Лекции по «Моделирование и идентификация объектов систем автоматики»

Министерство Образования Украины

Донецкий Государственный Технический  Университет

Кафедра АТ

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

по курсу

«Моделирование и идентификация  объектов систем автоматики»

Донецк 2007

 

1. Предмет и задачи курса. Общая постановка задач идентификации моделей

Теория идентификации  и моделирования – это научно-техническая  дисциплина, которая занимается вопросами  построения моделей  объектов управления и систем управления и решает проблему оценки параметров этих моделей.

При рассмотрении проблемы идентификации различают статический подход, сущность которого в следующем: ставятся экспериментальные исследования, получают экспериментальную выборку, характеризующую динамику модели, на основании априорных данных о физических процессах в модели определяется структура самой модели, а по экспериментальной выборке определяются настроечные параметры модели.

Существует также динамический подход к проблеме идентификации: имеется  некоторая замкнутая система, в  этой системе специальным образом  вводится дополнительный контур идентификации, который отслеживает изменение параметров модели в процессе реального функционирования системы, на основании некоторого критерия делаем оценку модели и при необходимости изменяем настроечные параметры объекта или системы в целом.

Предметом изучения курса являются методы построения моделей для объектов систем управления и методы определения динамических параметров этих моделей.

 

Для чего нужна  идентификация?

С целью повышения  эффективности систем управления разрабатывается  идея адаптивных систем управления. Главное отличие адаптивных систем управления от систем с фиксированными параметрами состоит в том, что они могут приспосабливаться (подстраиваться) к изменяющимся  характеристикам объектов и протекающих в них процессов.

Существует 2 основных способа настройки регуляторов:

-    настройка  с прямой связью (адаптация по  разомкнутому циклу)

• настройка с обратной связью (адаптация по замкнутому циклу).

 

 

 

 

А – алгоритм настройки, Р – регулятор, О – объект управления, w - вектор заданной переменной, e^w - ошибка управления e^w =w – y.

Если известно, как  должен настраиваться регулятор  в зависимости от внешних входных  факторов (доступных прямому измерению), то можно применять прямой метод  настройки.

В условиях, когда невозможно оценить  динамические свойства объекта непосредственно, приходится использовать настройку с обратной связью или адаптацию по замкнутому контуру. При этом необходимый минимум информации об объекте получают путем обработки измерений входных и выходных сигналов.  Использование адаптации структурно равносильно введению второй обратной связи и соответственно второго замкнутого контура.

Все адаптивные регуляторы можно разделить  на два класса:

• самооптимизирующиеся регуляторы
• регуляторы с эталонной моделью.

Процесс адаптации в  системах управления  с регуляторами  или регуляторами с эталонной моделью проходит в три этапа:

1. Идентификация объекта (эталонной  модели) или системы управления  в целом. 2. Расчет регулятора. 3. Настройка  регулятора.

 

Задачи идентификации

Задача идентификации состоит в установлении математических соотношений между измеряемыми входами и выходами при заданных их измерениях во времени (Идентификация в широком смысле).

Определение параметров заданной математической модели по результатам измерений  вход-выход также называют задачей идентификации (в узком смысле).

Общая формулировка задачи.

Наблюдается: вектоp z(t), возмущенный шумом вариант вектора состояния системы x(t), входной сигнал u(t) и внешнее возмущение w(t) причем

z(t)=h[x(t), u(t), w(t), p(t), v(t), t]

p(t) - неизвестные параметры системы

v(t) - вектор ошибок измерений

Предполагается, что вектор состояния описывается стохастическим дифференциальным уравнением

dx(t)/dt = f [x(t), u(t), w(t), p(t), t]

порядок системы обычно известен заранее.

 

Решение задачи идентификации должно включать определение оценки вектора неизвестных параметров p(t).

В качестве неизвестных  параметров могут быть коэффициенты дифференциальных уравнений, средние  значения и дисперсии входного шума   w(t) и ошибки измерения v(t).

Выделим некоторые подклассы  общей задачи идентификации

1. Идентификация без помех (отсутствуют шумы  w(t) и v(t)). Известен вход u(t) и точные наблюдения вектора состояния x(t).
2. Модели наблюдений и системы принимаются линейными.
3. Входной шум  w(t) – ненаблюдаем.

При классическом подходе  к созданию системы уравнений  идентификация осуществляется на этапе  еще проектирования системы.

Обычно в высокоорганизованных системах уравнений необходима повторная  периодическая или непрерывная  в реальном масштабе времени идентификация, чтобы обеспечить адаптацию системы в условиях изменения внешних воздействий и параметров системы.

Таким образом, существует два подхода к решению проблемы идентификации:

• в реальном масштабе времени (по каждому замеру)
• вне контура управления (пакетное представление информации).

2. Классификация методов идентификации

1. Различают методы идентификации:

• активные;

• пассивные;

2. По виду объекта:

• статические;
• динамические;
• линейные;
• нелинейные;
• одномерные;
• многомерные;
• стационарные;
• нестационарные;

3. По форме представления модели:

• с дифференциальными уравнениями;
• в виде передаточных функций;
• в виде функций разложения;

4. По виду информации, используемой в методе идентификации:

• прямой;
• косвенный;

5. В зависимости от принятого критерия:

• использующие минимальное СКО выхода объекта и модели;
• с использованием МНК и его модификаций;
• с использованием критерия максимального правдоподобия;
• с минимальным средним риском;

В литературе есть и другие способы классификации.

Таким образом, для того, чтобы решить задачу идентификации  нужно:

• определить класс объекта;
• выбрать модель;
• выбрать критерий близости объекта и модели;
• сформулировать алгоритм.

3. Основные типы моделей в теории идентификации

В курсе теории идентификации  рассматриваются модели, которые  используются при анализе и синтезе различных САУ.

Все модели можно разделить  на классы:

1. Модели для описания непрерывных систем
1. Линейные дифференциальные уравнения

2. Передаточные функции

,  n≥m

3. Модель в пространстве параметров состояния

,

где

U - вектор входа

x - вектор переменных состояния

y - вектор выхода системы

А - матрица динамики системы

В - матрица управления

С^T - матрица измерения (датчиков)

2. Модели для описания дискретных систем
1. Линейные разностные уравнения

a_ny(n-k)+a_n-1y(n-k-1)+a₁y(n-k-N)+a₀=

=b_mU(m-k)+b_m-1U(m-k-1)+…+b₁U(m-k-M)+b₀

N-порядок разностного  уравнения

2. Дискретные передаточные функции

 

3. Модель в пространстве параметров состояния

x(k+1)=A*x(k)+B*U(k)

y(k)=C^т*x(k)

3. Модели для описания нелинейных систем

u(t)=δ(t)   y(t)=ω(t)

 

4. Стохастические модели

Модель нелинейной системы  с использованием ядер Вольтера

При рассмотрении явлений  в моделях с шумами принято оценивать влияние шумов на процесс идентификации путем использования понятий авто - и взаимно - корреляционной функций. Оценку влияния шумов можно производить, если процесс описания шумов описать следующим уравнением:

R_uu-автокореляционная функция входного сигнала

R_uy-взаимнокореляционная функция входного и выходного сигнала

Если u(t) – это случайный стационарный процесс и y(t) тоже, то, применяя эти понятия не учитывают, что R_uu и R_uy позволяют оценить величину случайной составляющей, то, решая это интегральное уравнение мы можем получать оценки с учетом помех входа и выхода. Задача имеет решение при условии, что входной сигнал можно измерять “абсолютно” точно, а выходной сигнал содержит все аддитивные составляющие помехи.

4. Основные типы сигналов

Входные сигналы:

• ступенчатое единичное воздействие

U(t)=1(t)=

• δ-функция:

δ(t)=

• гармонический синусоидальный сигнал:

U(t)=a·sin(ωt+φ₀)

• линейные сигналы:

U(t)=kt+b₀

• случайный сигнал “Белый шум”.

5. Методы идентификации моделей объектов типовых звеньев по временным и частотным характеристикам

 

1. Математическая  обработка динамических

характеристик объектов управления

 

Рассматривается объект с одним входом и одним выходом  со свойствами: стационарности, линейности, сосредоточенности параметров. На вход подается ступенчатое воздействие и на выходе снимается кривая разгона. Необходимо решить обратную задачу: по известной кривой разгона определить коэффициенты уравнения.

Для представления уравнений в безразмерной форме выполняется математическая обработка кривой разгона. Пересчитывается ордината кривой разгона (операция тарирования) по формуле , где -  экстремальные значения выходной величины.

При описании динамических свойств статических промышленных объектов ограничиваются одним из следующих дифференциальных уравнений

T₁, T₂, T₃ - коэффициенты левой части дифференциального уравнения;

T - коэффициент при первой производной в правой части дифференциального уравнения;

R_{0 -} коэффициент усиления объекта.

В уравнении 3-го порядка  могут быть T₃, T₂, t = 0 , тогда получаем частные случаи уравнений 1-го и 2-го порядков, и без запаздывания.

Для описания динамических свойств астатических объектов используются дифференциальные уравнения не содержащие члена  y(t) и статического коэффициента усиления k₀, т.е. имеющих вид:

                                          .

Величина запаздывания  t  может быть определена графически следующим образом (см. рис).

 

2. Идентификация параметров модели апериодического  звена 1-го порядка по временным характеристикам

 

Для апериодического  звена 1-го порядка 

  коэффициент усиления  k₀ определяется следующим образом

Для апериодического  звена первого порядка:

- передаточная функция 

  - переходная функция;

- импульсная переходная функция.

Реакция на единичное входное воздействие 

  

 

 

Для определения коэффициента звена:

Временные характеристики.

Если зависимость экспоненциальная, то постоянная времени определяется одним из двух способов. При первом, чисто графическом способе проводится касательная в любой точке графика и берётся разность абсцисс точек: а) касания с графиком и б) пересечения с линией установившегося уровня. При втором способе необязательно производить графические построения. Рассмотрим момент времени t=T: , тогда h(T)≈0,63k.

 

  

 

С соответствующими корректировками  те же способы применимы и при наличии импульсной переходной характеристики. Для второго метода при t=T: , тогда ω(T)≈0,37k.

  

Если переходная характеристика имеет вид:

,то нужно в передаточную функцию вводить чистое запаздывание:

3. Идентификация моделей  в виде апериодических звеньев  II-го порядка

;

a₀p²+a₁p+1=0;

;

;

;

Тогда ,  ;

Считаем, что процесс  апериодический I-го порядка. Для этого  начальный участок аппроксимируем.

Получаем кривую, приближенную к зависимости I-го порядка. Считаем точку А началом координат. Взяв 0,63 относительно т. А  определяем Т₁.

Для определения Т₂ строим зеркальную кривую и определяем Т₂ на начальном участке кривой по уже известной методике.