Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Апреля 2013 в 11:21, задача
Задача 1. Шар касается всех ребер куба. Считая ребро куба равным а, найдите длину пересечения поверхности шара с поверхностью куба.
Решение. Для того чтобы существовал шар, касающийся всех ребер призмы, необходимо и достаточно, чтобы призма была правильной и все ее ребра были равными между собой.
Задача 1. Шар касается всех ребер куба. Считая ребро куба равным а, найдите длину пересечения поверхности шара с поверхностью куба.
Решение. Для того чтобы существовал шар, касающийся всех ребер призмы, необходимо и достаточно, чтобы призма была правильной и все ее ребра были равными между собой.
В нашем случае призма является кубом и поэтому шар, касающийся всех ребер куба, существует.
Заметим, что центр шара является и центром куба. Рассмотрим диагональное сечение. Пусть R – радиус шара. Очевидно, что в условиях нашей задачи диагональ основания куба равна , следовательно, радиус шара
Наружу куба выходят 6 сегментов шара. Длина пересечения поверхности шара с поверхностью куба представляет собой сумму 6 длин окружностей с радиусом
Искомая длина
Ответ:
Задача 2. Основание прямой призмы АВСDА1В1С1D1 – ромб АВСD, BD = 10. Высота призмы равна 25. Сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину А перпендикулярно ВD1, является основанием пирамиды, вершина Т которой лежит на ребре DD1, DТ:ТD1 = 2:3. Найдите объем пирамиды.
Решение. Заметим, что из пропорции DТ:ТD1 = 2:3 и того, что высота призмы равна 25, следует:
Построим сечение, указанное в условии задачи. Сначала проведем сечение через вершину A перпендикулярно большой диагонали BD1. Из симметрии ясно, что сечение будет проходить через вершину C. Опустим в плоскости диагонального сечения DD1B1B из точки O – пересечения диагоналей ромба АВСD, перпендикуляр ОK к BD1. Важно понять, пересечет ли он ребро BB1.
Тангенс угла B1OB легко найти, а угол наклона α проводимого перпендикуляра к плоскости основания равен углу DD1B и его тангенс также нетрудно вычислить:
Это означает, что точка F пересечения с прямой BB1 попадет на ребро BB1. Сечение построено – это треугольник ACF. Еще раз проверим: BD1 ┴ AC, так как проекция BD1 на плоскость основания – диагональ ромба BD, перпендикулярна другой диагонали AC. По построению OF ┴ BD1. Следовательно, построенный треугольник содержит две пересекающиеся прямые (AC и OF), перпендикулярные BD1.
Теперь обратимся к пирамиде TAFC, объем которой нужно найти. Можно ограничиться ее «половиной» – пирамидой TOFC. Надо выбрать, какую ее грань принять за основание, а что тогда считать высотой.
Так как диагональ CA перпендикулярна плоскости диагонального сечения DD1B1B, то напрашивается взять C в качестве вершины, а треугольник TОF в качестве основания.
В этом случае легко считается высота . Действительно, в прямоугольном треугольнике COB известна гипотенуза и один катет.
CO2 = CB2 – OB2 = 61 – 25 = 36; CO = 6.
Теперь будем вычислять площадь треугольника OTF. По-видимому, проще всего взять за основу трапецию DTFB и отнять от нее два понятных по расположению треугольника – OTD и OFB.
Заметим, что ОВ = 5, а нетрудно вычислить.
Легко подсчитать, что и Отсюда
Площадь трапеции DTFB равна
Итак,
Находим объем пирамиды TOFC:
Полный искомый объем V равен 120.
Ответ: 120.
Задача 3. В шар вписан цилиндр, высота которого составляет половину диаметра шара. Найдите отношение объемов фигур, на которые поверхность цилиндра делит шар.
Решение.
Пусть r – радиус основания цилиндра, H – высота цилиндра, R – радиус шара. Выразим радиус основания цилиндра через радиус шара. Построим диагональное сечение ABD шара. По условию задачи H = R, следовательно, равносторонний. Тогда
Объем шара вычисляется по формуле
Объем цилиндра вычисляется по формуле
Находим отношение объемов фигур, на которые поверхность цилиндра делит шар (фигурами являются внутренняя часть цилиндра и часть шара без цилиндра):
Ответ: .