Классическая и неклассическая логика

Наконец, законом исключенного третьего называют утверждения вида “либо X , либо не-Х” , которое принимается как аксиома или получается из некоторых аксиом как следствие. И это утверждение принимается как часть неявного определения логических операторов ” и л и ” и “не” . И независимо от того, какие соображения лежат в основе принятия такого определения и какие могут быть возражения , факт остается фактом : раз принято решение употреблять знаки ”или” и ” н е ” так , что для любого высказывания X будет верно утверждение “либо X , либо не-Х” , то никаких исключений из этого правила не может быть . Всякого рода “исключения ” на деле означают лишь то, что эти операторы начинают употребляться в каком-то ином смысле .

Аналогично обстоит дело и с другими законами логики , исключаемыми из числа законов особой логики микромира , в частности , с законом коммутативности конъюнкции . Закон этот разрешает в утверждениях вида “X и Y” , где X и Y суть любые высказывания , менять местами X и Y (если истинно ”X и Y” , то истинно “Y и X” ; или из первого логически следует второе) . Он либо принимается как часть неявного определения логического оператора ” и ” , либо принимается в силу правил приписывания значений истинности высказываний с этим логическим оператором (либо из комбинации того и другого). И если возникает сомнение в правомерности применения этого закона к каким-то высказываниям , то естественно усмотреть в этом не мистический переворот в логике , а тривиальное смешение оператора ” и ” с каким-то другим , очень похожим , возможно , на него , или неуместное его употребление . В частности , оператор ” и ” может быть спутан с логическими операторами типа “и затем” , “и до этого” и т. п., для которых правило коммутации действительно не имеет силы , или употреблен вместо них .

Анализ природы законов логики , конкретной логической ситуации в микрофизике и вида ее особых логик показывает, что допущение особой логики микрофизики (микромира) , отличной от логики макрофизики и других наук, есть чисто беллетристическое явление , основывающееся на смешении логических операторов и относящихся к ним логических правил . Мы при этом ни в какой мере не отвергаем пользы разработки многозначных (и, в частности , трехзначных) логических систем и исследования различного рода ограничений классической логики . Мы не отвергаем также возможной пользы всего этого для анализа языка микрофизики. Но все это не дает никаких аргументов в пользу особой логики микромира , отличной от логики наук, изучающих макромир .

Ситуации такого типа , когда приходится иметь дело не с двумя возможностями , а с тремя , где третья возможность есть отрицание двух других , складываются не только в сфере сложной и утонченной науки , но и на примитивном житейском уровне .

Один человек спрашивает другого : “Перестал ли ты бить своего отца? ” Согласно двузначной логике , другой должен ответить либо “да” , либо “нет” . И тот и другой ответ будет означать, что отвечающий раньше бил своего отца. А как быть, если он раньше не делал этого? Оперируя только одним отрицанием , проблему решить нельзя . Дело в том, что сложившаяся ситуация предполагает не только две возможности : “Я перестал бить своего отца ” (X) и “Я не перестал бить своего отца ” (Y), но также третью возможность “Я во обще (раньше) не бил своего отца ” (Z). И верным будет не утверждение “Либо X , либо Y” , а “Либо X , либо Y , либо Z” . Другой пример . Пусть А есть “N утверждает , что А” , где А есть какое-то высказывание , a Y есть “N утверждает, что не-А” . Очевидно , утверждение “Либо X , либо Y”не будет истинным , так как имеет место третья возможность : N не утверждает как А, так и не-А, т.е. вообще помалкивает. Одним словом , обнаружение ситуаций не с одной возможностью для отрицания (классический случай) , а с двумя (неклассический случай) означает, что требуется более тщательный логический анализ языка , в частности — введение двух типов отрицания , а не то, что должна быть отвергнута универсальность правил логики .

Классический и неклассический случаи.

Различают классический случай , в котором не различаются два вида отрицания и не вводится оператор неопределенности , и неклассический , в котором это сделано . Классический случай содержится в неклассическом , неклассический является расширением классического . Все исчисления по отдельности и их объединение в одно целое обладают такими чертами . Если формула х |- у доказуема в них (в ней), то в заключение у не входят смысловые единицы (высказывания или термины) , отсутствующие в посылке х. Это означает, что в случае логического вывода вывод получается из того материала , который содержится в посылках . Тем самым исключаются парадоксальные формулы традиционной математической логики , например — такие :  (х ^~х) |- у, х |- у V -у, х |- х V у.

Все доказуемые формулы х |- у удовлетворяют основному принципу дедукции : если истинна посылка х, то истинно заключение у . Тем самым доказывается непротиворечивость теории и , в более общем смысле , надежность . Если формула х |- у удовлетворяет основному принципу дедукции , она доказуема. Тем самым доказывается полнота теории , т.е. доказывается то , что теория исчерпывает все множество правил логического вывода . Существует способ установления для любой формулы х |- у, доказуема она в нашей теории или нет. Тем самым доказывается разрешимость теории . Тем самым доказывается , что знаменитые «результаты Геделя» суть следствие того, что исчисления классической и интуиционистской математической логики просто плохо построены в качестве теории логического вывода . В этой теории выполняется принцип : в науке не должно быть проблем , не разрешимых по вине логики . Если такие проблемы возникают, значит, логическая теория нуждается в исправлении , в доработке или вообще в замене на другую .

Отмечу еще одно отличие моего подхода от общепринятого. Я предлагаю не просто сумму различных исчислений , а одно гигантское исчисление , имеющее вертикальную иерархическую структуру с боковыми ответвлениями и с синтезирующими комбинациями . Допускаются различные варианты фрагментов этой структуры . И все они соответственно эквивалентны или суть модификации , открывающие дополнительные возможности для формальных систем . Заинтересованный читатель найдет многочисленные примеры на этот счет в неоднократно упоминавшихся «Очерках» .

Другие разделы неклассической логики.

Острой критике классическая логика подверглась за то, что она не дает корректного описания логического следования.

Основная задача логики — систематизация правил, позволяющих из принятых утверждений выводить новые. Возможность получения одних идей в качестве логических следствий других лежит в фундаменте любой науки. Это делает проблему верного описания логического следования чрезвычайно важной. Неудача в ее решении отрицательно сказывается не только на самой логике, но и на методологии науки.

Логическое следование — это отношение, существующее между утверждениями и обоснованно выводимыми из них заключениями, отношение, хорошо известное нам из практики обычных рассуждений. Задача логики — уточнить интуитивное, стихийно сложившееся представление о следовании и сформулировать на этой основе однозначно определенное понятие следования. Последнее должно, конечно, находиться в достаточном соответствии с замещаемым им интуитивным представлением.

Логическое следование должно вести от истинных положений только к истинным. Если бы выводы, относимые к обоснованным, давали возможность переходить от истины ко лжи, то установление между утверждениями отношения следования потеряло бы всякий смысл. Логический вывод превратился бы из способа разворачивания и развития знания в средство, стирающее грань между истиной и заблуждением.

Классическая логика удовлетворяет требованию вести от истины только к истине. Однако многие ее положения о следовании плохо согласуются с нашим привычным представлением о нем.

В частности, классическая логика говорит, что из противоречия логически следует все что угодно. Например, из противоречивого утверждения «Токио — большой город, и Токио не является большим городом» следуют наряду с любыми другими утверждения: «Математическая теория множеств непротиворечива», «Луна сделана из зеленого сыра» и т.п. Но между исходным утверждением и этими якобы вытекающими из него утверждениями нет никакой содержательной связи. Здесь явный отход от обычного представления о следовании.

Точно так же обстоит дело и с классическим положением, что логические законы вытекают из любых утверждений. Наш логический опыт отказывается признать, что, скажем, утверждение «Лед холодный или лед не холодный» можно вывести из утверждений типа «Два меньше трех» или «Аристотель был учителем Александра Македонского». Следствие, которое выводится, должно быть как-то связано с тем, из чего оно выводится. Классическая логика пренебрегает этим очевидным обстоятельством.

Важную роль во всех наших рассуждениях играют условные утверждения, формулируемые с помощью союза «если…, то…». Они выполняют много различных задач, но их типичная функция — обоснование одних утверждений ссылкой на другие. К примеру, электропроводность меди можно обосновать, ссылаясь на то, что она металл: «Если медь — металл, то она проводит электрический ток».

Условное утверждение в логике называется импликацией.

Классическая логика так истолковывает условное утверждение «Если А, то В»: оно ложно только в том случае, когда А истинно, а В ложно, и истинно во всех остальных случаях. Оно истинно, в частности, когда А ложно или когда В истинно. Содержательная, смысловая связь утверждений А и В при этом во внимание не принимается. Если даже они никак не связаны друг с другом, составленное из них условное утверждение может быть истинным.

Так истолкованное условное утверждение получило название материальной импликации. Согласно ее определению, истинными должны считаться такие, к примеру, утверждения: «Если Луна обитаема, то дважды два равно четырем», «Если Земля — куб, то Солнце —треугольник» и т.п. Очевидно, что, если даже материальная импликация полезна для многих целей, она все-таки плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

Прежде всего эта импликация плохо выполняет функцию обоснования. Вряд ли являются в каком-либо разумном смысле обоснованиями такие утверждения, как: «Если Наполеон умер на Корсике, то закон Архимеда открыт не им», «Если медь — египетское божество, она электропроводна». Нельзя сказать, что, поставив перед истинным утверждением произвольное высказывание, мы тем самым обосновали это утверждение. Классическая же логика говорит: истинное утверждение может быть обосновано с помощью любого утверждения.

Трудно отнести к обоснованиям и такие истинные материальные импликации, как: «Если львы не имеют зубов, то у жирафов длинные шеи», «Если дважды два равно пяти, то Юпитер обитаем» и т.п. Однако классическая логика говорит: с помощью ложного утверждения можно обосновать все, что угодно.

Эти и подобные им положения об обосновании, 9т-стаиваемые классической логикой, получили название парадоксов материальной импликации. Они не согласуются с привычными представлениями относительно обоснования одних утверждений с помощью других.

Таким образом, классическая логика не может быть признана удачным описанием логического следования. Первым на это указал еще в 1912 г. американский логик К. Льюис. Тогда логика находилась на подъеме, она казалась безупречной, и критика Льюиса в ее адрес не была воспринята всерьез. Его даже обвинили в непонимании существа дела. Но он продолжал заниматься этой проблемой и предложил новую теорию логического следования, в которой материальная импликация замещалась другой условной связью — строгой импликацией. Это было большим шагом вперед, хотя и оказалось, что строгая импликация тоже не лишена собственных парадоксов. Более совершенное описание условной связи и логического следования было дано в 50-е гг. немецким логиком В.Аккерманом и американскими логиками А.Андерсеном и Н.Белнапом. Им удалось исключить не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Введенная ими импликация получила название релевантной (т.е. уместной), поскольку ею можно связывать только утверждения, имеющие какое-то общее содержание.

В настоящее время теория логического следования является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов неклассической логики. Интересный новый подход недавно намечен немецким логиком Х.Вессе-лем. Он предложил разделить две задачи, ранее решавшиеся одновременно: сначала описать основные правила логического следования, а уже затем вводить разные типы условных связей, или импликаций. Оценка этого подхода — дело будущего.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Мышление человека подчиняется логическим законам и протекает в логических формах независимо от науки логики. Многие люди мыслят логично, не зная ее правил. Разумеется, можно правильно мыслить, не изучив логику, однако нельзя и недооценивать практического значения этой науки.

Задача логики в том, чтобы научить человека сознательно применять законы и формы мышления и на основе этого логичнее мыслить, правильно сознавать окружающий мир. Знание логики повышает культуру мышления, вырабатывает навык мыслить “грамотно”, развивает критическое отношение к своим и чужим мыслям.

Логика – необходимый инструмент, освобождающий от личных, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Она нужна “любому специалисту, будь он математик, медик, биолог”. (Анохин Н.К.).

Мыслить логично – это значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки. Эти качества мышления имеют большое значение в любой области научной и практической деятельности.