Нечёткая логика и теория нечётких множеств

Под правилом понимается логическая конструкция, представленная в виде "если…то..."

Графическая иллюстрация дерева решений

Область применения деревьев решений в настоящее время широка, но, все задачи, решаемые этим аппаратом могут быть объединены в следующие три класса:

Описание данных: Деревья решений позволяют хранить информацию о данных в компактной форме, вместо них мы можем хранить дерево решений, которое содержит точное описание объектов.

Классификация: Деревья решений отлично справляются с задачами классификации, т.е. отнесения объектов к одному из заранее известных классов. Целевая переменная должна иметь дискретные значения.

Регрессия: Если целевая переменная имеет непрерывные значения, деревья решений позволяют установить зависимость целевой переменной от независимых (входных) переменных. Например, к этому классу относятся задачи численного прогнозирования (предсказания значений целевой переменной).

Алгоритм построения нечеткого дерева решений

Главной идеей в таком подходе является сочетание возможностей деревьев решений и нечеткой логики.

Отличительной чертой деревьев решений является то, что каждый пример определенно принадлежит конкретному узлу. В нечетком случае это не так. Для каждого атрибута необходимо выделить несколько его лингвистических значений и определить степени принадлежности примеров к ним. Вместо количества примеров конкретного узла нечеткое дерево решений группирует их степень принадлежности. Коэффициент – это соотношение примеров узла N для целевого значения i, вычисляемый как степень принадлежности примера к узлу N степень принадлежности примера относительно целевого значения i, SN – множество всех примеров узла N. Затем находим коэффициент, обозначающий общие характеристики примеров узла N. В стандартном алгоритме дерева решений определяется отношение числа примеров, принадлежащих конкретному атрибуту, к общему числу примеров. Для нечетких деревьев используется отношение, для расчета которого учитывается степень принадлежности.

Выражение дает оценку среднего количества информации для определения класса объекта из множества PN.

На следующем шаге построения нечеткого дерева решений алгоритм вычисляет энтропию для разбиения по атрибуту A со значениями aj где узел Mj – дочерний для узла N.

Алгоритм выбирает атрибут Ax с максимальным приростом информации:

Узел N разбивается на несколько подузлов Mj. Степень принадлежности примера Dk узла Mj вычисляется пошагово из узла N как где показывает степень принадлежности к атрибуту aj. Подузел Mj удаляется, если все примеры в нем имеют степень принадлежности, равную нулю. Алгоритм повторяется до тех пор, пока все примеры узла не будут классифицированы либо пока не будут использованы для разбиения все атрибуты.

Принадлежность к целевому классу для новой записи находится по формуле где коэффициент соотношения примеров листа дерева l для значения целевого класса k – степень принадлежности примера к узлу l, xk – принадлежность значения целевого класса k к положительному значению исхода классификации.

Пример: построение дерева решений о выдаче кредита в таблице представлены данные о семи клиентах банка: проживание в регионе (в годах), доход и рейтинг выдачи ему кредита. Необходимо построить нечеткое дерево решений, с помощью которого определить рейтинг выдачи кредита для клиента, который проживает в регионе 25 лет, и доход его составляет 32 000 (будет решаться задача регрессии). 
|№ |Проживание в регионе|Доход |Рейтинг | 
|D1 |0 |10000 |0,0 | 
|D2 |10 |15000 |0,0 | 
|D3 |15 |20000 |0,1 | 
|D4 |20 |30000 |0,3 | 
|D5 |30 |25000 |0,7 | 
|D6 |40 |35000 |0,9 | 
|D7 |40 |50000 |1,0 | 
Предположим, что атрибут "проживание в регионе" может принимать значения "временно", "продолжительно", "постоянно", а атрибут "доход" – "низкий", "средний" и "высокий".

Общий вид функции для атрибутов

Степень принадлежности каждого примера к значениям атрибутов

|№ |Проживание в регионе |Доход | 
| |Временно |Продолжительно |Постоянно | 
|Pда |0,3 |0,9 |2,4 | 
|Pнет |2,5 |1,7 |0,4 | 
|Е в битах |0,491 |0,931 |0,592 | 
Отсюда находим энтропию:

E(SN, проживание в регионе)= 1бит.

Рассчитаем прирост информации для данного атрибута.

G(SN, проживание в  регионе) = 0,985 - 0,653 = 0,332 бит.

Проводя подобные вычисления для атрибута "доход", получаем

E(SN, доход) = 0,691 бит, G(SN, доход) = 0,294 бит.

Максимальный прирост информации обеспечивает атрибут "проживание в регионе", следовательно, разбиение начнется с него.

На следующем шаге алгоритма необходимо для каждой записи рассчитать степень принадлежности к каждому новому узлу по формуле: [pic].

Результат представлен в таблице.

|Прожив. в регионе |Временно |Продолжительно |Постоянно |

Доход |Низкий |Средний |Высокий |Низкий |Средний |Высокий |Низкий |Средний |Высокий | |D1 |1 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 | |D2 |0,6 |0,4 |0 |0,2 |0,2 |0 |0 |0 |0 | |D3 |0,1 |0,5 |0 |0,1 |0,5 |0 |0 |0 |0 | |D4 |0 |0,2 |0 |0 |0,8 |0 |0 |0 |0 | |D5 |0 |0 |0 |0 |0,5 |0 |0 |0,5 |0 | |D6 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0,6 |0,4 | |D7 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |0 |1 | |К узлам [проживание в регионе = временно и доход = высокий] и [проживание в регионе = продолжительно и доход = высокий] не принадлежит ни одна запись, поэтому они удаляются из дерева. 
Для каждого узла находятся коэффициенты. Полученное дерево представлено на рисунке Графическая иллюстрация нечеткого дерева решений.

Теперь определим кредитный рейтинг для клиента, проживающего в регионе 25 лет, и с доходом 30 000. За положительный исход в данной задаче принято одобрение в выдаче кредита, поэтому χ да = 1,0, χнет = 0,0. Новый клиент принадлежит к двум узлам: [проживание в регионе = продолжительно и доход = средний] и [проживание в регионе = постоянно и доход = средний], со степенями 0,8 и 0,2 соответственно. Подставляя полученные значения в формулу, рассчитываем кредитный рейтинг. В итоге мы получили кредитный рейтинг, равный 0,395. Он означает, что степень принадлежности записи к тому, что кредит клиенту будет выдан, равна 0,395, а к невыдаче – 0,605. Следовательно, этому клиенту банком будет отказано.

Решая задачу классификации, выбирается тот класс i, для которого значение Pi максимально.

Применение и основные выводы.

Нечеткие деревья решений применяются как для решения задач классификации, так и для решения задачи регрессии, когда необходимо знать степени принадлежности к тому или иному исходу. Они могут быть использованы в различных областях: в банковском деле для решения задачи скоринга, в медицине для диагностики различных заболеваний, в промышленности для контроля качества продукции и так далее. 
Безусловным достоинством данного подхода является высокая точность классификации, достигаемая за счет сочетания достоинств нечеткой логики и деревьев решений. Процесс обучения происходит быстро, а результат прост для интерпретации. Так как алгоритм способен выдавать для нового объекта не только класс, но и степень принадлежности к нему, это позволяет управлять порогом для классификации.

Однако для этого необходим репрезентативный набор обучающих примеров, в противном случае сгенерированное алгоритмом дерево решений будет слабо отражать действительность и, как следствие, выдавать ошибочные результаты.

Современное практическое применение механизма анализа нечеткой информации

В последние годы все большее число российских предприятий (как частных, так и государственных), в целях повышения эффективности управления экономическими процессами, пытаются организовать свою деятельность на основе современных научных исследований. Повсеместно внедряются бизнес-планирование, финансовый и инвестиционный анализ, современные программные продукты, основанные на последних научных разработках. Одновременно возрастает спрос на рыночные исследования (как на микроэкономическом, так и макроэкономическом уровне), на финансовую и общеэкономическую информацию.

Сегодня одним из наиболее перспективных направлений научных исследований в области анализа, прогнозирования и моделирования экономических явлений и процессов является нечеткая логика (fuzzy logic). Нечетко-множественные модели, зачастую представленные в виде программного обеспечения для персональных компьютеров, позволяют как менеджерам различного уровня, так и собственникам предприятий принимать экономически грамотные решения.

На сегодняшний день в России потребителями научных разработок, в основу которых заложен нечетко-множественный аппарат, является достаточно узкий круг государственных и чуть более широкий круг коммерческих предприятий, а ученые, создающие и поставляющие на рынок данные продукты, исчисляются одним-двумя десятками человек.

С помощью соответствующего математического аппарата стало возможным выразить нечеткие оценки математически и впоследствии обработать с помощью ЭВМ. Таким образом удалось максимально приблизить механизм компьютерной обработки и анализа данных к человеческому мышлению.

Параллельно с разработкой теоретических основ новой науки, Лотфи А. Заде прорабатывал различные возможности ее практического применения. В 1973 году эти усилия увенчались успехом - ему удалось показать, что нечеткая логика может быть положена в основу нового поколения интеллектуальных систем управления. Именно поэтому эту дату логично считать началом второго этапа в развитии данной науки

Результаты не заставили себя долго ждать. Практически сразу после выхода в свет фундаментального доклада Л. Заде небольшая предприимчивая фирма из Дании применила изложенные в нем принципы для усовершенствования системы управления доменной печью. Лишь только после этого ученые обратили свое пристальное внимание на молодую науку, т. к. именно такая логика способна решать различные задачи в условиях неопределенности. Через четыре года после внедрения данной системы управления сложным производственным процессом прибыли фирмы исчислялись десятками тысяч долларов.

В работах М. Земанковой и А. Кандела были заложены основы теории нечетких систем управления базами данных, способных оперировать неточными данными, обрабатывать нечетко заданные запросы, а также использовать качественные параметры наряду с количественными. Была разработана нечеткая алгебра - необычная наука, позволяющая использовать при вычислениях как точные, так и приблизительные значения переменных. И наконец, самое широкое распространение получили изобретенные Б. Коско так называемые нечеткие когнитивные модели (Fuzzy Cognitive Maps), на которых базируется большинство современных систем динамического моделирования в области финансов, политики и бизнеса.

К 90-му году появилось около 40 патентов, относящихся к нечеткой логике(из них 30 японских). Сорок восемь японских компаний образовали совместную лабораторию LIFE (Laboratory for International Fuzzy Engineering), японское правительство финансировало пятилетнюю программу по нечеткой логике, включающую 19 различных проектов - от систем оценки глобального загрязнения атмосферы и предсказания землетрясений до автоматизированных систем управления заводскими цехами и складами. Результатом выполнения этой программы явилось появление целого ряда новых массовых микрочипов, основанных на нечеткой логике. Сегодня их можно найти в стиральных машинах и видеокамерах, цехах заводов, моторных отсеках автомобилей, в системах управления складскими роботами и боевыми вертолетами.

«Пионером» в применении нечеткой логики в бытовых изделиях выступила фирма Matsuhita. В феврале 1991 года она анонсировала первую `интеллектуальную` стиральную машину, в системе управления которой сочетались нечеткая логика и нейронная сеть. Автоматически определяя нечеткие входные факторы (объем и качество белья, уровень загрязненности, тип порошка и т.д.), стиральная машина безошибочно выбирала оптимальный режим стирки из 3800 возможных вариантов. А спустя пару лет использование приемов нечеткой логики в производстве японской бытовой техники стало повсеместным.

Начиная с конца 70-х годов, методы теории нечетких множеств начинают применяться и в экономике. В 80-х начали появляться программные решения и информационные технологии, решающие экономические задачи с применением нечетко-множественных и родственных им описаний. Так, под руководством Ц. Зопоунидиса в Техническом университете на острове Крит была разработана экспертная система для детального финансового анализа корпораций. Чуть раньше в Германии, в конце 80-х годов, группой под руководством Х. Циммермана была разработана система стратегического планирования, в которой реализуется позиционирование бизнеса корпорации на основе нечетких описаний конкурентоспособности и привлекательности бизнеса.

В качестве примера такого программного обеспечения можно назвать дорогостоящие комплексные системы, в которыхприменяется нечеткая логика и которые используют банкиры и финансисты для решения сложнейших задач прогнозирования финансовых индикаторов. Начало этому процессу положила японская финансовая корпорация Yamaichi Securuties. Задавшись целью автоматизировать игру на рынке ценных бумаг, эта компания привлекла к работе около 30 специалистов по искусственному интеллекту. В первую версию системы, завершенную к началу 1990 г., вошли 600 нечетких правил - воплощение опыта десяти ведущих брокеров корпорации. Прежде чем решиться на использование новой системы в реальных условиях, ее протестировали на двухлетней выборке финансовых данных (1987-1989 гг.). Система с блеском выдержала испытание. Особое изумление экзаменаторов вызвало то, что за неделю до наступления биржевого краха (знаменитого `Черного Понедельника` на токийской бирже в 1988 году) система распродала весь пакет акций, что свело ущерб практически к нулю. Надо ли говорить, что после этого вопрос о целесообразности применения нечеткой логики в финансовой сфере уже не поднимался.

Некоторое количество работ посвящено макроэкономическому анализу фондового рынка на основе нечетких представлений. Также нечеткие представления были положены в основу нейронных сетей для прогнозирования фондовых индексов.