Контрольная работа по финансовой математике

Изм

Лист

Дата

Л Листист

2

Подпись

Лист

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1 ………………………………………………………………………..	3
Задача 2 ………………………………………………………………………..	5
Задача 3 ………………………………………………………………………..	6
Задача 4 ………………………………………………………………………..	7
Задача 5 ………………………………………………………………………..	9
Задача 6 ………………………………………………………………………..	10
Задача 7 ………………………………………………………………………..	12
Задача 8 ………………………………………………………………………..	13
Задача 9 ………………………………………………………………………..	14
Задача 10 ………………………………………………………………………	15
Задача 11 ………………………………………………………………………	16
Задача 12 ………………………………………………………………………	18
Задача 13 ………………………………………………………………………	22
Задача 14 ………………………………………………………………………	23
Задача 15 ………………………………………………………………………	24
Список использованной литературы ……………………………………….	25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

3

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 1

Имеются два обязательства. Условия первого: S₁=400 тыс.руб., t₁= 4 мес.; условия второго: S₂=420 тыс.руб., t₂= 9 мес. Требуется определить, какое из этих обязательств выгоднее для получателя денег при ставке простых процентов i=15%.

Решение

На практике нередко возникают случаи, когда  нужно заменить одно денежное обязательство  другим, например, с более отдаленным сроком платежа. Такие задачи решают на основе принципа финансовой эквивалентности  обязательств. Эквивалентными считаются  такие платежи, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются  равными. Приведение осуществляется путем  дисконтирования (приведение к более  ранней дате) или, наоборот, наращения  платежа (если дата относится к будущему). Две суммы S₁ и S₂, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы.

По условиям задачи платежи краткосрочные, поэтому  при дисконтировании на начало срока  применяется простая процентная ставка, равная 15%. Введем обозначения:

I – проценты за весь срок ссуды;

P – первоначальная сумма долга;

S – наращенная сумма, т. е. сумма в конце срока;

i – годовая ставка наращения процентов (десятичная дробь);

n – срок ссуды (в годах).

Проценты, начисленные за весь срок, рассчитываются по формуле:

(1.1)

Тогда наращенная сумма рассчитывается по формуле:

(1.2)

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

4

Подпись

Лист

Формула 1.2 является формулой наращения по простым  процентам, или формулой простых  процентов. Множитель  – множитель наращения простых процентов. Для определения первоначальной суммы используют формулу дисконтирования:

(1.3)

Срок n представим в виде дроби:

(1.4)

где m – количество месяцев по сделке.

Для решения  задачи проведем дисконтирование суммы  обязательства S₂ к сроку по первому обязательству и сравним с суммой S₁. Получим:

 

Таким образом, первое обязательство выгоднее для  получателя денег.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

5

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 2

Вексель выдан на сумму 500 тыс.руб. с уплатой 17 ноября. Владелец учел его в банке 23 сентября этого же года по учетной ставке 8%. Какую сумму он получил?

Решение

Суть  операции учета векселя заключается  в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до поступления срока  платежа по векселю (или иному  платежному обязательству) приобретает  его у владельца по цене, которая  меньше суммы, указанной на векселе, то есть покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь, владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить деньги хотя и не в полном объеме, но ранее указанного на нем срока. При учете векселя применяется банковский, или коммерческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уплате в конце срока. При этом применяется учетная ставка d:

(2.1)

Где n – срок в годах от момента учета до даты погашения векселя;

 – дисконтный  множитель.

Срок n представим в виде дроби:

(2.2)

где t – число дней ссуды;

K – число дней в году, или временная база начисления процентов.

По условиям задачи:

 

 

Поэтому оставшийся до конца срока период составит:

 

Полученная  при учете сумма (текущая стоимость  векселя) равна:

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

6

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 3

Вексель был учтен за 15 дней до срока погашения  по ставке 13% годовых. В результате учета владелец векселя получил 49 625 руб. Какова номинальная стоимость векселя?

Решение

Из формул 2.1 и 2.2 выразим значение номинальной стоимости векселя:

(3.1)

Тогда по условиям задачи получим, что номинальная  стоимость векселя равна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

7

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 4

Предоставлена ссуда в размере 12 тыс.руб. 10 февраля с погашением 10 июня под простую ставку 20% годовых (год не високосный). Рассчитать всеми известными способами сумму к погашению.

Решение

Срок n представлен в виде дроби (формула 2.2):

 

где t – число дней ссуды;

K – число дней в году, или временная база начисления процентов.

Применяют две временные базы: K = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) и K = 365 (366) дней. Если К = 360, то получают обыкновенные (коммерческие) проценты. Если К = 365 (366), то – точные проценты.

Число дней ссуды также измеряют приближенно  либо точно. При приближенном способе  длительность каждого месяца принимается, равной 30 дням. При точном способе подсчитывается число дней между датой выдачи и датой погашения. При этом дата выдачи и дата погашения считаются за один день.

На практике используется три варианта:

1) Точные проценты с точным числом дней ссуды. Обозначение в документе: 365/365 либо ACT/ACT.

2) Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Метод иногда называется банковским. Обозначается: 365/360 либо ACT/360. Этот метод дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.

3) Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Применяется, когда не требуется большой точности. Обозначение: 360/360.

Применим  все три метода для решения  задачи, используя  формулу 1.2 для  исчисления наращенной суммы по ссуде:

1) точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365). Точное число дней ссуды равно:

t_т = 19 (февр) + 31 (март) + 30 (апр) + 31 (май) + 10 (июнь) – 1 = 120 дней

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

8

Подпись

Лист

Сумма к  погашению при данном способе  равна:

 

2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. Точное число дней ссуды равно 120 дней. Сумма к погашению при данном способе равна:

 

3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Приближенное число дней ссуды равно:

t_п = 21 (февр) + 30 (март) + 30 (апр) + 30 (май) + 10 (июнь) – 1 = 120 дней

Сумма к  погашению при данном способе  равна:

 

Таким образом, клиенту выгоднее взять ссуду  на условиях – точные проценты с  точным числом дней ссуды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

9

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 5

Величина  предоставленного потребительского кредита  для покупки автомобиля равна 780 000 руб. с простой процентной ставкой 8% годовых и сроком погашения 20 месяцев. Первоначальный взнос равен 30% стоимости предоставленного потребительского кредита. Каковы сумма долга с процентами и ежемесячные платежи?

Решение

В потребительском  кредите проценты, как правило, начисляются  на всю сумму кредита и присоединяются к основной сумме долга в момент открытия кредита. Погашение долга  с процентами производится частями, обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Для решения  задачи наращенная сумма долга по кредитному договору при простой  процентной ставке рассчитывается по формуле 1.2, при этом срок n представлен в виде дроби:

 

где m – количество месяцев по сделке.

Величина  разового погасительного платежа рассчитывается по формуле:

(5.1)

где k – число платежей в году.

По условиям задачи, во-первых, наращенная стоимость  по кредитному договору рассчитывается за вычетом величины первоначального  взноса:

 

Сумма долга (наращенная стоимость) по кредитному договору равна:

 

Во-вторых, количество месяцев по сделке равно  количеству платежей за весь срок сделки, т.к. . Ежемесячные платежи будут равными:

 

Таким образом, сумма долга с процентами равна 618 800 руб., ежемесячные платежи равны 30 940 руб.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

10

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 6

Контракт  предусматривает следующий порядок  начисления сложных процентов: первый год – 10%, в каждом последующем  полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2 года.

Решение

В средне- и долгосрочных финансово-кредитных  операциях, если проценты не выплачиваются  сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты. База для их начисления увеличивается с каждым шагом во времени. Процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательные реинвестирования средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Соотношение между наращенной суммой и первоначальной суммой вклада называется множителем наращения по сложным процентам.

Для записи формулы наращения применим следующие  обозначения:

Р – первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капитала и т.д.),

S – наращенная сумма на конец срока ссуды,

n – срок, число лет (периодов) наращения,

i_c – уровень годовой ставки процентов, представленный десятичной дробью.

Наращенная  сумма долга с присоединенными  процентами через один год составит P(1+ i) , через 2 года P(1+ i)(1+ i) = P(1+ i)² , через n лет - P(1+ i)ⁿ . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов:

(6.1)

 

По условиям задачи, во-первых, ставка сложных процентов  меняется во времени. Формула наращения имеет следующий вид:

(6.2)

Изм

Лист

Дата

Л Листист

11

Подпись

Лист

где i₁, i₂, …, i_k – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n₁, n₂, …, n_k, соответственно.

Во-вторых, по условиям задачи во второй год проценты капитализируются не один, а несколько  раз в году - по полугодиям. Каждый раз проценты начисляются по ставке i_c/m, где m – число периодов начисления в году (m = 2 для начисления по полугодиям).