Нечёткая логика и теория нечётких множеств

Нечёткая логика и теория нечётких множеств – раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его работе понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0,1], а не только 0 или 1. Такие множества были названы нечёткими. Также автором были предложены различные логические операции над нечёткими множествами и предложено понятие лингвистической переменной, в качестве значений которой выступают нечёткие множества.

Теория нечетких множеств представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики, которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных, открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики, которая предложила инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач.

Описание основных положений нечеткой логики.

Функция принадлежности

Функция принадлежности нечёткого множества – обобщение индикаторной (или характеристической) функции классического множества. В нечёткой логике она представляет степень принадлежности каждого члена пространства рассуждения к данному нечёткому множеству.

Для пространства рассуждения, и данной функции принадлежности нечеткое множество определяется как Функция принадлежности количественно градуирует принадлежность элементов фундаментального множества пространства рассуждения [pic]нечёткому множеству [pic]. Значение 0 означает, что элемент не включен в нечёткое множество, 1 описывает полностью включенный элемент. Значения между 0 и 1 характеризуют нечётко включенные элементы.

Классификация функций принадлежности нормальных нечетких множеств

Нечеткое множество называется нормальным, если для его функции принадлежности справедливо утверждение, что существует такой, при котором.

Функция принадлежности класса s

Нечеткая и лингвистическая переменные 
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. 
Нечеткая переменная характеризуется тройкой: , 
где α – наименование переменной; X – универсальное множество (область определения α); A – нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. μA(x)) на значения нечеткой переменной α.

Лингвистической переменной (ЛП) называется набор: где β – наименование лингвистической переменной; Т – множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством ЛП; G – синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). G(T) – множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством ЛП; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение ЛП, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество. База правил нечетких высказываний База правил систем нечеткого вывода предназначена для формального представления эмпирических знаний или знаний экспертов в той или иной проблемной области. В системах нечеткого вывода используются правила нечетких продукций, в которых условия и заключения сформулированы в терминах нечетких лингвистических высказываний. Совокупность таких правил будем далее называть базами правил нечетких продукций. База правил нечетких продукций представляет собой конечное множество правил нечетких продукций, согласованных относительно используемых в них лингвистических переменных. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированного текста: ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ «Условие_1» ТО «Заключение_1» ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ «Условие_2» ТО «Заключение_2» ПРАВИЛО_n: ЕСЛИ «Условие_n» ТО «Заключение_ n» Здесь через обозначены коэффициенты определенности или весовые коэффициенты соответствующих правил. Эти коэффициенты могут принимать значения из интервала [0, 1]. В случае если эти весовые коэффициенты отсутствуют, удобно принять, что их значения равны 1. Ситуация можетсоответствовать более сложному случаю, когда нечеткими логическими операциями соединены нечеткие высказывания, относящиеся к разным лингвистическим переменным в условии правила нечеткой продукции. Нечеткими логическими операциями могут быть соединены нечеткие высказывания, относящиеся к разным ЛП в заключении правила нечеткой продукции, т. е. в форме: «есть» ОП, где ОП – некоторая из бинарных операций нечеткой конъюнкции «И» или нечеткой дизъюнкции ИЛИ», а и различные лингвистические переменные: Входные и выходные ЛП. В системах нечеткого вывода ЛП, которые используются в нечетких высказываниях подусловий правил нечетких продукций, часто называют входными ЛП, а переменные, которые используются в нечетких высказываниях подзаключений правил нечетких продуктов, часто называют выходными ЛП. Таким образом, при задании или формировании базы правил нечетких продуктов необходимо определить: множество правил нечетких продукций в форме, множество входных лингвистических переменных: и множество выходных лингвистических переменных . Тем самым база правил нечетких продукций считается заданной, если заданы множества P, V, W (где входная или выходная ЛП считается заданной или определенной, если для нее определено базовое терм-множество с соответствующими функциями принадлежности каждого терма, а также две процедуры G и М. На формирование базы правил систем нечеткого вывода часто оказывают влияние некоторые дополнительные факторы, которые определяются спецификой решаемой задачи или используемого алгоритма нечеткого вывода. (Изложенные понятия базы правил нечетких продукций в максимальной степени соответствуют алгоритму вывода Мамдани, который получил наибольшее практическое применение в задачах нечеткого моделирования). Механизм (алгоритм) нечеткого логического вывода

Основные этапы нечеткого вывода

Говоря о нечеткой логике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устройствами и процессами. Разработка и применение систем нечеткого вывода включают в себя ряд этапов, реализация которых выполняется с помощью основных положений нечеткой логики. В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа (Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y* на основе заданных четких значений xk , k=1..n.) [pic] Системы нечеткого вывода предназначены для преобразования значений входных переменных процесса управления в выходные переменные на основе использования нечетких правил продукций. Для этого системы нечеткого вывода должны содержать базу правил нечетких продукций и реализовывать нечеткий вывод заключений на основе посылок или условий, представленных в форме нечетких лингвистических высказываний.

Таким образом, основными этапами нечеткого вывода являются:

✓ Формирование базы правил систем нечеткого вывода.

✓ Фаззификация входных переменных.

✓ Агрегирование подусловий в нечетких правилах продукций.

✓ Активизация или композиция подзаключений в нечетких правилах продукций.

✓ Аккумулирование заключений нечетких правил продукций.

✓ Дефаззификация выходных переменных

Основные алгоритмы нечеткого вывода

К настоящему времени предложено несколько алгоритмов нечеткого вывода: Алгоритм Мамдани (Mamdani),лгоритм Цукамото (Tsukamoto), Алгоритм Ларсена (Larsen), Алгоритм Сугено (Sugeno). При решении практических задач нечеткого моделирования могут одновременно использоваться несколько алгоритмов нечеткого вывода с целью получения наиболее адекватных результатов.

Фаззификация (Fuzzification)

В контексте нечеткой логики под фаззификацией понимается не только отдельный этап выполнения нечеткого вывода, но и собственно процесс или процедура нахождения значений функций принадлежности нечетких множеств (термов) на основе обычных (не нечетких) исходных данных.

Фаззификацию еще называют введением нечеткости.

Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным (обычно – численным) значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной. 
После завершения этого этапа для всех входных переменных должны быть определены конкретные значения функций принадлежности по каждому, из лингвистических термов, которые используются в подусловиях базы правил системы нечеткого вывода.

Этап фаззификации считается законченным, когда будут найдены все значения [pic] для каждого из подусловий всех правил, входящих в рассматриваемую базу правил системы нечеткого вывода. Это множество значений обозначим через.

Дефаззификация 
После выполнения логических операций и оценки результатов от системы требуется выдать четкий ответ.

Дефаззификация – процедура нахождения обычного (не нечеткого) значения для каждой из выходных лингвистических переменных.

Цель дефаззификации заключается в том, чтобы, получить обычное количественное значение (crisp value) каждой из выходных переменных, которое может быть использовано специальными устройствами, внешними по отношению к системе нечеткого вывода. Действительно, применяемые в современных системах управления устройства и механизмы способны воспринимать традиционные команды в форме количественных значений соответствующих управляющих переменных. Именно по этой причине необходимо преобразовать нечеткие множества в некоторые конкретные значения переменных. Поэтому дефаззификацию называют также приведением к четкости.

До начала этого этапа предполагаются известными функции принадлежности всех выходных лингвистических переменных в форме нечетких множеств. Далее последовательно рассматривается каждая из выходных лингвистических переменных и относящееся к ней нечеткое множество. Результат дефаззификации для выходной лингвистической переменной определяется в виде количественного значения, получаемого по одной из приведенных ниже формул.

Этап дефаззификации считается законченным, когда для каждой из выходных лингвистических переменных определены итоговые количественные значения в форме некоторого действительного числа, т.е. в виде у1, у2,..., ys, где s – общее количество выходных лингвистических переменных в базе правил системы нечеткого вывода.

Для определения количественных значений выходных лингвистических переменных могут быть использованы следующие формулы, получившие название методов дефаззификации.

Метод центра тяжести Центр тяжести (CoG, COG, Centre of Gravity) или центроид площади рассчитывается по формуле:

В формуле используются следующие обозначения: у — результат дефаззификации; х— переменная, соответствующая выходной лингвистической переменной w; — функция принадлежности нечеткого множества, соответствующего выходной переменной w после этапа аккумуляции; Min и Мaх— левая и правая точки интервала носителя нечеткого множества рассматриваемой выходной переменной w. При дефаззификации методом центра тяжести обычное (не нечеткое) значение выходной переменной равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной графиком кривой функции принадлежности соответствующей выходной переменной.

Метод центра тяжести для одноточечных множеств

Центр тяжести (COGS, Centre of Gravity for Singletons) для одноточечных множеств рассчитывается по формуле:

где n — число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств, каждое из которых характеризует единственное значение рассматриваемой выходной лингвистической переменной.

Метод центра площади Центр площади (СоА, СОА, Centre of Area, Bisector of Area) равен у = u, где значение u определяется из уравнения:

Другими словами, центр площади равен абсциссе, которая делит площадь, ограниченную графиком кривой функции принадлежности соответствующей выходной переменной, на две равные части. Иногда центр площади называют биссектрисой площади. Этот метод не может быть использован в случае одноточечных множеств.

Метод левого модального значения Левое модальное значение (LM, Left Most Maximum) рассчитывается по формуле: у = тin{хm}, где хm— модальное значение (мода) нечеткого множества, соответствующего выходной переменной w после аккумуляции. Другими словами, значение выходной переменной определяется как мода нечеткого множества для соответствующей выходной переменной или наименьшая из мод (самая левая), если нечеткое множество имеет несколько модальных значений.

Метод правого модального значения Правое модальное значение (RM, Right Most Maximum) рассчитывается по формуле: у = тax{хm}, где хm — модальное значение (мода) нечеткого множества для выходной переменной со после аккумуляции. В этом случае значение выходной переменной также определяется как мода нечеткого множества для соответствующей выходной переменной или наибольшая из мод (самая правая), если нечеткое множество имеет несколько модальных значений.

Нечеткие деревья решений

Стремительное развитие информационных технологий, в частности, прогресс в методах сбора, хранения и обработки данных позволил многим организациям собирать огромные массивы данных, которые необходимо анализировать. Объемы этих данных настолько велики, что возможностей экспертов уже не хватает, что породило спрос на методы автоматического исследования (анализа) данных, который с каждым годомпостоянно увеличивается.

Деревья решений – один из таких методов автоматического анализа данных. Первые идеи создания деревьев решений восходят к работам Ховленда и Ханта конца 50-х годов XX века. Однако, основополагающей работой, давшей импульс для развития этого направления, явилась книга Ханта, Мэрина и Стоуна "Experiments in Induction", увидевшая свет в 1966г.

Деревья решений – это способ представления правил в иерархической, последовательной структуре, где каждому объекту соответствует единственный узел, дающий решение.