Контрольная работа по финансовой математике

Таким образом, по условиям задачи множитель наращения  по сложным процентам рассчитывается следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

12

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 7

На валютный депозит помещают сумму в 1 млн.руб. Курс валюты на начало срока депозита 29,5 руб., а в конце – 30,05 руб. Процентная ставка по валютному депозиту j=8%. Срок операции – полгода. Найти наращенную сумму (в руб.).

Решение

По условиям задачи рассматривается следующий  вариант совмещения конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов: рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит (Рубли→Валюта→Валюта→Рубли). Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли. В операциях наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям.

Трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы:

(7.1)

где P_r - сумма депозита в рублях;

S_r - наращенная сумма в рублях;

K₀  - курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.) ;

K₁ - курс обмена в конце операции;

n - срок депозита;

j -  ставка наращения для конкретной валюты.

Также по условиям задачи срок операции – полгода, поэтому n=0,5.

Наращенная сумма равна:

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

13

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 8

Заемщик через 4 года должен заплатить в банк 15 400 руб.,  а через 6 лет – 17 350 руб. Вместо этого он хотел бы заплатить сразу весь долг через 7 лет с начала действия договора. Какую сумму должен заплатить заемщик, если договор заключен под 5% годовых?

Решение

При изменении  условий выплат решение заключается  в разработке соответствующего уравнения  эквивалентности. Если приведение платежей осуществляется на некоторую начальную  дату, то при использовании сложных  процентов получим следующее  уравнение эквивалентности в  общем виде:

 

где S_j и n_j – параметры заменяемых платежей;

S_k и n_k – параметры заменяющих платежей.

По условиям задачи примем в качестве базовой даты начало отсчета времени. Уравнение эквивалентности в этом случае записывается следующим образом:

 

Из решения  уравнения получим S = 36 045 руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

14

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 9

Предприятие хочет купить электронное оборудование. Один продавец предлагает это оборудование за 200 000 руб. наличными. Другой продавец хочет, чтобы ему сразу заплатили 100 000 руб. и через три года в начале каждого из следующих трех лет платили по 40 000 руб. Какое предложение выгоднее для покупателя, если процентная ставка – 7%, капитализация годовая.

Решение

На основе формулы наращения по ставке сложных  процентов 6.1 получим:

(9.1)

Величину  называют дисконтирующим множителем. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S. Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент.

По условиям задачи необходимо определить текущую  стоимость платежей по 40 000 руб., которые выплачиваются по истечении 3-го, 4-го и 5-го годов. Вместе с суммой в 100 000 рублей текущая стоимость второго предложения равна:

 

Так как  для покупателя выгодным является более  дешевое предложение, то второе предложение  является наилучшим для покупки  оборудования, так как с учетом дисконтирования денежных потоков  приведенная стоимость сделки в  размере 191 687,2 руб. меньше величины 200 000 руб. по первому предложению.

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

15

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 10

В банк вложен капитал 80 000 руб. на период 5 лет при номинальной ставке сложных процентов, равной 6% годовых. Вычислите наращенную сумму, если при неизменной номинальной процентной ставке проценты начисляются а) один раз в год; б) каждое полугодие; в) ежемесячно.

Решение

Пусть годовая  ставка сложных процентов равна  j, а число периодов начисления в году m. При каждом начислении проценты капитализируются, то есть добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j, которую указывают в договоре, называют номинальной. Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:

(10.1)

По условиям задачи рассчитаем наращенную сумму  при неизменной номинальной процентной ставке, равной 6%, если проценты начисляются:

а) один раз в год (т.е. m=1):

 

б) каждое полугодие (т.е. m=2):

 

в) ежемесячно (т.е. m=12):

 

Таким образом, клиенту банка выгоден вариант  наращения при ежемесячном начислении процентов.

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

16

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 11

Определить  годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке: а) простых годовых процентов i=10% за 5 лет; б) сложных процентов, начисляемых ежемесячно по ставке 10% годовых за два года.

Решение

Эквивалентными  называются процентные ставки, которые в конкретных условиях, т.е. в рамках одной финансовой операции приводят к одинаковым финансовым результатам. Формулы эквивалентности ставок можно получить, исходя из равенства взятых попарно множителей наращения.

а) Определим годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке простых годовых процентов i=10% за 5 лет. Соотношение эквивалентности простых и сложных процентов имеет вид:

 

Выразим из уравнения i_c:

 

По условиям задачи эквивалентная годовая ставка сложных процентов равна:

 

Таким образом, годовая 10% ставка простых процентов эквивалентна 8,45% ставке сложных процентов.

б) Определим годовую ставку сложных процентов, эквивалентную ставке сложных процентов, начисляемых ежемесячно по ставке 10% годовых за два года. Соотношение эквивалентности имеет вид:

 

Выразим из уравнения i_c:

 

По условиям задачи эквивалентная годовая ставка сложных процентов равна:

Изм

Лист

Дата

Л Листист

17

Подпись

Лист

Таким образом, 10% годовая ставка сложных процентов, начисляемых ежемесячно, дает тот же финансовый результат от сделки, что и 10,47% ставка сложных процентов, начисляемых раз в год.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

18

Подпись

Лист

ЗАДАЧА 12

Кредит  в 250 тыс.руб. выдан на 5 лет под 15% годовых. Долг погашается частями один раз в год, проценты начисляются на оставшуюся сумму долга. Составить план погашения долга равными частями и равными срочными уплатами.

Решение

Одна  из задач количественного финансового  анализа долгосрочной задолженности - разработка плана погашения кредита, адекватного условиям финансового  соглашения. Разработка плана погашения  кредита заключается в составлении  графика (расписания) периодических  платежей должника. Расходы по обслуживанию долга включают две составляющие:

- текущие процентные платежи,

- средства, предназначенные для погашения основного долга.

Используем  следующие обозначения.

D - сумма задолженности (основной долг);

i - ставка процента по кредиту;

n - общий срок кредита;

Y - срочная уплата.

Обычно  на практике используют несколько схем погашения долга. Рассмотрим следующие:

1) Погашение основного долга равными выплатами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит:

(12.1)

Размер  долга последовательно сокращается: D, D - d, D - 2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Если проценты выплачиваются раз в конце года по ставке i, то процентные платежи за первый и последующие годы равны Di, (D - d)i, (D - 2d)i и т.д. Процентные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Di и разностью di.

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

19

Подпись

Лист

Срочная уплата в конце первого года находится  так:

(12.2)

где D₀ = D – сумма основного долга.

Для конца  года t получим:

(12.3)

где D_t-1 - остаток долга на конец года t.

По условиям задачи сумма, ежегодно идущая на погашение основного долга будет равна:

 

План  погашения представлен в таблице 1.

Таблица 1 – План погашения долга  равными частями

 

В рублях

Год	Остаток основного долга на начало года	Расходы по кредиту (срочные уплаты)	Погашение основного долга	Проценты (процентные платежи)
1	250 000	87500	50 000	37 500
2	200 000	80000	50 000	30 000
3	150 000	72500	50 000	22 500
4	100 000	65000	50 000	15 000
5	50 000	57500	50 000	7 500
Итого		362 500	250 000	112 500

 

Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расходов по кредиту, но и соотношения  процентов и сумм погашения основного  долга.

 

2) Погашение кредита равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и в предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Первый этап разработки плана погашения - определение размера срочной уплаты.

Изм

Лист

Дата

Л Листист

20

Подпись

Лист

Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение основного долга. После чего легко найти остаток задолженности. Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим:

(12.4)

где - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой i и сроком n.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа (платежа, на обслуживание основного долга):

 

Сумма второго платежа:

 

Сумма платежа  после года t:

 

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени, в связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению основного долга образуют ряд d₁, d₁(1+i), …, d₁(1+i)^n-1. По этим данным легко определить сумму погашенной задолженности (основного долга) на конец года t после очередной выплаты:

(12.5)

По условиям задачи находим размер срочной уплаты:

 

 

Далее определим  сумму первого погасительного платежа:

 

 

 

Изм

Лист

Дата

Л Листист

21

Подпись

Лист

Остаток долга после первого погашения:

 

И т.д. (см. таблицу 2).

Таблица 2 – План погашения равными  срочными уплатами

 

В рублях

Год	Остаток основного долга на начало года	Расходы по кредиту (срочные уплаты)	Погашение основного долга	Проценты (процентные платежи)
1	250000,00	74578,89	37078,89	37500,00
2	212921,11	74578,89	42640,72	31938,17
3	170280,39	74578,89	49036,83	25542,06
4	121243,55	74578,89	56392,36	18186,53
5	64851,20	74578,89	64851,21	9727,68
Итого		372894,45	250000,01	122894,44