Аффинные преобразования плоскости, их свойства и применение

эллипса, называемых его 

главными осями.

Решение:

Для решения задачи используем два свойства аффинного преобразования: параллельные отрезки отображаются в параллельные отрезки; середина отрезка  отображается в середину образа этого  отрезка:

а) Сформулированное в пункте "а" свойство диаметров очевидно для окружности (рис. а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

Рассмотрим эллипс (рис. б) как образ окружности при сжатии плоскости к прямой  , проходящей через центр   окружности. Сжатие происходит вдоль прямой   , перпендикулярной  , при этом точка   остается неподвижной. Пусть   — диаметр эллипса (центр   эллипса — середина  ), а   — его прообраз, который является диаметром окружности (поскольку центр   окружности — середина  ). Рассмотрим хорды окружности, параллельные диаметру  . Геометрическим местом середин этих хорд является диаметр   окружности (рис. а), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. При сжатии параллельные хорды окружности преобразуются в параллельные хорды эллипса, а диаметр   окружности преобразуется в диаметр   эллипса. Поскольку середина любого отрезка при аффинном преобразовании переходит в середину образа этого отрезка, то диаметр   будет делить пополам все хорды эллипса, параллельные диаметру  . Существование диаметра с указанными свойствами доказано. Единственность следует из единственности перпендикулярного к   диаметра   окружности. Конечно, перпендикулярность диаметров     и   окружности, вообще говоря, не сохраняется для диаметров    и   эллипса, так как при сжатии плоскости углы, в общем случае, изменяются. Аналогично можно показать, что для данного диаметра    существует единственный диаметр  , который делит пополам все хорды, параллельные  . Два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. В данном случае сопряженными являются диаметры   и  . Заметим, что описанное свойство очевидно для взаимно перпендикулярных диаметров окружности: любые два взаимно перпендикулярных диаметра окружности являются сопряженными, например    и  .

б) Выберем диаметр   эллипса, перпендикулярный прямой   (рис.в). Этот диаметр является образом диаметра  окружности, который также перпендикулярен прямой  . Диаметр   окружности, перпендикулярный, а значит, сопряженный (см. пункт "а"), диаметру  , лежит на прямой  . Поскольку все точки прямой   при сжатии к ней отображаются в себя, то диаметр  окружности является также диаметром эллипса (см. пункт "а"), сопряженным для  . Таким образом, диаметры   и   эллипса взаимно перпендикулярны.

Задача №4.  Рассматривая эллипсоид как образ сферы при композиции двух сжатий пространства к плоскостям (вдоль взаимно перпендикулярных направлений), доказать, что существуют три взаимно перпендикулярных диаметра эллипсоида, которые называются его главными осями.

 

Дано:                         сфера 

_________________

Доказать: существуют три взаимно перпендикулярных

диаметра эллипсоида,

которые называются

его главными осями.

 

 

 

 

 

Решение: 

Сформулированное свойство очевидно для диаметров сферы (рис.а). Пусть    — три взаимно перпендикулярных диаметра сферы. Выполним сжатие пространства с коэффициентом   к плоскости, проходящей через прямые   и  . При этом отрезок   преобразуется в диаметр   эллипсоида, а диаметры   и   останутся без изменений (рис.б). Если выполнить второе сжатие с коэффициентом    к плоскости (рис.в), проходящей через диаметры    и  , то диаметр    преобразуется в диаметр   , а диаметры    и   останутся без изменений. В результате получим три взаимно перпендикулярных диаметра    и   эллипсоида.

Задача №5 Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2.25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов 

 

 

Дано:              ▲ABC 

AB ||A₁B₁

BC|| B₂C₂

AC||A₂C₁

S_{OC1 C2}=1

S_OB1B2=2.25

S_OA1A2=4

Найти:  S_OC2BA1+S_AC1OB1+S_OB2CA2=?

Решение:

1. Проверим аффинные  свойства фигуры. Треугольник является аффинной фигурой, параллельность также относится к аффинным свойствам. Так как известны площади, можно найти их отношение, которое будет сохраняться при аффинных преобразованиях.

2. Пусть даны два  треугольника: произвольный и равносторонний. Решить задачу на равностороннем треугольнике намного проще. Возьмем аффинное отображение, переводящее произвольный треугольник в равносторонний.

Решаем задачу на равностороннем.

Треугольники, получившиеся внутри нашего равностороннего, являются подобными (по 2 углам). Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, обозначим  - их стороны. Тогда   и b=1,5a, аналогично   и  . Сторона нашего равностороннего треугольника будет равна   . Его площадь можно найти, например, по формуле  . Чтобы найти сумму площадей параллелограммов, надо из общей площади треугольника вычесть сумму площадей всех треугольников  .

По свойствам аффинных отображений решение справедливо и для произвольного треугольника.

 

 

Задача №6. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 

Дано: ▲ABC 

Доказать: BM:MM₂=2:1

AM:MM₁=2:1

CM:MM₃=2:1

 

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник  ABC.

2. Проверим аффинные  свойства фигуры. Треугольник (по  замечанию 1) является аффинной  фигурой, быть медианой - это тоже  аффинное свойство и отношения длин отрезков также сохраняется при аффинном отображении.

3.  Значит, можно перейти  к более удобной фигуре - равностороннему  треугольнику.

4.  Возьмем равносторонний  треугольник  . У этого треугольника медианы  , пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно,  и  . А отношение  из прямоугольного треугольника  . Значит,  .

5.  Зададим аффинное  отображение, переводящее треугольник   в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника   переходят в медианы треугольника  АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы произвольного треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

Что и требовалось доказать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В данной работе изучены  аффинные преобразования, и их приме-нение  при решении задач.

В работе представлена общая  теория для аффинных преобразований плоскости, а также их свойства и  примеры (движение, гомотетия, сжатие  с коэффициентом  , Отражением плоскости в прямой   параллельно пересекающей ее прямой  , инверсия плоскости). После теоретического материала предложены задачи, которые решаются с помощью аффинных преобразований.

Для рассмотренного аффинного  преобразования изучены его простейшие свойства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Базылев В. Т. Геометрия.Учебное пособие для студентов I курса/В. Т. Базылев–М.:  Просвещение, 1974. – 353 с
2. Готман Э.Г. Решение геометрических задач аналитическим методом/ Э.Г. Готман; З.А. Скопец – М.: Просвещение, 1979.- 75 с
3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебное пособие/ Н. В.  Ефимов – М.: физматлит., 2005. – 326 с
4. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов – М.: Наука, 1968. – 567 с

 

5. Яглом И. М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. (1 часть). 1962

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ