Методы решения нелинейных уравнений

,

где - разделенная разность функций для узлов и .

      Другой  подход к построению численных методов  решения уравнения  =0 основан на интерполировании обратной функции . Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции взят интерполяционный алгебраический многочлен Лагранжа , построенный по узлам Тогда за следующее приближению к корню уравнения =0 берется величина .

      Численное интегрирование. Аппарат интерполирования функции лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на её составных частях интерполяционными многочленами того или иного вида и последующим интегрированием этих многочленов. Например квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, так называемые квадратурные формулы Гаусса:

где - знакопостоянная весовая функция, получаемая в результате замены функции   интерполяционным алгебраическим многочленом, построенным по корням ортогонального относительно веса многочлена степени n.

      Изложенная  выше схема построения формул для  приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном  случае

      Формулы численного дифференцирования, в основе которых лежит интерполирование, получаются в результате дифференцирования интерполяционных многочленов. Ввиду неустойчивости задачи численнго дифференцирования относительно ошибок использования значений функций в узлах шаг интерполирования должен согласоваться с погрешносьтью значений функций. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.

      При численном решении интегральных уравнений, известная функция заменяется в интегральном уравнении каким-либо интерполяционным приближением (интерполяционным алгебраическим многочленом, интерполяционным сплайном и т.д.) с узлами интерполирования , а приближенные значения для находятся из системы, полученной после подстановке вместо независимости переменной x узлов интерполирования . В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения находятся соответственно из нелинейной системы.

      Интерполяционная  формула- для приближенного вычисления значений функции , основанного вычисления на замене приближаемой функции более простой в каком- то смысле функцией

наперед заданного класса, причем параметры  выбираются так чтобы значения совпадали с известными заранее значениями для данного множества попаро различных значений аргумента:

такой способ приближенного представления  функций называется интерполированием, а точки  , для которых должны выполняться условия , - узлами интерполяции.

      В ряде случаев (например, при интерполировании алгебраическими многочленами) параметры  могут быть явно выражены из системы , и тогда непосредственно используется для приближенного вычисления значений функции .

      Интерполяционный  процесс - процесс получения последовательности  интерполирующих функций при неограниченном возрастании числа n узлов интерполирования. Если интерполирующие функции представлены в виде частных сумм некоторого функционального ряда, то последний иногда называется интерполяционным рядом. Целью построения интерполяционного полинома чаще всего является, по крайней мере в простейших первоначальных задачах интерполирования, приближение в каком- то смысле по средствам интерполирующих функций , о которой или имеется неполная информация, или форма которой слишком сложна для непосредственного использования.

      Интерполяционная  формула Эверетта: Интерполяционные формулы Грегори- Ньютона построенные по нисходящим или восходящим разностям, наиболее целесообразно применять в начале или конце таблицы. При этом для достижения высокой степени точности иногда приходится рассматривать разности, отстоящие достаточно далеко от интересующих нас значений функции или . Поэтому на средних участках таблицы лучше результаты дают интерполяционные формулы, построенные на базе центральных разностей, то есть разностей, которые ближе всего расположены к центральной сотке, содержащей .

      К интерполяционным формулам с центральными разностями относятся формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя, Эверетта и многие другие; формула Эверетта получила наибольшее распространение, она была получена 1900 г.:

 где  ; ; .

      Формуле Эверетта так же можно придать  форму, наиболее удобную для вычисления:

если  для ее коэффициентов ввести обозначения

     

 

      Коэффициенты  удобнее всего вычислять по следующей рекуррентной формуле, которая непосредственно вытекает из :

; ;  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2. Интерполяционная формула Ньютона

     Если  точки x0, x1, ..., xn расположены на равных расстояниях (xk = x0 + kh), многочлен Pn(x) можно  записать так:

     

(здесь x0 + th = х, а Dk — разности k-го порядка: Dk yi = Dk — 1 yi +1 — Dk — 1yi).

     Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения у, соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от x0. Эта формула удобна при интерполировании функций для значений х, близких к x0. При интерполировании функций для значений х, близких к наибольшему узлу хn, употребляется сходная формула Ньютона для интерполирования назад. При интерполировании функций для значений x, близких к xk, формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта.

     Формулу Ньютона можно записать и для  неравноотстоящих узлов, прибегая для  этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой k-й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона). 
 
 
 
 

2.3. Тестовый пример

Для функции  заданной в таблице построить  первый интерполяционный член и вычислить  по нему приближенно значение в точке х=2.98

X=2.98

X₀=2.97 ,  h=0.02

q=x-x₀/h=2.98-2.97/0.02=0.01/0.02=0.5

y(x)=y₀+q∆y+q)q-1)/2!*∆²y₀+q(q-1)(q-2)/3!*∆²y₀+…+q(q-1)…(q…n+1)/n!*∆ⁿy₀

y(2.98)=119.66+0.5(-13.38)+0.5(0.5-1)/1*2*27.78+0.5(0.5-1)(0.5-2)/1*2*3*(-55.43)+0.5(0.05-1)(0.5-2)(0.5-3)/1*2*3*4*103.78+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)/1*2*3*4*5*(-179.63)+ 0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)/1*2*3*4*5*6*291+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)(0.5-6)/1*2*3*4*5*6*7*(-446.16)+0.5(0.5-1)(0.5-2)(0.5-3)(0.5-4)(0.5-5)(0.5-6)(0.5-7)/1*2*3*4*5*6*7*8*648.32=75.422

2.4. Разработка алгоритма и программы вычисления функции в приложении 2.1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Заключение

  Удалось разработать программу решения  нелинейных и трансцендентных уравнений  методом секущих - хорд. Программа  включает и учитывает многие новые  возможности в программировании и практике создания программ в среде программирования С.

  В процессе создания программы и последующего тестирования было устранено большинство  ошибок при трансляции, запуске и  использовании программного продукта, поэтому данная программа, реализующая алгоритм решения системы линейных уравнений методом секущих - хорд, вполне может быть применена в более крупных проектах по реализации нескольких математических методов решения тех или иных задач. Интерфейс программы удобен и элементарно прост в обращении даже для тех, кто в первый раз имеет дело с подобным типом программ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Список  литературы

1. Архангельский Н.А. Вычислительные методы алгебры в приемах и задачах. М.: МАИ, 1976.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задачь. М.: Наука,1988.
3. Васильков Ф.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 1999.
4. Фильчаков П.Ф., Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1974.
5. Фильчаков П.Ф., Численные методы. Киев: Наукова думка, 1976.
6. Большая математическая энциклопедия. М.: Олма-Пресс, 2004
7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
8. Тихонов А.Н., Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.
9. Калиткин Н.Н., Численные методы. М.: Наука, 1987.
10. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.