Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение

3. Квадратные матрицы    и  , связанные соотношением   , называются подобными, а матрица   — преобразующей. В силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому.

 

 

1.4 Примеры аффинных преобразований

1. Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками, т.е. расстояние между образами    и   равно расстоянию между их прообразами   и  :   .

Из определения следует, что при движении сохраняются  углы, так как из равенства треугольников     и     (по трем сторонам) следует равенство соответствующих углов.

Таким образом, при движении прямоугольная система координат  переходит в прямоугольную (рис.2.21,а). Получили формулы, выражающие координаты образа через координаты прообраза:

(такое движение называется собственным)

(такое движение называется несобственным)

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что собственное движение является аффинным преобразованием  с матрицей   ,  а несобственное — с матрицей  . На рис.2.21a изображены исходная система координат   и новая система координат   , в которой координаты образа   любой точки совпадают с координатами прообраза   в старой системе координат    (см. второй способ задания аффинного преобразования).

2. Гомотетией с центром в точке   с коэффициентом   называется преобразование плоскости, при котором каждой точке  ставится в соответствие такая точка  , что   (рис.2.21,б).

Докажем, что гомотетия является аффинным преобразованием. Для этого выберем аффинную систему координат   , начало которой совпадает с центром гомотетии. Пусть точка   имеет координаты  , тогда ее образ   при гомотетии имеет координаты 

Сравнивая эти формулы с (2.11) делаем вывод, что гомотетия есть аффинное преобразование с матрицей   и нулевым столбцом  .

Определим гомотетию, используя второй способ задания аффинного преобразования. Для старой системы координат   построим новую аффинную систему координат   , в которой координаты образа   при гомотетии совпадают с координатами прообраза   в старой системе координат. Примем точку   за начало (точка   совпадает с точкой  ), а векторы   ,   в качестве нового базиса. Найдем координаты точки   в системе координат   :

Поскольку  , то точки   и   имеют равные координаты в аффинных системах координат    и   соответственно.

Наоборот, если заданы аффинные системы  координат    и  , то существует единственное аффинное преобразование, при котором координаты точки   (в системе координат   ) совпадают с координатами образа   (в новой системе координат   ), и это преобразование является гомотетией.

3. Сжатием плоскости к прямой   вдоль пересекающей ее прямой   с коэффициентом   (косым сжатием) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка   , принадлежащая прямой   , остается неподвижной (преобразуется в себя:   ), а каждой точке  , не лежащей на прямой   , ставится в соответствие такая точка  , что  , где     — проекция точки   на прямую    вдоль прямой    (рис.2.22,а). При   это преобразование называют растяже-нием.

В частности, сжатием к прямой  с коэффициентом   называют сжатие в направлении, перпендикулярном прямой   , то есть в случае, когда прямая   перпендикулярна прямой   (рис.2.21,6).

Покажем, что это аффинное преобразование. Выберем аффинную систему координат     так, чтобы ее начало совпадало с точкой   пересечения прямых   и  , а векторы     и    принадлежали прямым   и   соответственно. Из формулы   следует, что при сжатии абсцисса точки   не изменяется, а ордината умножается на коэффициент сжатия  :

Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что сжатие является аффинным преобразованием с матрицей     и нулевым столбцом  .

4. Отражением плоскости относительно прямой   параллельно пересекающей ее прямой   (вдоль прямой  ) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка  , принадлежащая прямой  , остается неподвижной (преобразуется в себя:  ), а каждой точке  , не лежащей на прямой  , ставится в соответствие такая точка  , что   , где    — проекция точки  на прямую   вдоль прямой   (рис.2.23,а).

Это преобразование является аффинным, поскольку оно не изменяет расстояний между точками, т.е. представляет собой движение. Выберем систему  координат   так, чтобы ее начало совпадало с точкой   пересечения прямых    и  , а векторы     и  принадлежали прямым   и   соответственно. Найдем матрицу   преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку    и  ,  то   .

5. Проекцией плоскости на прямую   параллельно пересекающей ее прямой   (вдоль прямой  ) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка  , принадлежащая прямой  , остается неподвижной (преобразуется в себя:  ), а каждой точке  , не лежащей на прямой  , ставится в соответствие ее проекция   на прямую   вдоль прямой   (рис.2.23,б).

Это преобразование является линейным, но не является аффинным. В  самом деле, выберем аффинную систему  координат    так, чтобы ее начало совпадало с точкой    пересечения прямых   и  , а векторы    и    принадлежали прямым   и   соответственно. Найдем матрицу   преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку  и  , то  . Как видим, матрица   преобразования вырожденная, поэтому преобразование не является аффинным, но является линейным.

6. Инверсией плоскости относительно окружности радиуса   с центром в точке   называется преобразование плоскости, при котором точки, принадлежащие данной окружности, остаются неподвижными (преобразуются в себя), а каждой точке  , отличной от  , ставится в соответствие такая точка  , что  (рис.2.24), т.е. радиус-векторы    и    образа и прообраза коллинеарны, а произведение их длин равно квадрату радиуса окружности (при   длины радиус-векторов взаимно обратные:

).

 Для взаимной однозначности  преобразования предполагают, что  точка О отображается в некоторую  "бесконечно удаленную точку"  плоскости. Преобразование инверсии  называется также зеркальным отражением в окружности.

Это преобразование не является линейным (и, следовательно, аффинным). В самом деле, выберем прямоугольную систему координат   , начало которой совпадает с центром данной окружности. Выразим прямоугольные координаты     образа    через координаты    прообраза  . Записывая равенство  в  координатной форме, получаем:

что отличается от (2.11), так как зависимость нелинейная.

Замечания 1.3

1. Справедливо утверждение: любое аффинное преобразование плоскости можно представить в виде композиции, движения и двух сжатий (во взаимно перпендикулярных направлениях).

2. В пункте 3 замечаний 2.4 показано, что изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию. Например, при повороте плоскости на угол    вокруг начала системы координат   (рис.2.25,а) координаты точек меняются так же, как при повороте системы координат    на угол, равный  , т.е. при переходе к системе координат   (рис.2.25,б).

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II. Применение аффинных преобразований к решению задач.

Задача №1. В прямоугольной системе координат   на плоскости заданы векторы     и точки 

Требуется найти:

а) матрицу перехода     от стандартного базиса    к базису  ;

б) ориентацию базиса  ;

в) матрицу перехода    от стандартного базиса    к базису   ;

г) матрицу перехода   от базиса    к базису   ;

д) координаты вектора   в базисе  ;

е) координаты точки   в системе координат  .

Дано:                                   ПСК   

 

Найти:          а) матрицу перехода     от стандартного базиса     к базису  ;

б) ориентацию базиса  ;

в) матрицу перехода     от стандартного

 базиса    к базису   ;

г) матрицу перехода   

от базиса    к базису   ;

д) координаты вектора   в базисе  ;

е) координаты точки   в системе координат  .

Решение:

а) Составляем искомую  матрицу  , записывая координаты векторов   по столбцам:    .

б) Определитель найденной  матрицы   положительный: , поэтому базис   ориентирован также как стандартный, т.е. является правым.

в) Составляем искомую  матрицу  , записывая координаты векторов   (в указанном порядке) по столбцам: .

г) Учитывая свойство 2, матрицей перехода от базиса   к базису   служит матрица, обратная для   :

д) Вектор   является радиус-вектором точки  , поэтому известны его координаты   в стандартном базисе   . Составим координатный столбец   вектора   в стандартном базисе. Координатный столбец   этого вектора относительно базиса    связан с его координатным столбцом   формулой  ,  следующей из свойства 2 матрицы перехода. Учитывая пункт "г", вычисляем

, то есть  .

е) Составляем координатный столбец   , вектора   (радиус-вектор точки  ) и записываем связь (2.8):

Решая эту систему, находим  координаты   точки   в системе координат  .

Задача №2. В прямоугольной системе координат   заданы точки:

Требуется вывести формулы (2.11) аффинного преобразования   , отображающего точки    в точки  , и найти координаты образа   точки  :

а) в системе координат ;

б) в заданной прямоугольной  системе координат.

Дано:    – прямоугольная

системе координат

т. Q(2,1)

т. A(6,4)

т. B(-2,4)

т. X(2,7)

т. Q’(10,3)

т. A’ (10,5)

т. B’ (6,6)

Вывести: формулу аффинного  преобразования А;

Найти: координаты образа Y=A(X) точки Х

а) в системе координат ;

б) в заданной ПСК

Решение:

а) Искомое преобразование   отображает систему координат    в систему координат   , где   ,  . Формулы, задающие такое преобразование  , имеют вид (2.15), где   — координатный столбец вектора  в базисе  , а   — матрица перехода от базиса    к базису   .  По рисунку учитывая, что   и    определяем разложения векторов    по базису   :

Следовательно, в системе координат   преобразование (2.15) имеет вид:

поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов   в базисе  .

Найдем координаты образа точки  . В системе координат   точка   имеет координаты   , так как   . Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координаты образа:

Заметим, что в новой  системе координат     точка     имеет координаты   , которые совпадают с координатами точки     в старой системе координат  .

б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем:

Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем:

  и т.е.

Решая эту систему, находим элементы матрицы , после чего определяем  столбец   . Таким образом, искомое преобразование   в заданной прямоугольной системе координат имеет вид:

Найдем координаты образа точки  :

т.е.   .

Получим теперь формулы аффинного преобразования   в системе координат  , используя связи (2.12). Учитывая, что переход от прямоугольной системы координат    системе координат    определяется матрицей    столбцом   поскольку   ,    ,   находим

 

 

 

что совпадает с результатами пункта "а".

Задача №3. Пусть на плоскости задана окружность. В результате прямого сжатия плоскости к прямой    с коэффициентом   в направлении, перпендикулярном  , окружность преобразуется в кривую, называемую эллипсом, а центр окружности — в центр эллипса. При этом образом каждого диаметра окружности служит диаметр эллипса, т.е. хорда, проходящая через центр эллипса.

Доказать, что:

а) для любого данного  диаметра     эллипса существует единственный диаметр   , который делит пополам все хорды, параллельные данному диаметру;

б) существуют два взаимно  перпендикулярных диаметра эллипса, называемых его главными осями.

 

 

 

Дано:        окружность (О, ОА)

Коэффициент сжатия   

Доказать: а) для любого данного  диметра    эллипса существует единственный

диаметр, который делит пополам

все хорды, параллельные

 данному диаметру;

б) существуют два взаимно 

перпендикулярных диаметра