Многогранники

Подводя итоги выше сказанного, можно сказать, что во всех учебниках при изучении многогранников рассматривается практически одни и те же основные темы: определение многогранника, выпуклые многогранники, призма, пирамида, правильные многогранники. Разница лишь в глубине изучения этих вопросов: в гуманитарных классах  тема изучается более поверхностно, практически без доказательств, в классах с углубленным изучением математики  данный вопрос рассматривается глубоко, с научными обоснованиями. Также есть различия в некоторых дополнительных темах, например, полуправильные и звездчатые многогранники рассматриваются только в . В настоящее время во многих общеобразовательных школах идет обучение по учебнику [4], поэтому при выборе содержания можно опираться на него.

Глава 2.

Виды и роль наглядных средств при  изучении многогранников.

Тема «Многогранники», как никакая другая тема школьного курса стереометрии, за исключением, быть может, изучения круглых тел, дает широкие возможности использования различных наглядных средств.

Наглядность является обязательным качеством любого обучения. Путем целенаправленных действий мы формируем в созна­нии учащегося некоторую систему понятий, отношений между ними. Для того чтобы обучение было успешным, необходимо, чтобы ученик мог воспринимать эту систему и работать с ней. Но для этого, в свою очередь, необходимо предъявить ученику некоторую ее материальную модель. Для этого применяют наглядные средства обучения. Например, если изучается понятие пирамиды, то такой моделью может быть: 1) словесное описание (определение) этого понятия; 2) объемная модель пи­рамиды (каркасная или сплошная); 3) ее развертка; 4) изображе­ние пирамиды или ее развертки на доске, на бумаге, на экране и т. п.  Все перечисленные объекты являются материальными мо­делями, с той или иной стороны отражающими понятие пирамиды.

Основными наглядными средствами при изучении многогранников являются объемные модели. Такие модели, сделанные из разных материалов, соответствуют различным дидактическим целям.

Так, например, с помощью картонной модели можно показать форму многогранника. Также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела. Но из-за непрозрачности картона уже нельзя использовать картонные многогранники для демонстрации сечения тел и тел, вписанных друг в друга.  Стеклянные мо­дели рекомендуется использовать в тех случаях, когда необходимо показать в много­граннике сечение или другое вписанное в него геометрическое тело. Деревянные модели отличаются прочностью. Проволочные каркасные модели также находят широкое применение на уроках стереометрии. Они позволяют показать виды, элементы и про­екцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бума­ги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел. Такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Можно перечислить серии каркасных моделей, которые могут быть использованы на уроке: набор моделей правильных призм и пирамид (полных и усечен­ных), набор моделей четырехугольных пирамид, вершины которых проектируются в точку пересечения диагоналей основания (кроме основного контура, модель должна иметь высоту, диагональ основания и высоты боковых граней), набор моделей на комбинации многогранников.

Выпускаемые промышленностью модели не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обуче­нии школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к из­готовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют не­обходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усовер­шенствования, учитель привлекает учащихся к изготовлению нового ва­рианта модели. Это содействует по­лучению учащимися более глубоких и прочных знаний, умений применять теоретический материал на практике. Модели как фабричного, так и самодельного изготовления мо­гут быть использованы при введении новых понятий и доказательстве тео­рем, при решении задач, при выпол­нении практических и лабораторных работ.

Другим удобным видом учебного оборудования являются резиновые штем­пели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фи­гур, графиков, таблиц и т. д. К сожалению, такое средство обучения сейчас редко встречается в школе. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей недолжно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фи­гуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных кон­трольных заданий. Можно, например, заготовить 35-40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, про­ставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Также при изучении многогранников  можно использовать различные рабочие и справочные таблицы. Рабочие таблицы - это такие таблицы, по материалу которых можно организовать активную мыслительную деятельность учащихся как по усвоению нового теоретического материала, так и по его за­креплению. С помощью рабочих таблиц возможно осуществить вы­полнение большого числа упражнений, способствующих выработке и закреплению у учащихся определенных навыков, можно проводить опрос учащихся или создать проблемную ситуацию перед всем клас­сом. Например, при ведении понятия «пирамида» можно использовать таблицу с изображением пирамиды, ее основных элементов и частных видов. В отличие от рабочих таблиц справочные таблицы, т.е. таблицы для запоминания, предназначены для длительного воздействия на зри­тельный аппарат учащегося. Такие таблицы могут быть вывешены в кабинете математики на длительное время. Таким образом, основным свойством справочных таблиц является  (помимо наглядности, которая в ряде случаев играет важную роль) их дидактическая направлен­ность. Таблицы эти предназначены для принудительного воздействия на память учащегося с целью запоминания основных фактов, формул, графиков и др. Примером таких таблиц может служить таблица «Вычисление площадей и объемов многогранников», в которой изображены различные виды многогранников и указаны формулы вычисления объема и площади поверхности для каждого вида.

Большие возможности воспитания само­стоятельности и активности открываются при использовании тетрадей с печатной ос­новой. В настоящий момент они все чаще появляются в школах. Тетради с печатной основой предназначаются для организации самостоя­тельной работы на этапе закрепления и пов­торения пройденного материала. Основная отличительная особенность тетради в том, что она позволяет более рационально исполь­зовать учебное время, так как ученики освобождаются при работе с тетрадью от механического переписывания текста заданий и основное внимание сосредоточивают на выполнении заданий, включенных в тетрадь. Как правило, такие тетради чаще используются в младших классах. Тетради с печатной основой включают большое число заданий. Цель заданий различна. Задания могут дать ученику образец способа рассуждений, решения, данные в тетради, могут содержать пропуски в тексте, которые ученики должны заполнить при работе с тетрадью (причем пропущены не случайные слова, а такие, которые заставляют ученика лишний раз обратиться к определениям, задуматься над последовательностью операций). Итак, тетрадь с печатной основой дает возможность отрабатывать понятия и прививать учащимся навыки решения типовых задач.

Нередко наглядные средства рассматривают лишь как временную опору при начальном усвоении знаний. Сторонники такой оценки роли наглядных средств полагают, что модели в этом случае приучают учащихся к очевидности и поэтому не способствуют развитию логического мышления. Выдви­гается даже дидактическое правило: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики. Принять такую точку зрения и вытекающее из нее дидактическое правило нель­зя, так как они несостоятельны. Правильно понимаемое применение наглядных средств не только уместно, но и необходимо на всех ступе­нях обучения.             

Таким образом, чтобы некоторая материальная модель позво­ляла организовать усвоение того или иного понятия, она должна не только правильно его отражать, но и быть простой для восприя­тия учащихся.

Глава 3. Опорные задачи при изучении темы «Многогранники»

§1.Задачи по теме «Призма».

Для простоты введем обозначения. Буквами а, b, c обозначим соответственно длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, бук­вой d - длину диагонали основания. Прописные буквы Н, D и P соответствуют высоте, длине наибольшей диагонали призмы и периметру ее ос­нования, а буквы s, Q , Sб и Sn - площадям: s – основания, Q - диагонального сечения, Sб - боко­вой поверхности, Sn - полной поверхности приз­мы. Четырехугольная призма.

              Перед решением задач и следует повторить формулы для вычисления элементов куба со сторо­ной a:

, , , .

1.Ребро куба равно 4см. Найдите: диагональ гра­ни; диагональ куба; периметр основания; площадь грани; площадь диагонального сечения; площадь поверхности куба; площадь полной поверхности; объем куба.             

Решение.

длина диагонали;

диагональ куба;

площадь основания;             

площадь диагонального сечения;

площадь полной поверхности;

объем куба;

периметр основания;

Треугольная, шестиугольная и n-угольная призмы.

Перед решением задач целесообразно повторить формулы; Sб = РН и    Sп = 2Sб + 2s для произволь­ной призмы, а также формулы:

Р = 3а, s = - для правильной треугольной и

Р = 6а, s = -для правильной шестиуголь­ной призмы со стороной основания а.

2.Расстояния между боковыми ребрами наклон­ной треугольной призмы равны: 2 см, 3 см и 4 см. Боковая поверхность призмы - 45 см. Найдите ее боковое ребро.              ­

Решение.

В перпендикулярном сечении призмы - треугольник (рис. 1), периметр которого 2 + 3 + 4 = 9 (см), поэтому боковое ребро равно 45 : 9 = 5 (см).

3. Вычислите площадь боковой поверхности пра­вильной треугольной призмы, если известно, что площадь сечения, проходящего через средние ли­нии оснований, равна 25 (см.)

Решение.

В сечении - прямоугольник, у ко­торого одна сторона равна боковому ребру, а дру­гая - половина стороны основания (рис. 2). Следо­вательно, его площадь в 2 раза меньше площади бо­ковой грани. Итак, площадь боковой грани 50 см, а боковой поверхности  50 ∙ 3 = 150 (см).

4. Можно ли куб с ребром в 7 см оклеить лис­том бумаги в виде прямоугольника шириной14 см и длиной в 21 см?

Решение.

Для оклейки нужны 6 квадратов со стороной 7 см. Данный прямоугольник разрезать на два со сторонами  7 см и 21 см, а потом каж­дый из них - на три квадрата со стороной 7 см. Получим 6 нужных квадратов, которыми можно оклеить куб.              ­

5. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.

Доказательство.

В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.

§2. Задачи по теме «Пирамида».

1.Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко­вого ребра к плоскости основания.

Решение.

Пусть OR=h, тогда OS=2h. Треугольник SRO- прямоугольный. Тогда , , .

2. В правильной четырехугольной пирамиде бо­ковое ребро равно 20 см, оно составляет с основа­нием угол 45°. Определите расстояние от центра основания до бокового ребра.

Решение.

Искомое расстояние d равно длине высоты, опущенной из вершины равнобедренного прямоугольного треугольника на гипотенузу, которой является боковое ребро, d = 10 см.

              3. Какое основание может иметь пирамида, у которой все ребра равны?

Решение.

Плоские углы при вершине пира­миды равны 60°, так как каждая боковая грань - ­равносторонний треугольник. Следовательно, бо­ковых граней меньше, чем 360°: 60° = 6. т.е. в основании может быть равносторонний треуголь­ник, квадрат или пятиугольник.

24