Гауссовы пучки

Содержание

 

Введение…………………………………………………………….....………..…4

1. Распространение лазерных пучков в среде с квадратичным профилем показателя преломления…………………….. ………………………………………..5

2. Гауссовы пучки в однородной  среде………………………………………….9

3. Фундаментальный гауссов пучок в линзоподобной среде; закон ABCD…14

3.1 Лучи в линзоподобной среде…………………………………………..…16

3.2  Преобразование гауссовых пучков; закон ABCD……………………...18

3.3  Фокусировка гауссова пучка………………………………………...…..22

4. Преобразование гауссова пучка произвольной оптической системой…....25

5. Согласование гауссова пучка с пассивным резонатором…………………..28

Заключение………………………………………………………….……............33

Список  использованной литературы…………………………………………...34

 

Введение

 

Лазер стал одним из самых значимых изобретений XX века. С самого момента разработки его называли устройством, которое само ищет решаемые задачи. Лазеры нашли применение в самых различных областях - от коррекции зрения до управления транспортными средствами, от космических полётов до термоядерного синтеза.

Когерентное излучение, генерируемое лазерами, представляет собой узкие пучки, поперечные размеры которых намного больше длины волны. Поэтому дифракционная расходимость таких пучков сравнительно невелика, и их амплитуда медленно изменяется с продольной координатой. 

Такие световые пучки хорошо описываются  гауссовыми пучками, в которых амплитуда  в поперечной плоскости изменяется по закону Гаусса — Эрмита, а фазовая  поверхность искривляется по мере распространения  пучка. Сейчас доказано и общепризнано, что гауссовы пучки наиболее просто и полно описывают свойства лазерных световых пучков и собственные типы колебаний (моды) открытых резонаторов. Правда, гауссовы пучки тоже являются приближением, но достаточно хорошим.

В данной курсовой работе будет рассмотрено  понятие гауссовы пучка и его  основные параметры, которые включают:

• свойства гауссовых (лазерных) пучков света в самых разных средах,
• закон ABCD,
• фокусировку гауссова пучка,
• преобразование гауссова пучка.

 

 

 

 

 

 

1 Распространение лазерных пучков  в среде с квадратичным профилем показателя преломления

 

Лазерный  пучок  представляет собой  когерентное электромагнитное излучение. Поэтому его распространение  должно определяться уравнениями Максвелла. Векторы поля E и H, которые описывают распространение лазерного пучка, удовлетворяют векторным волновым уравнениям (1) и (2).

 

,                     (1)

 

,                    (2)

 

где и - электрическая и магнитная напряженности,

 и  - магнитная и диэлектрическая проницаемости,

- оператор Лапласа.

Для пучков с малой угловой расходимостью  и сред, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, векторное волновое уравнение сводится к скалярному. Действительно, из (1) и (2) можно получить скалярное волновое уравнение, если предположить, что относительное изменение диэлектрической    и магнитной проницаемостей  мало в масштабе длины волны излучения. В этом случае волновое уравнение (1) или (2) принимает вид

 

,                                                   (3)

 

где  - любая декартова составляющая полей E и H

  - показатель преломления.

Лазерный  пучок  представляет собой  излучение с высокой степенью монохроматичности. Поэтому естественно предположить, что временная зависимость поля имеет вид . При этом скалярное волновое уравнение (3) запишется в виде

 

,                                                (4)

где  величина

 .                                             (5)   

Учитывает зависимость показателя преломления n от координаты r. Уравнение (4) называется волновым уравнением Гельмгольца.

Рисунок 1 - схематическое изображение типичного лазера и генерируемого им пучка излучения.

 

Большинство лазерных пучков, используемых в оптических исследованиях, имеют гауссово распределение интенсивности в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения. Среда, в которой распространяется лазерный пучок, во многих случаях имеет цилиндрическую симметрию относительно оси пучка. В частности, мы будем рассматривать линзоподобную среду, показатель преломления которой изменяется по закону

,                                     (6)

 

где  – некоторая постоянная, характеризующая среду

- показатель преломления на оси  симметрии

r – расстояние от оси

- волновое число.

 Поскольку фазовая задержка волны, прошедшей отрезок среды с показателем преломления n, равна , очевидно, что тонкий слой среды, описываемой выражением (6), будет действовать как тонкая линза и создавать фазовый сдвиг, пропорциональный  .

В случае среды с показателем  преломления n, определяемым выражением (6), член  (r) в скалярном волновом уравнении Гельмгольца (4) принимает вид

  .                                         (7)

 

Кроме того, поскольку нас интересует решение, зависящее только от поперечной координаты  , в уравнении (4) оператор можно заменить на

 .                               (8)

 

Иными словами, будем искать цилиндрически-симметричные решения скалярного волнового уравнения Гельмгольца (4).

 Поскольку нас интересует распространение волн, которые незначительно отличаются от плоских и переносят энергию в основном вдоль одного направления (например, в направлении z), использование скалярного приближения для волнового уравнения правомерно.

Подставляя  в (4) выражение (7), выбирая E в виде

 

,                                           (9)

и предполагая, что амплитуда поля меняется достаточно медленно, т.е. величина мала по сравнению с или , после несложных преобразований получаем

 

,                                  (10)

 

где  .

Поскольку мы ищем амплитуду пучка с цилиндрической симметрией, удобно ввести две комплексные функции и таким образом, чтобы можно было записать в виде

 

.                               (11)

 

 Подставляя это выражение для  в (10) и используя (8), можно записать следующее волновое уравнение:

 

,             (12)

 

где  штрих указывает на дифференцирование  по z.

Если уравнение (12) справедливо для любого r, то коэффициент при различных степенях величины r должны обращаться в нуль. В результате имеем следующие соотношения:

 

                                      (13)

Таким образом, для пучка с цилиндрической симметрией в линзоподобной среде скалярное волновое уравнение (4) сводится к соотношениям (13)

 

2 Гауссовы пучки в однородной среде

 

Если пучок распространяется в  однородной среде, то в выражении (7) следует положить . При этом соотношения (13) принимают вид

,           ,                                       (14)

(штрихом  обозначено дифференцирование по  z). Вводя функцию с помощью соотношения

,                                                       (15)

 

из  уравнения (14) непосредственно имеем

=0.                                                           (16)

Следовательно,

,        ,                                   (17)

или в соответствии с (15)

 

,                                        (18)

где а и b — произвольные постоянные. Выражение (18) можно переписать в виде

,                                       (19)

 

где — постоянное комплексное число . Из уравнений (14) и (19) можно найти комплексную функцию :

 

.                              (20)

 

Интегрируя это выражение, получаем

;                                           (21)

 

здесь произвольная постоянная интегрирования выбрана равной нулю.

Подставляя (19) и (21) в (11), решение скалярного волнового уравнения с цилиндрической симметрией можно записать в виде

 

.                        (22)

 

Напомним, что — произвольная комплексная постоянная. Из выражения (22) очевидно, что физически реализуемые решения , которые обращаются в нуль при , определяются выбором мнимой части постоянной . Перепишем через новую постоянную :

 

,            ,                                      (23)

 

где  для однородной среды.

Подставляя (23) в выражение (22), рассмотрим по отдельности два входящих в него экспоненциальных множителя. Первый из них принимает вид

,     (24)

где мы использовали соотношение . Подставляя (23) во вторую экспоненту выражения (22) и разделяя ее на вещественную и мнимую части, получаем

.          (25)

Определяя параметры

,                (26)

.                        (27)

можно записать следующие соотношения:

 

                    (28)

и

,                         (29)

 

где .

Тогда подставляя (24) и (25) в (22), а также учитывая то, что , получаем

 

 

(30)

где, как обычно, . Это выражение представляет собой наш основной результат. Будем называть это решение фундаментальным  гауссовым пучком.

Из выражения (30) видно, что параметр , изменяющийся в соответствии с (26), определяет расстояние r, на котором амплитуда поля убывает в е раз по сравнению со своим значением на оси. Будем называть его радиусом пучка (размером пятна). Параметр равен минимальному радиусу пучка в плоскости перетяжки , a R представляет собой радиус кривизны практически сферических волновых фронтов в сечении . В справедливости этого утверждения можно убедиться, если вывести выражение для радиуса кривизны поверхностей постоянной фазы (волновых фронтов) или (более простым способом) путем анализа формы сферической волны, испускаемой точечным излучателем, расположенным в плоскости . Такая волна описывается выражением

 

 

                                              (31)

в котором квадратный корень в области   мы разложили в степенной ряд и положили равным радиусу кривизны сферической волны R. Из сравнения выражений (30) и (31) видно, что можно интерпретировать как радиус кривизны гауссова пучка. Знак величины обычно выбирается отрицательным, если центр кривизны расположен при , и положительным, если он расположен при .

Форма фундаментального гауссова пучка (30) определена однозначно, если заданы его минимальный радиус в перетяжке и координата относительно плоскости перетяжки. При этом радиус пучка и его радиус кривизны в любой плоскости определяются из выражений (26) и (27).

Рисунок 2 - распространение гауссова пучка.

 

На рисунке 2 иллюстрируются некоторые из этих характеристик пучка. Гиперболы, изображенные на этом рисунке, отвечают траекториям лучей и являются линиями пересечения плоскостей, проходящих через ось z, с поверхностями гиперболоидов

.                                         (32)

Эти гиперболы задают локальное  направление распространения энергии излучения. Радиусы кривизны изображенных на рисунке сферических поверхностей определяются выражением (27). На больших расстояниях гиперболоиды    асимптотически стремятся к коническим поверхностям

.                                         (33)

Половина вершинного угла такого конуса используется как мера

угловой расходимости пучка:

 

при                                                                                                   (34)

Последний результат является строгим  следствием волновой дифракции, согласно которой волна, ограниченная в поперечном направлении апертурой радиусом , будет расходиться (дифрагировать) в дальнем поле в соответствии с выражением (34).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Фундаментальный  гауссов пучок в линзоподобной среде;

закон ABCD

 

Гауссов пучок (30), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (4) для однородной среды (). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (6), причем . Например, показатель преломления градиентных волокон (см. ниже рисунок 3) приблизительно описывается распределением (6).

Рисунок 3 - градиентный профиль показателя преломления по толщине волокна из . Штриховой линией изображен квадратичный профиль.