Золотое сечения

Содержание

1. Введение

2. История золотого сечение

3. Золотое сечение в нашей жизни

4. Заключение 

5. Библиография 

 

1. Введение

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия  владеет двумя сокровищами –  теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Теорему Пифагора знает каждый школьник, а что такое золотое сечение - далеко не все.

Человек различает окружающие его  предметы по форме. Интерес к форме  какого-либо предмета может быть продиктован  жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетания симметрий и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармоний. Целое всегда состоит из частей, части равной величины находятся в определенном отношений друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - выше проявление структурного и функционального совершенства целой его частей в искусстве, науке, технике и природе.

 В своей работе я хочу  показать, что знания золотого  сечения способствует наилучшему  восприятию окружающей нас живой  и не живой природы 

 Исходя из этого, гипотеза – благодаря золотому сечению наш мир – пропорционален.

   Цели и задачи:

1 Дать понятию «золотому сечению»

2 Взаимосвязь с окружающим миром

3 Показать взаимосвязь математики и искусства

4. Рассмотреть роль пропорциональности отрезков в окружающем нас мире

 Метод исследования - Экспериментальный.

 

             

2. История ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Принято считать, что понятие о  золотом делении ввел в научный  обиход Пифагор, древнегреческий  философ  и математик(VI в. до н. э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробниц Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье  нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксирована пропорции золотого деления. Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрата Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

  Платон  (427…347 гг. до н.э.) также  знал о золотом делении. Его  диалог «Тимей» посвящен математическим  и эстетическим воззрениям школы  Пифагора и, в частности, вопросам  золотого деления. В фасаде  древнегреческого храма Парфенона  присутствуют золотые пропорции.  При его раскопках обнаружены  циркули, которыми пользовались  архитекторы и скульпторы античного  мира. В Помпейском циркуле (музей  в Неаполе) также заложены пропорции  золотого деления.

  В дошедшей до нас античной  литературе золотое деление впервые  упоминается в «Началах» Евклида.  Во 2-ой книге «Начал» дается  геометрическое построение золотого  деления. После Евклида исследованием  золотого деления занимались  Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. до н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делениям познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.)сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только  посвященным.

  В эпоху Возрождения усиливается  интерес к золотому делению  среди ученых и художников  в связи с его применением,  как в геометрии, так и в  искусстве, особенно в архитектуре.

  Лука Пачоли прекрасно понимал  значение науки для искусства.  В 1509г. в Венеции была издана  книга Луки Пачоли «божественная  пропорция» с блестящими иллюстрациями.  Эта книга была восторженным  гимном золотой пропорции. Среди  многих достоинств золотой пропорции  монах Лука Пачоли не преминул  назвать и ее «божественную  суть» как выражение божественного  триединство бог сын, бог отец  и бог дух святой ( подразумевалось,  что маленький отрезок есть  олицетворение бога сына, больший  отрезок- бога отца, а весь отрезок-  бога духа святого).

 Леонардо да Винчи также  много внимания уделял изучению  золотого деления. Он производил  сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками,  и каждый раз получал прямоугольники  с отношениями сторон в золотом  делении. Поэтому он дал этому  делению название золотое сечение.  Так оно и держится до сих  пор как самое популярное.

  В то же время на севере  Европы, в Германии, над теми же  проблемами трудился Альберт  Дюрер. Он делает наброски введения  к первому варианту трактата  о пропорциях. Дюрер пишет «Необходимо,  чтобы тот, кто что-либо умеет,  обучил этому других, которые  в этом нуждаются. Это я и  вознамерился сделать». Альберт  Дюрер подробно разрабатывает  теорию пропорций человеческого  тела. Важное место в своей  системе соотношений Дюрер отводит  золотому сечению. Рост человека  делится в золотых пропорциях  линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних  пальцев опущенных рук, нижняя  часть лица - ртом т т.д. Известен  пропорциональный циркуль.

  Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер называл золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя « устроена она так,- писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности»

  В последующие века правило  золотой пропорции превратилась  в академический канон и, когда  со временем в искусстве началась  борьба с академической рутиной,  в пылу борьбы «вместе с  водой выплеснуло и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение  было в середине XIX в.

 В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «эстетические исследования». Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейцинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

3. Золотое сечение в нашей жизни

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ – гармоническая  пропорция

В математике пропорцией  называют равенство двух отношений: a:b=c:d. Отрезок прямой AB можно разделить точкой C на две части следующими способами:

 на две равные части AB:AC=AB: BC;

 на две неравные части  в любом отношении (такие части  пропорции не образуют); таким  образом, когда AB:AC=ACB: C. Последнее и есть золотое деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

  Золотое сечение – это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части,  при меньшей; или другими словами,  меньший отрезок так относится  к большому, как большой ко  всему  

a:b=b: c или c:b=b:a.

отрезки злотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью 0.618…, если с принятым за единицу, а=0.382. числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Прямоугольник с таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольникам. Он тоже обладает интересными свойствами. Если он него отрезать квадрат, то останется  вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности. А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

  Разумеется есть и золотой  треугольник. Это равнобедренный  треугольник, у которого отношение  длины боковой стороны к длине  основания равняется 1.618.есть  и золотой кубоид- это прямоугольный  параллелепипед с ребрами, имеющими  длины 1.618, 1 и 0.618.

В звездчатом пятиугольнике каждая из пяти линий, составляющих эту фигуру, делит другую в отношении золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.

 

Второе ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает отношение 44:55.Такая пропорция обнаружена в  архитектуре, а также имеет место  при построении композиций изображений  удаленного горизонтального формата.

 Построение второго золотого  сечения Деление осуществляется  следующим образам. Отрезок AB делиться в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр CD.Радиусам AB находится точкой D, которая соединяется линией с точкой A. Прямой угол ACD делится пополам. Из точки C проводится линия до пересечения с линией AD. Точка E делит отрезок AD в отношении 56:44.

 На рисунке показано положение  линии второго золотого сечения.  Она находится посередине между  линией золотого сечения и  средней линией прямоугольника. Деление прямоугольника линией второго золотого сечения.

 

           Золотые  пропорции в частях тела человека 

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу. Что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатели золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1.625 и несколько ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5=1.6. У новорожденного пропорции составляет отношения 1:1, к 13 годам она равна 1.6,а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются в отношении других частей тела – длина плеча, предплечье и кисти, кисти и пальцев и т.д.    Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «золотое деление как основной морфологический знак в природе и искусстве». В 1876 г. в Росси была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В.  В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

Я провела свои исследовательскую  работу и получила следующие результат. Мой рост  173см., расстояние от пола до середины живота =109см… составила  и получила пропорцию. 64:109=0.587… 109:173= 0.630…Также я измерила свою руку и тоже составила пропорции 8:13=0.615.. 5:8= 0.625. Мои исследования человеческого тела позволяют сказать о выполнение пропорции частей и деление в крайнем и среднем отношении.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

                        

Ряд  Фибоначчи

С историей золотого сечения косвенным  образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более  известного под именем Фибоначчи (сын  Боначчи).он много путешествовал  по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г. вышел в свет его математический труд «Книга об абаке»(счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «сколько пар кроликов в один год от одной пары родителей».

Размышляя на эту тему, Фибоначчи  выстроил такой ряд цифр:

Месяцы  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 и т.д.

Пары кроликов 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 и т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д.

известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел  состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме  двух предыдущих 2+3=5; 3+5=8;5+8=13,8+13=21;13+21=34и  т.д., а отношение смежных чисел  ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 =0,617, а 34 : 55= 0,618  . Только это отношение- 0,618:0,382- дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большому, как большой ко всему…                       

 

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах - рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступает длине змеи. Небольшая  десятисантиметровая раковина имеет  спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.