Лекции по «Моделирование и идентификация объектов систем автоматики»

 

Алгоритм вычислений следующий

1.Задаемся  начальными  значениями вектора параметров р.

2.Решаем дифференциальные уравнения (2)

3.Вычисляем значения  функционала (1)

4.Вычисляем компоненты  вектора-градиента функционала (1) по ф.(3).

5.Определяем новые значения  р по ф.4 из условия (5)

6.Переходим к п.2 алгоритма, если  компоненты вектора-градиента больше  некоторой величины e.

 

  2. Коэффициенты системы есть  функции времени, т.е. р = p(t).

Способы аппроксимации функции  p(t).

1. Кусочно-постоянными функциями.

2. Кусочно-линейными функциями.

      р

 

 

                                                       t

 

3. Полиномиальная гипроксимация.

           

4.Сплайн-аппроксимация.

             где  

                                                                            

p

 

 

 

 

 

 

 

2. Рекуррентное оценивание параметров по методу наименьших квадратов

 

Пусть проверено некоторое количество измерений так, что система  Z = Ab+n  содержит  i скалярных уравнений. Запишем ее  в виде Z _i-1 = A_i-1b_i+n_i-1

Проведя измерение в  i-й момент времени, получим в блочном виде

Из уравнения Винера-Хопфа следует

(*)    , где         =  =

= = .

Тем самым показано представление  P_i+1   через   P_i .

Однако последнее выражение  содержит двойное обращение матриц и неудобно в вычислительном  отношении, в связи с этим используется более простое представление

,    где      есть скаляр,

А вектор новых параметров   b_i+1   вычисляется через b_i.

.

Последние две формулы  позволяют вычислить новую оценку параметров b_i+1, если заданы:

• предыдущие оценки параметров b_i   и оценки P_i;
• новая информация об     по измерениям в момент времени i.

Можно начать итеративный  процесс и без априорной информации, положив b₀ = 0, а P₀ предполагают пропорциональной единичной матрице: P₀ = c² I, , где c² – выбирается достаточно большим, что обеспечивает по мере новых измерений быстрое снижение влияния начального приближения.