Лекции по «Моделирование и идентификация объектов систем автоматики»

4. Идентификация моделей  в виде передаточной функции колебательного звена II-го порядка по временным характеристикам.

;   ;   ;

  θ – период собственных  колебаний

; 

По весовой функции  определяется ξ (декремент затухания):

  ;  .

Эти методики применимы  только к моделям типовых динамических звеньев.

5. Особенности идентификации  моделей в виде типовых динамических  звеньев по частотным характеристикам

Особенности методики.

Методика в большинстве  своем носит теоретический характер, т.к. постановка эксперимента, связанная  с экспериментальным построением для ряда объектов– сложная техническая задача. Только небольшая группа объектов с электрической природой сигнала может быть легко исследована в частотной области.

Чтобы получить структуру  модели и параметры модели нужно  представить эксперимент. Частотные характеристики в логарифмической форме.

Исходная кривая аппроксимируется ломаной. Причем по возможности наклон отдельных участков выбирается кратным  20 дБ/дек

Для определения параметров функции:

статический коэффициент  передач: 20lgk

Для удобства идентификации  по частотным характеристикам удобно применять идентификационные таблицы.

Звено	ω<<1/T	ω=1/T	ω>>1/T
k	20lgk	20lgk	20lgk
	n20 дБ/дек	n20 дБ/дек	n20 дБ/дек
	0 дБ	3 дБ	n20 дБ/дек
	0 дБ	в зависимости от ξ	n40 дБ/дек
е-Тр	0	0	0

Значение фазовой характеристики типовых динамических звеньев

Звено	ω<<1/T	ω=1/T	ω>>1/T
k	0	0	0
	0 дБ
	0 дБ
е-Тр

6. Методика идентификации моделей в виде передаточной функции по кривым разгона (метод площадей, метод Симою)

Постановка задачи

Для объекта идентификации получают кривую разгона при входном воздействии в виде единичного скачка.

  

Входное воздействие   Кривая разгона

 

Модель объекта будем искать в виде передаточной функции:

,  n>m

Надо определить а_i, b_i.

Если кривая разгона задана в  реальных единицах, то для удобства обработки эту кривую разгона  нормируют:

 ^{получим кривую в диапазоне [0;1]}

Связь между коэффициентами а_i, b_i и параметрами кривой разгона может быть установлена через систему уравнений:

a₁=F₁+b₁

a₂=F₂+b2+b₁F₁

a₃=F₃+b₃+b₂F₁+b₁F₂

Параметры F_i, входящие в эту систему уравнений имеют аналитические выражения:

, θ – измененный масштаб по времени

Обычно 

Последовательность расчета  коэффициентов моделей:

6. Разбивается ось абсцисс исходной кривой разгона на отрезки времени с интервалом Δt из условия, что на протяжении графика в пределах 2Δt исходная кривая мало отличается от прямой.
7. Значения y в конце каждого интервала Δt делят на y(∞) и получают нормированное значение переходной функции.

t	Y	1-y	θ	1-θ	(1-y)*   (1-θ)
0	0	1	0
Δt	y(Δt)	1-y(Δt)	Δt/F1
2Δt	y(2Δt)	1-y(2Δt)	2Δt/F1
nΔt	y(nΔt)	1-y(nΔt)	nΔt/F1

 

7. Методика идентификации моделей объектов III-го порядка по их временным характеристикам

Данный метод выгодно  отличается своей простотой и  оперативностью. При той же точности решения вычислительные затраты  на обработку кривой разгона снижаются, по сравнению с известным методом М.П. Симою. При этом круг рассматриваемых объектов значительно расширяется.

Типы моделей

Модель объекта определяется в виде дифференциального уравнения. Причем вид уравнения зависит  от вида кривой разгона.

Уравнение объекта берётся в  виде:

8.   a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=x,      (1)

если кривые разгона  объекта имеют вид:

  

  

9.   a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=b₁x^'+x,     (2)

если кривые разгона  объекта имеют вид:

  

10.   a₃y^'''+a₂y^''+a₁y^'+y=b₁x^',      (3)

если кривая разгона  объекта имеет вид:

Модель первого типа

Передаточная функция  системы первого типа:

,     (4)

Представим структуру системы в виде последовательного соединения двух звеньев. Первое звено – апериодическое, а второе – в общем случае звено II-го порядка.

Приравняв исходную ПФ и  полученную для последовательного  соединения двух звеньев, легко установить связь между их коэффициентами:

;  ;  ;   (5)

Так как звенья включены последовательно, то при подаче на вход воздействия в виде единичного скачка 1(t), вход во второе звено, равный выходу первого, определяется, как y_пр=1-exp(-α₁t), а выход второго звена будет представлять собой кривую разгона объекта.

Дифференциальное уравнение  объекта можно записать:

ay^''+by^'+y=1-exp(-α₁t).    (6)

Выразим b. Известно, что в точке перегиба графика функции вторая производная равна 0: y^''(t_п)=0. Тогда для момента времени, соответствующего точке перегиба (см. рисунок), уравнение (6) запишется:

a*0+b*y^'(t_п)+y(t_п)=1-exp(-α₁t_п),

откуда получим:     (7)

Для нахождения неизвестных коэффициентов a и α₁ запишем (6) в виде: ay^''+by^'+exp(-α₁t)=1-y,  (8).

Проинтегрируем (7) в пределах [t₁;t₂]:

 (9)

S₁,₂ – площадь, ограниченная линией установившегося значения у, кривой разгона и вертикалями в точках t₁ и t₂:

В уравнении (9) возьмём  в качестве пределов интегрирования t₁=0, t₂= ∞. Тогда, учитывая, что:

y(0)=0; y^'(0)=0; y(∞)=1; y^'(∞)=0, получим:

        (10)

S_0∞ - это площадь над кривой разгона для t₁=0 и t₂= ∞, то есть во всем диапазоне наблюдения.

Уравнения (7) и (10) образуют систему с двумя неизвестными: b и α₁. Решая эту систему (численно, графически, с помощью номограмм) мы можем определить значения этих коэффициентов.

Возьмём в (9) t₁=t_n, t₂=∞.Учитывая, что y(∞)=1; y^'(∞)=0, S_n∞ - площадь над кривой разгона для t₁=t_n и t₂= ∞ получим:

     (11)

Подставляя значения a, b и α₁ в (5), получим значения коэффициентов a₃, a₂, a₁.

Достоинством этой методики является тот факт, что мы можем получить аналитическое выражение переходной функции, решить обратную задачу и оценить точность идентификации. Решение уравнения (6) может быть использовано для проверки соответствия найденных коэффициентов.

Решение дифференциального  уравнения складывается из суммы общего решения однородного уравнения ay^''+by^'+y=0 и частного решения неоднородного.

Частное решение неоднородного  уравнения имеет вид

, где     (12)

Общее решение однородного  уравнения зависит от корней характеристического уравнения:

ar²+br+1=0.

Варианты значений корней:

11. Вещественные неравные корни: r₁=α₂, r₂=α₃

, (y₀ - решение общего однородного уравнения)

где ;    (13)

12. Вещественные равные корни: r₁=r₂= -α₂

;      (14)

13. Комплексные корни:

;      (15)

Модель второго типа

Системе с кривой разгона  второго типа соответствует передаточная функция:

     (16)

Для определения коэффициентов  этого уравнения объект заменяется последовательным соединением двух звеньев – интегро-дифференцирующего и звена второго порядка:

При подаче на вход первого  звена единичного возмущения x(t)=1(t), выход звена , где δ=α₁b₁-1. Кривые разгона в этом случае являются решениями дифференциального уравнения:

или      (17)

Учитывая, что в точке  перегиба(t=t_n) y^''(t_n)=0, уравнение (17) преобразуется к виду:

      (18)

Интегрируя (17) в пределах от t₁ до t₂ получим:

  (19)

При t₁=0 и t₂=∞ с учётом того, что y(0)=0, y^'(0)=0, y(∞)=1, y^'(∞)=0,уравнение (19) превращается в уравнение:

        (20)

При t₁=t_m, и t₂=∞ уравнение принимает вид:

      (21)

   

Совместно решая уравнения (20) и (21), получим:

      (22)

Из (18) и (20) получим:   (23)

Коэффициенты b и α₁ находят из совместного решения уравнений (22) и (23) или с помощью номограмм, построенных по этим формулам. Подставляя b и α₁ в (20) определяют значение δ=α₁*(b-S_0∞). Значение а вычисляют по формуле:

     (24)

Коэффициенты a₁, a₂, a₃ определяют из соотношений (5). Значение b₁ определяют, выразив b₁=(1+δ)/α₁.

Уравнения для кривых разгона, по которым можно проверить правильность решения выражаются формулами (13), (14) и (15) причём С₂ и С₃ находят по тем же формулам, а С₁ – по формуле:

.       (25)

Модель третьего типа

Системе с кривой разгона  третьего типа соответствует передаточная функция:

     (26)

Представим структуру  системы в виде последовательного  соединения двух звеньев. Первое звено  – реальное дифференцирующее, а  второе – звено II-го порядка общего вида.

При подаче на вход первого звена единичного возмущения x(t)=1(t), выход звена , где δ=α₁b₁. Кривая разгона в этом случае является решением дифференциального уравнения:

       (27)

Учитывая, что в точке  перегиба(t=t_n) y^''(t_n)=0, уравнение (27) преобразуется к виду:

      (28)

Интегрируя (27) в пределах от t₁=0 до t₂=∞, получим:

        (29)

При интегрировании (27) от t₁=t_m до t₂=∞ будем иметь:

      (30)

Из соотношений (29) и (30)находим:

       (31)

а из (28) (29)получим 

       (32)

Решение системы из уравнений (31) и (32) даёт значения α₁ и b.

Если проинтегрировать уравнение (27) от точки перегиба кривой разгона до t=∞ , получим:

, откуда, учитывая (29)

;      (33)

Исходные коэффициенты a_i вычисляются по формулам (5). Найденные коэффициенты проверяются решением дифференциального уравнения (27). Решение этого уравнения зависит от корней характеристического уравнения:

ar²+br+1=0.

При этом значение коэффициента с₁ одинаково для любого значения корней:

Варианты значений корней:

14. Вещественные неравные корни: r₁=α₂, r₂=α₃

где ; 

(константы определены  с учётом того, что все выкладки  производились при нулевых начальных  условиях: y(0)=0; y^'(0)=0)

15. Вещественные равные корни: r₁=r₂= -α₂

;  

16. Комплексные корни:

;  

На основе изложенного  метода идентификации моделей в  виде дифференциального уравнения (передаточной функции) по кривой разгона  можно установить следующую последовательность действий:

17. Определение принадлежности кривой разгона к одному из типов, рассматриваемых в методике.
18. Для всех кривых, кроме последнего типа устанавливается относительный масштаб по ординате, соответствующий y_уст=1 и вычерчивается приведенная кривая разгона.
19. По приведенной кривой разгона определяются значения:

t_n, t_m, y(t_n), y(t_m), y^'(t_n), S_0∞, S_n∞, S_m∞