Простые проценты и Сложные проценты

Если ожидаемые величины К или  К₁ превышают свои критические значения К^*или К₁^* - операция будет убыточной (i_эф <0).

Определим максимально допустимое значение курса обмена в конце  операции К₁, при котором эффективность будет равна существующей ставке валютного вклада, т.е., применение двойного концентрирования не будет иметь никаких преимуществ:

, где j – процентная ставка по валютным вкладам

              (5.1)

Если обменный курс в конце операции ожидается меньшим, чем определенный по формуле (5.1), то депозит валюты через конверсию в рубли выгоднее валютного депозита. Другими словами, если ожидаемый темп роста к меньше чем отношение

    , то  вклады через конверсию валюты рубли выгоднее валютных вкладов.

Рассмотрим вариант: рубли →  валюта → валюта →рубли.

Сумму в рублях конвертируют в валюту и помещают на валютный депозит, под простые проценты и наращенная сумма в валюте конвертируется в рубли.

Наращенная  сумма определяется по формуле

,

где - начальная сумма в рублях; j- ставка наращенная по валютному вкладу;

- курс обмена, соответственно  в начале и конце операции;

К- темп роста обменного курса. Доходность такой операции, выраженная через простую годовую ставку процентов равна:

Анализируя зависимость можно  заключить:

- при К=1    i_эф = j

- при К > 1  i_эф > j

- при К < 1  i_эф <  j.

Определим критическое значение темпа  роста К* при котором i_эф = 0

К* =

Если ожидаемое величина темна  роста К меньше К* то операция будет  убыточной (i_эф <  0).

Найдем минимальное допустимое значение темпа роста К, которое  обеспечивает такую же доходность, что и прямой вклад в рублях.

           

 

Если ожидаемый темп роста обменного  курса в конце операции ожидается  больше К_min, то депозит рублевой суммы через конверсию в валюту будет выгоднее рублевого вклада.

5.2. Погашение задолженности частями.

Контур финансовой операции это  графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности  частичными платежами.

 Финансовая операция предполагает сбалансированность вложений и отдачи. Рассмотрим это на примере ссуды  в размере До, выданной на срок Т. На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся два промежуточных платежа R₁ и R₂ и в конце срока выплачивается остаток задолженности R₃, подводящий баланс операции (рис.1)

 

Рис.1. Контур финансовой операции

 

 После полученная ссуда (точка  1) на интервале t₁ происходит наращение суммы до Д₁ (точка 2). В этот момент долг уменьшается на величину R₁ (точка 3) до величины .

На остаток долга за период от t, до t₂  начисляются проценты до величины Д₂ (точка 4.) В момент t₂  происходит следующее погашение долга в размере R₂ (точка 5) и т.д.

Такой график называют контуром финансовой операции, который должен быть замкнутым, то есть последняя операция погашает остаток задолженности.

При погашении краткосрочных задолженностей существуют два метода расчета процентов и остатка задолженности:

- актуарный метод – применяется  в операциях сроком более года;

- правило торговца – применяется  в сделках со сроком менее  года.

При начислении процентов обычно применяют обыкновенные проценты с приближенным подсчетом числа дней.

Актуарный метод.

Этот метод предполагает последовательность начисления процентов на фактическую  величину долга.

Частичный платеж идет в первую очередь  на погашение процентов, начисленных на дату платежа.

Если величина платежа превышает  сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение части  основной суммы долга.

Если частичный платеж меньше начисленных  процентов, то никакие зачеты в сумме  долга не делаются, а величина платежа суммируется со следующим платежом.

Для случая, показанного на рис. 1 остаток задолженности определяется следующим образом:

0

где i – годовая ставка простых процентов;

- время в годах.

Правило торговца.

 

Этот метод допускает два  варианта:

1. Если срок ссуды не превышает года, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной. Одновременно идет наполнение частичных платежей с начислением на них процентов до полного погашения долга.
2. В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты делаются для годового периода задолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

 

5.3. Переменная сумма счета и расчет процентов

Рассмотрим ситуацию, когда в  банке открыт счет, деньги на который  поступают и снимаются. В этом случае применяют практику расчета  с вычислением процентных чисел.

Процентное число определяют каждый раз, когда сумма на счету изменяется, и вычисляется за прошедший период j, в течение которого сумма оставалась неизменной ; tj- длительность периода j в днях.

Для определения процентов, начисленных  за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель

К – временная база (360, 365 или 366)

i -  годовая ставка простых процентов

 Пример 15. 10 ноября в банке открыт счет до востребования с начислением простых процентов по ставке 15%. Первоначальная сумма составляла 5000 руб. 10 марта сделан взнос на сумму 3000 руб., 25 августа снято 6000 руб. Определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладами при закрытии счета 15 октября. В расчетах использовать германскую практику.

Решение: Определим интервалы времени, когда сумма на вклады не изменялась:

1. с 10 ноября по 10 марта (20+30+30+30+10=120 дней) 120 дней, сумма 5000 руб.
2. с 10 марта по 25 августа (20+30+30+30+30+25=165 дн.) 165 дней, сумма (5000+3000)8000 руб.
3. с 25 августа по 15 октября (5030+15) 50 дней, сумма (8000-6000) 2000 рублей.

Найдем процентные числа за эти  периоды

Сумма процентных чисел составит:

Постоянный делитель

Сумма процентов составит: или 820 руб. 83 коп.

Общая сумма, полученная при закрытии вклада:

¤

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по предмету

«Финансовая математика»

 

При решении задач  вместо N подставить номер своего варианта.

 

 

1. На вторичном рынке куплены ценные бумаги номиналом (N+5) тыс.руб. по цене N руб. Определить доходность операции в виде простой годовой процентной ставки и простой годовой учетной ставки, если до погашения осталось 3 месяца.

 

2. Долговое обязательство выдано на 300 дней с удержанием дисконта в размере N % от суммы долга. Определить цену кредита в виде простой годовой учетной ставки и годовой ставки простых процентов. Временную базу принять 360 дней.

 

 

3. Долговое обязательство уплатить N тыс.руб. с процентами, начисленными по простой годовой процентной ставке 20% в течение 200 дней (временная база 360 дней), через 100 дней было учтено в банке по учетной ставке 15 % (временная база 365 дней). Определить сумму, полученную кредитором и дисконт банка.

 

2.1 Определить минимальную годовую ставку сложных процентов, необходимую для удвоения       банковского вклада в течение N лет.

 

2.2 Банк начисляет 20 % годовых.  Чему должен быть равен первоначальный  вклад, чтобы через 3       года иметь на счете N млн.руб., если проценты начисляются ежеквартально.

 

3.1 Определить реальную ставку  процентов, если средства размещены  в виде трехмесячного       депозита под ставку (N + 10) % годовых простых процентов, а темп инфляции составил N %         годовых.

 

3.2 Предполагаемый темп инфляции 10 % в год. Какую ставку сложных процентов надо указать в       контракте, чтобы желательная реальная годовая доходность составила N %? Определить       величину инфляционной премии.

 

4.1 Для формирования фонда делаются  взносы по N тыс.руб. ежемесячно. На накопленные средства начисляются сложные проценты по ставке 10 % в год. Определить реальную величину фонда через 5 лет, если ожидаемый темп инфляции 5 % в год.

 

4.2 Требуется погасить текущую  задолженность в размере 10N тыс.руб. равными       ежеквартальными платежами в течении двух лет. Рассчитать размер платежа, если на остаток        долга ежеквартально начисляются проценты в размере 24 % годовых.

 

5.1 20 января в банке открыт  счет до востребования с первоначальным  вкладом N тыс.рублей годовая ставка простых процентов равна 10 %. 30 марта был сделан дополнительный взнос в        размере 5 тыс.рублей, а 25 июля снято 4 тыс. рублей. Определить сумму процентов и общую        сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета 20 октября. При расчетах применить        германскую практику.

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

 

1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Математика для экономистов, - СПб.: Питер, 2004.
2. Лукашин Ю.П., Финансовая математика: Учебно-практическое пособие /МЭСИ. М., 1999.
3. Четыркин Е.М., Финансовая математика. – М.: Дело, 2003.