Контрольная работа по "Финансовой математики"

ПКЗ «Финансовая математика» 

 

1. Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления через год 5 млн. руб. Процентная ставка банка - 12% годовых. Определить требуемую сумму вклада.

S(t) = 5 000 000

i =12% = 0,12 (процентная ставка);

t = 1 (срок хранения вклада 1 год).

 

S(0) = S(t) / 1+ i t = 5 000 000 / 1 + 0,12*1 = 4464285 руб.71 коп.

 

2. Депозит в  размере 500 тыс. руб. помещен  в банк на 3 года. Определить сумму  начисленных процентов по простой  и сложной процентной ставке, равной 18% годовых.  

S(0) = 500 000 руб.

i = 18% = 0,18

t = 3 года

 

Находим сумму начисленных  процентов по постой процентной ставке

 

S(t)_прост = S(0) * (1 + i t) = 500 000 (1 + 0,18 * 3) =500000*1,54= 770 000 руб. 00 коп.  I_прост = 770 000 – 500 000 = 270 000 руб. 00 коп. – начислено процентов

 

Находим сумму начисленных процентов по сложной процентной ставке

 

S(t)_сложн = S(0) * (1 + i)^t = 500 000 (1 + 0,18 )³=5000000*1,64= 8200000 руб. 00 коп.

I _сложн = 820 000 – 500 000 = 320 000 руб. 00 коп. – начислено процентов

 

 

3. Сложные проценты  на вклады начисляются ежеквартально по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить сумму процентов, начисленных на вклад 200 тыс. руб. за 2 года.

S(0) = 200 000 руб.

i = 12% = 0,12

n = 2 (срок хранения вклада 2 года);

m = 4 (проценты по вкладу начисляются ежеквартально).

 

S(t)_сложн = S(0) * (1 + j)^nm  =  S(0) *  (1 + i/m)^nm  =

= 200 000 * (1 + 0,12/4)^2*4 = 200 000 * 1,03⁸ = 253353 руб. 98 коп.

 

Находим сумму процентов за 2 года:

I = 253353,98 – 200 000 = 53353 руб. 98 коп. – начисленные проценты по вкладу за 2 года

 

4. Банк ежеквартально  начисляет сложные проценты на  вклады по ставке 25% годовых. Определить  сумму, которую надо положить  в банк, чтобы через 3 года накопить 100 млн. руб. 

 

S(t) = 100 000 000 руб

i = 25% = 0,25 (процентная ставка);

n = 3 (срок хранения вклада 3 года);

m = 4 (проценты по вкладу начисляются ежеквартально).

 

S(0) = S(t) / (1 + j)^nm = S(t) / (1 + i/m)^nm = 100 000 000 / (1 + 0,25/4)^3*4=

= 100 000 000 / (1,0625)¹² = 100 000 000 / 2,0698895 =48311757 руб. 70коп.

 

5. На сберегательный  счет в течение 5 лет каждые полгода будут вноситься 50 тыс. руб., на которые раз в год будут начисляться сложные проценты по ставке 18% годовых. Определить сумму процентов, которую банк выплатит владельцу счета.

 

 

Y = 50 000 руб. 

n = 5

18% = 0,18

m = 1 (проценты  раз в год)

р = 2 (каждые полгода)

 

                           5                             1/2

  S(5,1,2) =  50  (1+0,18) -1/(1+0,18) -1= 50 000 * (2,287757 – 1) / (1,086278 - 1) =                                                                                                                                                                                    

  = 50 000 * 1,287757 / 0,086278 = 50 000 * 14,92567 = 746283 руб. 50 коп. – сумма на счете через 5 лет. Всего было внесено 10 платежей.

Значит, сумма процентов составит:

 

746283,50 – 500 000 =246283руб. 50 коп.

 

6. В пенсионный  фонд в конце каждого квартала  будут вноситься 12 тыс. руб., на  которые также ежеквартально  будут начисляться сложные проценты  по номинальной годовой ставке, равной 12%. Определить сумму, накопленную в фонде за 10 лет.

Вводим обозначения параметров ренты:

Y = 12 000 руб.  (величина разового взноса);

n = 10 (срок накопления 10 лет);

i = 12% = 0,12 (процентная ставка);

m = 4 (проценты начисляются в конце каждого квартала):

р = 4 (взносы производятся ежеквартально).

 

Находим наращенную стоимость  ренты постнумерандо, используя  коэффициент наращивания ренты:

S₁ (n,m,p) = Y * а_n,i.

Число платежей – 40 (4 * 10 = 40), процентная ставка за период начисления – 3% (12% : 4 = 3%). Принимаем значение индексов коэффициента наращивания ренты: n = 40, i = 3. По таблице значений коэффициентов наращивания ренты, а_40,3 = 75,401. Значит, за десять лет в пенсионном фонде будет накоплено:

S₁ (10,4,4) = 12 000 * 75,401 = 904812 руб.00 коп.

 

7.Вклад в  сумме 500 тыс. руб. положен в  банк на 2 года с ежемесячным  начислением сложных процентов  по номинальной годовой ставке, равной 12%. Определить реальный доход  вкладчика для ожидаемого месячного  уровня инфляции 2 и 5%.

 

S(0) = 500 000 руб. (современная сумма вклада);

i = 12% = 0,12 (номинальная процентная ставка);

n = 2 (срок хранения вклада 2 года);

m = 12 (проценты начисляются ежемесячно);

h₁ = 2% = 0,02 (первый вариант месячного темпа инфляции);

h₂ = 5% = 0,05 (второй вариант месячного темпа инфляции).

 

S^I_2%(n) = 500 000* (1 + 0,12/12)^2*12/(1+0,02)=

=500 000 * 1,01²⁴ / 1,02²⁴ = 500 000*1,269734 / 1,578475 =

=500 000 * 0,804406 = 402202 руб. 75 коп.

 

I = S^I_2%(n)  – S(0) = 402202,75  – 500 000 =  – 97797 руб. 25 коп.

 

 S^I_5%(n) = 500 000* (1 + 0,12/12)^2*12 / (1 + 0,05)^2*12 =  

500 000 * 1,01²⁴ / 1,05²⁴ = 500 000*1,269734 / 3,225098 =

500 000 * 0,393704 = 196852 руб.

 

I =  S^I_5%((n)  – S(0) = 196852  – 500 000 =  – 303148 руб. 

 

8.Кредит в  размере 50 млн. руб., выданный под  12% годовых, должен погашаться равными суммами в течение 5 лет. Определить размеры ежегодных срочных уплат и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются: а) один раз в конце года, б) каждые полгода.

 

S(0) = 50 000 000

n = 5 (срок погашения кредита 5 лет);

i = 12% = 0,12 (банковский процент);

p₁ = 1(погасительные платежи вносятся один раз в конце года);

p₂ = 2 (погасительные платежи вносятся каждые полгода).

 

Размер погасительного взноса рассчитывается по формуле (схема  постнумерандо):

Y = S(0) / а_ni.

Если погасительные  платежи осуществляются один раз  в конце года:

 

S(0) = 50 000 000, n = 5, i = 12% , p₁ = 1,  n = 5 (вносится пять платежей),

 i = 12 . По таблице коэффициентов а_5,12 = 3,6048.

Y₁ = 50 000 000 / 3,6048 = 13 870 395 руб.

Сумма погасительных  платежей:

S₁(5) = Y₁ * n = 13 870 395 * 5 = 69 357 975 руб.

Сумму выплаченных процентов:

I₁ = S₁(5) – S(0) = 69 357 975 – 50 000 000 = 19 357 975 руб.

 

Если погасительные  платежи осуществляются каждые полгода:

 

S(0) = 50 000 000, n = 5, j = i/2 = 6% , p₁ = 2, n = 10 (вносится десять платежей), j = 6 (процентная ставка за период). По таблице коэффициентов а_5,12 = 7,3601.

Y₂ = 50 000 000 / 7,3601 = 6 793 385 руб. 90 коп.

Сумма погасительных  платежей:

S₂(5) = Y₂ * n = 6 793 385,90 * 10 = 67 933 959 руб.

Сумму выплаченных процентов:

I₂ = S₂(5) – S(0) = 67 933 959 – 50 000 000 = 17933959 руб.

 

 

9. Используя  простые проценты, объединить три  платежа со сроками 15.05, 15.06 и  15.08. Сумма платежей соответственно 100, 200 и 150 ден. ед. Согласованная процентная ставка 8% (точные проценты), срок нового платежа 01.08. Определить сумму нового платежа.

 

i = 8% = 0,08 - процентная ставка

S₁  = 100 ден. ед. - первый платёж

S₂  = 200 ден. ед. - второй платёж;

S₃ = 150 ден. ед. - третий платёж;

15.05 – первый платеж

15.06 – второй платеж

15.08 – третий платеж

01.08 – новый платеж

 

n₁ = (01.08. - 15.05.) = 77 дней

n₂ = (01.08. - 15.06.) = 46 дней

n₃ = (01.08.- 15.08.) = 14

S^I =  S₁ * (1 +  i * n / 365).

S₁^I = 100 * (1 + 0,08* 77/365) =  101,69ден.ед.

S₂^I = 200 * (1 + 0,08* 46/365) = 202,02 ден. ед.

S₃^I =150 * (1 + 0,08* 14/365) = 150,46ден.ед.

 

S_o = 101,69 + 202,02 + 150,46 = 454,17 ден.ед.

 

10. Для номинальной  ставки 20% с начислением процентов  два раза в год найдите эквивалентную  ставку, проценты по которой выплачиваются  ежеквартально.

i^(m)₁ =20% = 0,20

m₁ = 2

m₂ = 4

 

S(0) * (1 + i^(m)₁ / m₁) ^(m1*1) = S(0) * (1 + i^(m)₂ / m₂) ^(m2*1).

(1 + i^(m)₁ / m₁) ^(m₁^*1) = (1 + i^(m)₂ / m₂) ^(m₂^*1).

 

(1 + 0,20 / 2) ² = (1 + i^(m)₂ / 4) ⁴.

(1,10) ² = (1 + i^(m)₂ / 4) ⁴.

1,21 = (1 + i^(m)₂ / 4) ⁴.

(1 + i^(m)₂ / 4) = 1,0488.

i^(m)₂ / 4 = 1,0488 – 1.

i^(m)₂ = 0,0488 * 4 = 0,1952 

0,1952*100=19,52% - составит эквивалентная  ставка.