Метод вспомогательных секущих сфер

Метод вспомогательных  секущих сфер

Основу способа  вспомогательных секущих сфер составляют особенности взаимного пересечения  так называемых <соосных поверхностей вращения>. К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, то есть несколько поверхностей имеют одну и туже ось вращения.

Нетрудно видеть, что две соосные поверхности пересекаются друг с другом по окружностям (рис. 23). Причем количество окружностей пересечения двух соосных поверхностей равно числу точек пересечения меридианов этих поверхностей.

Рис. 23.

Действительно, если одна из поверхностей образована вращением меридиана l(l₂), а другая — меридиана D(D₂), представляющего в данном случае окружность, вокруг общей оси i(i₂), то точки A, B, C и K будут описывать окружности, общие для обеих поверхностей. При этом, если общая ось i поверхностей вращения перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, то эти окружности проецируются на одну из них в виде отрезков, соединяющих точки пересечения меридианов и перпендикулярных оси вращения, а на другую — без искажения в окружности.

Эти особенности  взаимного пересечения двух соосных поверхностей вращения, одна из которых является сферой, и составляют основу способа вспомогательных секущих сфер.

Сущность применения способа вспомогательных секущих  сфер для построения линии взаимного  пересечения двух поверхностей вращения состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается одной  и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной  сферы с каждой из заданных поверхностей вращения образуются окружности. Точки  пересечения полученных окружностей  являются общими для обеих поверхностей вращения и поэтому принадлежат  линии взаимного пересечения  этих поверхностей. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь общую  плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство  окружностей, по которым ее могут  пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей.

В зависимости  от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности  способа вспомогательных секущих  сфер.

Если оси поверхностей пересекаются, то применяется способ вспомогательных концентрических  секущих сфер, то есть сфер, проведенных  из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения  осей вращения заданных поверхностей. 

Если же оси  поверхностей параллельны друг другу  или являются скрещивающимися, то применяется  способ вспомогательных эксцентрических  сфер. В этом случае вспомогательные  секущие сферы проводят из разных центров.

Рассмотрим особенности  применения разновидностей способа  вспомогательных секущих сфер для  построения линии взаимного пересечения  поверхностей вращения.

Метод вспомогательных  секущих концентрических  сфер

Выше отмечалось, что способ вспомогательных концентрических  секущих сфер применяется в том  случае, если заданные поверхности  вращения удовлетворяют следующим  условиям:

1. Обе заданные поверхности являются поверхностями  вращения;
2. Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций;
3. Оси заданных поверхностей пересекаются.

В качестве поверхностей-посредников  используют концентрические сферы, то есть сферы, проведенные из одного общего центра.

На чертеже (рис. 24) пересекаются прямой (вертикальный) и наклонный (горизонтальный) конусы вращения. Требуется построить проекции линии взаимного пересечения  этих поверхностей вращения.

Рассматривая  положение заданных поверхностей, устанавливаем, что выполняются три вышеуказанных  условия, а именно:

1. Оба конуса являются поверхностями вращения;
2. Оба конуса имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций;
3. Оси конусов располагаются в их общей плоскости проекций и пересекаются в точке O(O₁;O₂).

Таким образом, имеются все условия для применения в данном случае способа концентрических  секущих сфер.

Построение проекций кривой пересечения ведется в  следующей последовательности:

1. Начинают построение  с определения на чертеже (рис. 24) положения проекций опорных  точек — экстремальных точек  и точек видимости. Из анализа  расположения фигур следует, что  их главные меридианальные плоскости совпадают, а поэтому точки 2₂ и 1₂ пересечения главных меридианов являются общими для обеих поверхностей и относятся к опорным точкам кривой пересечения. Горизонтальные проекции 2₁ и 1₁ точек располагаются на горизонтальном следе главной меридианальной плоскости, совпадающей с плоскостью симметрии фигур. При этом точка 1(1₁;1₂) является высшей, а точка 2(2₁;2₂) — низшей точками кривой пересечения. Обратите внимание на то, что горизонтальная проекция 2₁ точки 2 заключена в круглые скобки, то есть является невидимой. Это говорит о том, что не все точки кривой пересечения будут видимыми на горизонтальной плоскости проекций. На видимость горизонтальных проекций точек кривой пересечения влияет расположение горизонтального конуса вращения (рис. 24). Доказано, что горизонтальная секущая плоскость Σ, проведенная через ось вращения горизонтального конуса i₂¹, делит его поверхность на две части: видимую и невидимую по отношению к горизонтальной плоскости проекций. Пересечение горизонтальных проекций фигур сечения заданных конусов плоскостью Σ позволяет найти на чертеже положения точек 3(3₁;3₂) и 4(4₁;4₂), являющихся точками видимости кривой пересечения. Справа от точек 3₁ и 4₁ горизонтальная проекция кривой будет видимой, а слева — невидимой. С другой стороны, точка 3 является самой близкой, а точка 4 — самой дальней по отношению к наблюдателю точками кривой. Фронтальные проекции 3₂ и 4₂ этих точек совпадают, так как относительно главной меридианальной плоскости эти точки кривой являются симметричными.

Точки 1, 2, 3 и 4 являются опорными.

Рис. 24.

2. Определяют  положение на чертеже проекций  некоторого количества регулярных  точек кривой пересечения. Для  этого применяют способ вспомогательных  концентрических секущих сфер.

Центром проведения вспомогательных секущих сфер является точка O₂  пересечения фронтальных проекций осей вращения конусов. Напомним, что сущность применяемого способа состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается вспомогательной соосной сферой. Поэтому возникает задача определения значений минимального и максимального радиусов сферы пересекающихся с каждым из конусов. Для определения значений минимального радиуса секущей сферы на фронтальной плоскости проекций из центра O₂  опускают перпендикуляры, представляющие собой радиусы окружностей, вписанных в главные меридианы (очерковые треугольники) конусов (рис. 25). В качестве минимального радиуса сферы принимают наибольший из радиусов вписанных окружностей. Только в этом случае соблюдается условие пересечения одной сферой каждой из поверхностей вращения. Действительно, сфера, проведенная радиусом, равным наибольшему радиусу вписанной окружности, будет касаться одной из поверхностей, а с другой — пересекаться.

Если же в  качестве минимального радиуса принять  наименьший радиус вписанной окружности, то одна из поверхностей вращения с  такой сферой вообще не пересечется.

Максимальный  радиус сферы R_max (рис. 25) равен расстоянию от центра сфер O₂  до наиболее удаленной точки 2₂ пересечения главных меридианов конусов — очерковых треугольников.

Рис. 25.

Установив значения минимального и максимального радиусов сфер R_min и R_max, проводят первую сферу радиусом равным, например, значению минимального радиуса R_min (рис. 26). Каждая из поверхностей вращения пересекается с соосной сферой по окружности. При заданном расположении фигур на чертеже фронтальные проекции окружностей представляют собой  отрезки прямых: 15₂ и 15₂ — для вертикального конуса, и 16₂ — 16₂ — для горизонтального конуса, соединяющих точки пересечения главных меридианов (очерковых треугольников) каждого из конусов с главным меридианом (очерковой окружностью) вспомогательной секущей сферы (рис. 26).

Рис. 26.

Точки пересечения  отрезков 15₂ — 15₂ и 16₂ — 16₂ представляют собой фронтальные проекции 5₂ и 6₂ двух конкурирующих точек 5 и 6, принадлежащих одновременно сфере и каждой из заданных поверхностей вращения. Поэтому точки 5 и 6 относятся к регулярным точкам кривой взаимного пересечения вертикального и горизонтального конусов. Подобным образом определяется положение на чертеже некоторого количества фронтальных проекций регулярных точек кривой пересечения (рис. 27). Для этого проводят концентрические сферы из центра O₂ произвольными радиусами, меньшими максимального R_max и большими минимального R_min.

С помощью вспомогательных  секущих сфер, проведенных радиусами R₂¹ и R₂² (рис. 27), определены положения четырех фронтальных проекций 7₂, 8₂, 9₂ и 10₂ регулярных точек кривой пересечения.

Рис. 27.

Затем приступают к построению горизонтальных проекций построенных на плоскости Π₂ регулярных точек (рис. 28). Эти построения производятся на основании эпюрного признака принадлежности точек одной из поверхностей вращения.

Рис. 28.

Так как построенные  точки кривой пересечения 1 — 10 принадлежат  обеим поверхностям вращения, то они  принадлежат и одной из них  — вертикальному конусу. Тогда  на фронтальной плоскости проекций внутри контура главного меридиана (очеркового треугольника) вертикального  конуса через точки 5₂=(6₂), 7₂=(8₂) и 9₂=(10₂) проводят отрезки прямых, перпендикулярные оси вращения i₂^в вертикального конуса. Эти отрезки являются фронтальными проекциями параллелей, проходящих через точки 5, 6, 7, 8, 9, 10 на поверхности вертикального конуса. Построив горизонтальные проекции этих параллелей, с помощью линий связи, опущенных из точек 5₂ — 10₂, определяют на них положения горизонтальных проекций 5₁ — 10₁ регулярных точек кривой пересечения конусов.

3. После определения  на чертеже проекций опорных  точек и некоторого количества  регулярных точек кривой пересечения  соединяют плавной кривой линией (обычно по лекалу) одноименные  проекции этих точек с учетом  их видимости на чертеже. Таким  образом, получают фронтальную  и горизонтальную проекции кривой  пересечения вертикального и  горизонтального конусов вращения.

Метод вспомогательных  секущих эксцентрических  сфер

На рис. 29 представлены фронтальные проекции пересекающихся поверхностей вращения: усеченного конуса и тора (кольца). Поверхности имеют  общую главную меридианальную плоскость, являющуюся одновременно и плоскостью симметрии фигур. Поэтому фронтальные проекции поверхностей вращения представляют собой их главные меридианы. Оси вращения поверхностей являются скрещивающимися прямыми, причем ось вращения усеченного конуса i^к является профильно-проецирующей прямой, а ось вращения тора i^т — фронтально-проецирующей прямой. Задача ограничена построением только фронтальной проекции линии взаимного пересечения поверхностей.

Рис. 29.

Использовать  способ вспомогательных секущих  плоскостей и способ концентрических  сфер для определения положения  на чертеже проекций точек кривой взаимного пересечения поверхностей невозможно. Так при пересечении  заданных на чертеже поверхностей вращения, например, общей плоскостью в сечении  получаются графически сложные кривые линии при любом ее положении. Способ же концентрических секущих  сфер здесь не применим, так как  оси вращения фигур не пересекаются. Поэтому используем способ эксцентрических  секущих сфер. Этот способ предопределяет необходимость выявления наличия для каждой из поверхностей вращения соосной секущей сферы (рис. 30).

Рис. 30.

Для поверхности  усеченного конуса определение положения  соосной сферы следует из определения соосности двух поверхностей вращения — сфера соосна с конической поверхностью в том случае, когда центр сферы располагается непосредственно на оси вращения конуса. Только в этом случае в пересечении указанных поверхностей образуется окружность. Положение сферы соосной с поверхностью тора (рис. 31) устанавливают следующим образом.

Рис. 31.