*EMA_t-1 –формула экспоненциальной скользящей средней, где

к- параметр сглаживания;

n- порядок скользящей средней (интервал сглаживания)

n=5

к=

к= =0,33

При определении первого  значения ЕМА_t берется простая скользящая средняя исходя из порядка скользящей средней.

Определим экспоненциальную скользящую среднюю

ЕМА₅= = =543,400

ЕМА₆=ЕМА₅+0,33*(P₆-EMA₅)

ЕМА₆=543,4+0,33*(581-543,4)=555,808

ЕМА₇=ЕМА₆+0,33*(P₇-EMA₆)

ЕМА₇=555,808+0,33*(562-555,808)=557,851

ЕМА₈=ЕМА₇+0,33*(P₈-EMA₇)

ЕМА₈=557,851+0,33*(573-557,851)=562,850

ЕМА₉=ЕМА₈+0,33*(P₉-EMA₈)

ЕМА₉=562,850+0,33*(592-562,850)=572,470

ЕМА₁₀=ЕМА₉+0,33*(P₁₀-EMA₉)

ЕМА₁₀=572,470+0,33*(645-572,470)=596,405

Так как линия скользящей средней находится ниже ценового графика, то ценовой тренд является восходящим.

Определим момент

M_t=P_t-P_x

M₅=P₅-P₁

M₅=569-555=14

M₆=P₆-P₂

M₆=581-530=51

M₇=P₇-P₃

M₇=562-524=38

M₈=P₈-P₄

M₈=573-539=34

M₉=P₉-P₅

M₉=592-569=23

M₁₀=P₁₀-P₆

M₁₀=645-581=64

Критическое значение Мt=0. Так как момент с 5 по 10 день больше нуля, то ценовой тренд является восходящим.

Определим скорость изменения  цен 

ROC₅=

ROC₅= =102,523

ROC₆=

ROC₆= =109,623

ROC₇=

ROC₇= =107,252

ROC₈=

ROC₈= =106,308

ROC₉=

ROC₉= =104,042

ROC₁₀=

ROC₁₀= =111,015

Критическое значение ROC_t =100 %. Так как скорость изменения цен с 5 по 10 день больше 100 %, то ценовой тренд является восходящим.

Определим индексы относительной  силы

RSI_t=

RS=

RSI₅=

AU(1-5)=15+30=45