Простые проценты и Сложные проценты

Решение:

Реальная ставка простых годовых  процентов равна:

,

где – n период начисления процентов в годах; n

r-  объявленная ставка, r =0,4;

 Ip – индекс цен, Ip = , где h – темп инфляции, h= 0,21.

¤

Пример 11. Определите ставку сложных процентов, чтобы реальная доходность составила 10% при темпе инфляции 8%. Найдите величину инфляционной премии.

Решение:

Необходимо указать ставку, которая бы компенсировала инфляцию, то есть брутто-ставку. Ее величина равна

Инфляционная премия составила  ¤

 

3.4. Учет налогов.

Проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом. С учетом налогообложения наращенная сумма определяется следующим образом.

Простые проценты:

,

где С – сумма, наращенная за период n с учетом уплаты налога по ставке g. В этом случае реальная ставка наращения составляет (1-g)i

При начислении сложных процентов  возможны два варианта:

1. налог определяется за весь срок;
2. налог определяется ежегодно.

1) Начисление налога за весь срок:

- сумма налога, начисленная в конце срока вклада. Наращенная сумма с учетом налогообложения С определится как разность между наращенной суммой S и величиной налога, начисленной в конце срока вклада:

,

где С – сумма, наращенная за период n с учетом уплаты налога по ставке g.

2) При ежегодном начислении налога .

 

 

Обозначим сумму налога за год  t величиной Gt, тогда :

Gt

,

где - сумма, наращенная за срок t лет, - сумма, наращенная за срок t-1 год.

          Если налоговая ставка в течение срока вклада постоянна, то сумма налога рассчитывается за весь срок первым способом, если налоговая ставка переменна, то вторым.

 

4. Потоки платежей.

Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей, причем выплаты представляют в виде отрицательных величин, а поступления – положительных.  Поток платежей характеризуется наращенной суммой и современной величиной.  

Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу ренты.  

Современная величина потока платежей – сумма всех его членов, дисконтированных (приведенных) к некоторому моменту времени, совпадающему с началом потока платежей или предшествующему ему.

 Пример потока платежей –  вклад в банке с возможностью довложения, пенсионный вклад, с перечислением на него ежемесячной пенсии и т.д.

 

4.1. Финансовые ренты.

Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы постоянны, называются финансовой рентой или аннуитетом.

Параметры финансовой ренты:

- член ренты – величина каждого  отдельного платежа;

- период ренты – время между  соседними платежами;

- срок ренты – время от  ее начала до конца ренты;

- процентная ставка – процентная ставка которая используемый при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

 

Виды финансовых рент

По продолжительности периода: 1) годовые и 2) р- срочные; где р – число выплат ( или поступлений) в год.

По числу начислений процентов:

1. один раз в год;
2. m раз в год;
3. непрерывно.

По вероятности выплаты членов ренты

1. верные - с обязательной выплатой, например при погашении кредита;
2. условные – выплата ставится в зависимости от поступления некоторого случайного события, поэтому число членов ренты заранее не известно, например: число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают:

1. с конечным числом;
2. с бесконечным числом.

По моменту выплаты платежей:

1. в конце периода – обычные или постнумерандо;
2. в начале периода - пренумерандо.

 

4.2. Формулы наращенной  суммы.

Пусть в конце каждого года в  течении n лет на расчетный счет выносят платеж в размере R рублей. Проценты начисляют 1 раз в год по ставке i.  В конце каждого последующего года, после первого платежа, на счету будет следующая сумма:

- 1 год  R(1+i)

      - 2 год     

       -3 год

В конце n- летнего периода на счету будет сумма:

,

т.к. на последний взнос проценты не начисляют, последнее слагаемое равно R, а предпоследнее имеет показатель степени n-1. Перепишем формулу в следующем виде:

.

Это геометрическая прогрессия. R – первый член; (1+i)- знаменатель прогрессии. Сумма элементов геометрической прогрессии, а в данном случае это и есть наращенная сумма ренты, равна:

,

- коэффициент наращения ренты, он зависит от ставки процентов i  и от срока ренты n.

 

Годовая рента с начислением  процентов m раз в году.

Рассмотрим случай, когда платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в год, при этом ставка процентов составит j/m, где j номинальная ставка процентов. Члены ренты, расположенные в обратном порядке составят геометрическую прогрессию:

 

Первым членом геометрической прогрессии будет R, знаменателем (1+j/m)^m  и числом членов n. Сумма геометрической прогрессии  равна:

.

р – срочная рента с начислением процентов один раз в год ( m=1).

 

 Если R – годовая сумма платежей, а р – число платежей в течение года, то размер отдельного платежа равен R/p. Найдем наращенную сумму, если рента выплачивается p раз в год, а проценты начисляют один раз в конце года, число лет –n:

.

Это геометрическая прогрессия у которой первый член , знаменатель , общее число элементов n∙p. Сумма всех ее элементов равна:

 

При р – срочной ренте и  m = 1коэффициент наращения равен:

.

 

Рента р- срочная, p=m.

Число платежей в году и число начислений процентов совпадают по времени, это означает, что p = m. Воспользуемся предыдущей формулой:

.

Эта формула отражает платеж и ставку за 1 период, но если периодов m, тогда:

.

Рента р- срочная; р≥1 и m≥1

Это наиболее общий случай р –  срочной ренты с начислением  процентов m раз в год.

Первый взнос ренты, уплаченный через срок 1/р составит R/p. К концу срока, вместе с начисленными процентами он составит:

.

Второй член к концу года составит:

 и тогда последний член (последний  платеж ренты без начисления  процентов) составит  . Это запись геометрической прогрессии в образном порядке: - первый член; (1+j/m)^m/p – знаменатель; pn – число членов. Сумма геометрической прогрессии составит:

 .

Из последней формулы можно  получить все рассмотренные выше частые случаи.

Пример 12. . Для покупки автомобиля Вами ежемесячно делаются взносы в размере 5000 руб. На накопленные средства начисляются сложные проценты по ставке 15% в год.

Определить реальную величину начислений через 3 года, если ожидаемый темп инфляции 5% в год.

Решение: Определим наращенную сумму  по формуле р- срочной ренты (р = 12) с начислением процентов m = 1 раз, в год, сроком n = 3 года: ,

где R – величина годового платежа, в нашем случае

Чтобы учесть инфляцию, разделим наращенную сумму S на индекс цен Ip за этот период. Сумма вложений с учетом инфляции                                                                                                                                                        Sr  составит:

 

¤

Пример 13. Определить величину ежемесячного платежа, в условиях предыдущей задачи, для приобретения автомобиля стоимостью 240 тыс. руб., за 2 года.

Решение: Условия ренты изменились только в отношении сроков (n = 2). Поэтому, из формулы наращенной с учетом инфляции суммы ренты выразим величину ежемесячного платежа.

¤

4.3. Формула современной  величины.

Обычная годовая рента.

Пусть задана рента, где первый член равен R, i – процентная ставка, n – срок ренты. Проценты начисляются один раз в конце года. Дисконтированная величина первого платежа (приведенная к началу года первого платежа) равна:

,

где дисконтный множитель.

Дисконтированная величина второго платежа ; третьего и т.д., или R∙ν;  R∙ ν²; R∙ ν³;…,R∙ νⁿ.

В итоге получаем геометрическую прогрессию, где первый член R∙ ν , знаменатель ν   и число членов – n. Сумма прогрессии равна:

,

А – сумма ренты, приведенная  к началу ее срока;

множитель - называют коэффициентом приведения ренты.

Рента р - срочная, р≥1; m≥1 .

В общем виде формула имеет вид:

.

Пример 14. Рассчитайте размер ежеквартального платежа для погашения равными частями кредита в размере 100 тыс. рублей, выданного на 2 года, если на остаток долга начисляется 24% годовых по номинальной ставке.

Решение: Современная стоимость  долга составляет А=100 тыс. руб., номинальная  годовая ставка j = 24%, число выплат р=4, начисление процентов m = 4 раз в году, то есть p=m.

Величину ежеквартальных выплат можно найти из формулы современной величины ренты для заданных условий при номинальной ставке:

¤

 

4.4. Зависимость между  современной величиной и наращенной  суммой.

 

Покажем, что сумма А, современная величина ренты с выплатой процентов 1 раз в год (m=1) и платежом R один раз в год (p=1), за срок n  даст нам сумму S, т.е. наращенную величину суммы А к концу срока n.

.

Определение срока ренты.

Решим эту задачу для наращенной величины S  и для современной величины А:

 

                                                 

                                                

 

                                                     

Определение ежегодной  суммы платежа R.

                                                  .

 

5. Практические приложения  теории.

5.1. Конверсия валюты и начисления процентов

Рассмотрим операцию валюта →рубли→рубли→валюта. Операция состоит из трех этапов: конверсия валюты в рубли по курсу К_{0 ,} наращение на рублевую сумму простых процентов и конверсия наращенной суммы в валюту.

Наращенная сумма в валюте составит:

,

Pv – первоначальная сумма в валюте;

Ко – курс обмена (стоимость  валюты в рублях) в начале операции;

К₁- курс обмена в конце операции;

i – ставка наращенная в десятичных дробях рублевого вклада;

n – число лет.

Сопоставим элементы формулы с  этапами операции:

- - конверсия валюты в рубли;

- - наращение рублей;

- - коэффициент перевода рублей в валюту.

Рассмотрим условия доходности операции с конверсией валюты. Доходность операции выразим простой годовой ставкой процентов:

.

Отношение К₁/К₀  называют темпом роста обменного курса за срок операции.

Таким образом, с увеличением темпа  роста обменного курса за срок операции К, доходность i_эф снижается.

При К=1 (обменный курс не изменялся) i_эф = i;

- при к > 1,     i_эф < i;

- при к < 1;     i_эф > i.

Эффективность операции будет равна  0 (i_э= 0) при К^*=1+n·i,

где К₁^* = К₀ (1+in) – критическое значение обменного курса в конце операции.