Простые проценты и Сложные проценты

Иногда размер дисконта задается постоянным на весь срок ссуды, в виде процента от суммы погасительного платежа S. В этом случае уровень процентной ставки задан неявно.

Пусть S – размер погасительного платежа, dm – доля (процент) этого платежа, определяющая величину дисконта на весь срок ссуды n, тогда уровень годовых ставок равен

 -наращения:

- учетной ставки:

.

     

Пример 4. Кредитор предоставил ссуду в размере 10 000 руб., сроком на 200 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга в размере 15 000 руб.

Определить доходность операции в  виде годовой ставки простых процентов  i и учетной ставки d. Временную базу принять равной 360 дней.

Решение: Начальная сумма Р= 10 000 руб.,

                 Наращенная сумма S= 15 0000 руб.,

Срок операции t = 200 дней временная база К= 360 дней.

Ставка простых процентов:

Учетная ставка: ¤

Пример 5. Из суммы кредита выданного на 100 дней удерживается дисконт в размере 10% от суммы кредита. Определить цену кредита в виде годовой ставки простых процентов и годовой учетной ставки.

Временная база К= 360 дней.

 

Решение: Задана доля платежа, которая  определяет величину дисконта

Годовая ставка простых процентов

n- число периодов в годах,

тогда

годовая учетная ставка

¤

 

2.Сложные проценты

Сложные проценты не выплачиваются после их начисления, а присоединяются к сумме долга. Это часто называют капитализацией процентов.

 

2.1. Формула наращения по сложным процентам.

Пусть P – первоначальная сумма, тогда

Р(1+i)- сумма через год, вместе с присоединенными процентами,

Р(1+i)(1+i) = Р(1+i)² – сумма через 2 года,

P(1+i)(1+i)(1+i) = Р(1+i)³– сумма через 3 года и т.п.

Тогда сумма, полученная через n лет составит , где

i – годовая ставка сложных процентов;

n – срок ссуды.

В практике применяют дискретные проценты, то есть начисленные за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал). При сроке n<1 – простые проценты дают больший результат, чем сложные, а при n>1 – наоборот.

  Наращение при переменной ставке сложных процентов:

i_k – ставка за к - ый период

n_k – величина к- ого периода

Пример 6. Определить множитель наращения если переменная ставка сложных процентов составляет 15% плюс маржа 10% первые два года, 5% в третий год и 3% в четвертый год.

Решение:

Множитель наращения составит:

¤

 

2.2. Удвоение суммы.

Задача: через сколько лет сумма  ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставке.

1. Простые проценты

    

2. Сложные проценты

       .

Наиболее часто требуется определить срок удвоения суммы (N =2):

- для простых процентов  ;

- для сложных процентов

.

Пример 7. Сколько лет необходимо для удвоения долга при ставке сложных процентов равной ic=0,05

В расчетах использовать приближенную формулу

Решение: ¤

2.3. Начисление процентов при дробном числе лет

  I способ по формуле сложных процентов:

.

II способ – смешанное начисление – за число полных лет отдельно и за дробную часть отдельно:

 n = a+b,

а - целое число лет – начисляют  сложный процент;

b – дробная часть– начисляют простой процент.

III способ - начисляют только за целую часть года.

 

2.4. Номинальная и эффективная ставки процентов.

Годовая ставка сложных процентов  называется номинальной j, если процент начисляется m раз в год. Тогда наращение по номинальной ставке составит:

,

где N – число периодов начисления.

Если число периодов начисления дробное то наращенная сумма определяется 2 способами.

 I способ по формуле сложных процентов:

,

-дробное число периодов начисления  ;

N- число дней, n- число дней периода начисления.

II cпособ по смешанной формуле:

,

а – целое число периодов начисления, то есть целая часть от деления  ; b – дробная часть.

Пример 8. Определить наращенную сумму, если размер ссуды 10 млн. руб., срок ссуды 15 месяцев. Начисление сложных процентов ежеквартальное по номинальной ставке j=20% годовых.

Решение:

m – число периодов начисления процентов в течении года, m=4;

N – срок ссуды, N=16 месяцев;

τ -  период начисления процентов;

τ = 3 месяца.

¤

Эффективная ставка показывает - какая годовая ставка сложных процентов iс дает тот же результат, что и m – разовое наращение в год по ставке j/m, т.е.

 

,

где iс = iэ – эффективная ставка;

j – номинальная ставка;

m – число начислений процентов в год;

n – число лет.

Тогда iэ = (1+j/m)^m-1.

Обратная зависимость :

- номинальная ставка, обеспечивающая эффективную ставку iэ.

 

2.5. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.

 

Математический учет это задача, обратная наращиванию то есть определить какую сумму Р надо вложить «вчера», чтобы получить сумму S-сегодня:

   - при начислении процентов1 раз в год.

- при начислении процентов m раз в год в течении n лет.

   - дисконтный множитель.

 

Банковский учет.

В этом случае используется сложная  учетная ставка

, где d_сл – сложная годовая учетная ставка.

Дисконт равен Д= S - P=

 

2.6. Номинальная и эффективная учетные ставки.

При дисконтировании m раз в течении года, на протяжении n лет используют номинальную учетную ставку f:

.

Эффективная учетная ставка – годовая учетная ставка, эффективная по результату номинальной при заданном числе дисконтирования в год.

 Операцию наращения можно определить через сложную учетную ставку. Для учета это обратная задача:

 - при годовом дисконтировании

 или - при дисконтировании m раз в течении n лет.

 

Пример 9. Определить номинал векселя по сложной годовой учетной ставке dс =10%, если реально выданная сумма 81000 руб., а срок погашения 2 года.

Решение: Исходной является формула банковского учета по сложной ставке:

Так как погашение векселя произойдет через 2 года, необходимо определить «будущую»  или наращенную сумму 

¤

 

2.7. Непрерывные проценты

Наращенная сумма при дискретных процентах определяют по формуле:

,

 где m – число периодов в году.

Рассмотрим, как ведет себя наращенная сумма S при бесконечно большом числе периодов начисления, т.е. при m→∞

.

Используя II замечательный предел получим:

- величина наращенной суммы при непрерывном начислении процентов.

В этом случае ставку непрерывных  процентов называют силой роста и обозначают δ, то есть:

.

 

Связь дискретных и непрерывных процентов.

Формула эквивалентного перехода от дискретных к непрерывным и наоборот находят из соотношения:

.

2.8. Расчет срока ссуды и процентных ставок.

Определение сроков ссуды:

1. При наращении по сложной годовой ставке:

.

       

2. При наращении по номинальной ставке m раз в году:

.

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d:

.

4. При дисконтировании по номинальной ставке m раз в год:

.

5. При наращении по постоянной силе роста:

.

Определение величины процентных ставок.

1. При наращении по сложной годовой ставке i:

.

2. Наращение по номинальной ставке m раз в год:

.

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке:

.

4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в год:

.

5. При наращении по постоянной силе роста:

.

 

3. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения.

Инфляция – наращение денежной массы. Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом покупательной способности

где Ip – индекс цен .

Индекс цен показывает, во сколько  раз выросли цены за указанный  период.

 

3.1. Наращение по простым  процентам

Реальная покупная способность  С суммы денег S, наращенной за период n  с учетом индекса цен (Ip) равна:

 ,

 но С=Р тогда, когда 1+ni = Ip, то есть, ставка простых процентов комментирующая инфляцию равна:

.

Один из способов комментировать обесценивание  денег заключается в увеличении ставки процентов на величину инфляционной премии. Скорректированная ставка называется брутто-ставкой – r и находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто – ставке - множителю наращения по реальной ставке:

.

Индекс цен выражается через годовой темп инфляции h :  ,

или при  неизменном темпе прироста цен h:

Ip = (1+h)ⁿ .

В общем виде годовой темп инфляции это h = I_p1- 1, где I_p1 – годовой индекс цен.

 

3. 2. Наращение по сложным  процентам

С учетом падения покупательной  способности наращенная сумма равна:

.

При этом, если годовая ставка сложных процентов равна темпу инфляции i_c = h, то покупательная способность наращенной суммы равна первоначальной сумме вклада C = P, то есть наращения нет.

 Компенсация потерь возможна двумя способами:

а) Корректировка ставки процентов на величину инфляционной премии r:

,

где h- темп инфляции, i_с – реальная  ставка сложных процентов.

Тогда (1+ r) = (1+i_c)∙(1+h), откуда r = i_c + (h + i_с∙h) ,

где прирост, увеличение ставки сложных процентов i_c на величину h + i_с∙h – называют инфляционной премией.

 б)  Индексация первоначальной  суммы.

В этом случае первоначальную сумму  вклада Р умножают на величину заранее оговариваемого индекса цен Ip:

 ,

 где P∙ Ip – индексация первоначальной суммы;

(1+i_с)ⁿ – множитель наращения по ставке сложных процентов.

 

3.3. Измерение реальной ставки  процента.

Иногда необходимо оценить реальную ставку процентов по величине объявленной  брутто-ставке r.

При начислении простых процентов с одной стороны , с другой S=P(1+in) , тогда:

.

При начислении сложных процентов:

.

 

Пример 10. Определить реальную ставку простых годовых процентов, если средства размещены в виде депозита сроком на 6 месяцев под ставку 40% простых годовых процентов а темп инфляции составил 21% годовых.