Гауссовы пучки

Здесь A, В, С, D — элементы лучевой матрицы сложной оптической системы. Это важное соотношение называется законом ABCD.

Комплексное уравнение закона ABCD соответствует двум вещественным уравнениям

,                          (75)

 

.                             (76)

Из  этих соотношений, раскрывая значения , и , а также учитывая, что для лучевых матриц , можно найти параметры преобразованного пучка

,                         (77)

 

.                       (78)

Степень изменения гауссова пучка  оптической системой удобно оценивать коэффициентом преобразования, понимая под этим термином соотношение начального и исходного конфокальных параметров:

 

.            (79)

 

Расходимость пучка изменится  после преобразования пропорционально , a линейный размер перетяжки — обратно пропорционально .

Сравнивая полученные формулы с  соотношениями для гомоцентрических пучков, можно видеть, что специфика гауссовых волн заключается в существовании конечного параметра . Из (4.4) видно также, что при выполнении двух условий

,                         (80)

,                           (81)

которые обычно заменяют одним, заведомо более строгим

,                                          (82)

указанная специфика пропадает.

 

 

5 Согласование гауссова пучка  с пассивным резонатором

 

При взаимодействии гауссова пучка  с пассивной оптической системой,  обладающей резонансными свойствами, возникает задача их согласования. Такой оптической системой может быть пассивный интерферометр, используемый для частотного анализа излучения лазера или как дискриминатор в системе стабилизации частоты. В этом случае отсутствие согласования внешнего пучка с интерферометром приводит к большим энергетическим потерям, а также к возбуждению в последнем паразитных типов колебаний, что существенно искажает режим работы. Пассивной оптической системой, требующей согласования, является также оптическая линия передачи.

Здесь отсутствие согласования ведет  к резкому увеличению энергетических потерь и к искажению характеристик (частотных и пространственных) передаваемого излучения.

Согласование гауссова пучка с  внешней пассивной резонансной  системой заключается в таком его  преобразовании, чтобы пространственное распределение поля пучка совпало с полем резонансной моды согласуемой пассивной оптической системы. Согласование сводится к трем моментам: совмещению осей, совмещению плоскостей перетяжек и выравниванию размеров пятен в перетяжках или конфокальных параметров. Первый из указанных моментов осуществляется просто взаимной юстировкой пучка и пассивной резонансной системы. Поэтому обратимся к реализации двух других моментов согласования.

Если пассивный резонатор располагается  внутри активного резонатора, то согласование осуществляется надлежащим выбором  параметров обоих резонаторов без использования специальных согласующих устройств. Если же активный резонатор лазера и согласуемая с ним внешняя пассивная резонансная система имеют свои несовпадающие перетяжки, то согласование обычно осуществляется с помощью положительной тонкой линзы, располагаемой между согласуемыми объектами (рисунок 6). В этом случае преобразованный линзой пучок должен пространственно совпадать с собственной модой пассивной резонансной системы.

Рисунок 6- согласование гауссовых пучков с помощью положительной линзы.

 

Рассмотрим возможность уравнения  конфокальных параметров двух гауссовых  пучков и возникающие здесь количественные соотношения. Для этого обратимся  к формулам преобразования пучка  тонкой линзой:

 

                                (83)

 

                        (84)

 

и проанализируем зависимость коэффициента преобразования () от величины . Эта зависимость изображена на рисунке 7. 

 

Рисунок 7- зависимость коэффициента преобразования от

отношения

Для некоторого конечного значения параметра коэффициент преобразования с ростом сначала падает от начального значения

При    коэффициент достигает минимума, равного, а затем монотонно растет, стремясь к бесконечности при Видно, что при варьировании величины  от 1  до   в принципе возможно достижение любого конфокального параметра преобразованного пучка, удовлетворяющего неравенству  Следовательно, для получения нужного значения  при заданном значении фокусное расстояние линзы не должно быть меньше некоторого минимума, а именно:

 

                     (85)

Найдем теперь правильное положение  согласующей линзы с произвольным фокусным расстоянием, которое больше минимального значения. Из соотношения (83) следует

 

                                     (86)

 

Больший практический интерес представляет выбор знака «+» в формуле (86), что соответствует правой ветви кривой рисунок 5

  Учитывая это обстоятельство, находим

                                  (87)

 

или с учетом (85)

 

                               (88)

Для нахождения расстояния от согласующей линзы до перетяжки преобразованного пучка обратимся к выражению (5.1), из которых следует

 

                                (89)

Подставив значение из формулы (87), найдем

 

                            (90)

или с учетом (85)

                             (91)

Выражения (88)  и (91)  дают значения определяющие положение линзы относительно обеих перетяжек.

В соответствии с вышесказанным  согласующая линза может иметь  в принципе любое фокусное расстояние, большее Однако нетрудно видеть, что при неограниченном возрастании величины   также возрастают расстояния , прямо определяющие габаритные размеры установки. Если полагать (как это бывает на практике), что габаритные установки ограничены, то можно ограничить возможные значения   сверху. Принимая условие

(92)

 

получаем  из (88) и (91)

(93)

Решая это неравенство относительно, находим максимально возможное значение фокусного расстояния согласующей линзы при условии ограничения габаритов установки

                                   (94)

Здесь — максимально допустимое расстояние между перетяжками согласуемых резонансных систем; Обычно второй член в подкоренном выражении значительно меньше первого и поэтому в инженерной практике можно пользоваться приближенным выражением

                                     (95)

Заключение

 

Гауссов пучок - это практически сферическая волна, идущая из центра и обладающая гауссовым распределением интенсивности в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения

Уравнение эйконала является основным уравнением геометрической оптики. Оно позволяет решить задачу распространения световых волн в неоднородной среде в случае, когда относительное изменение амплитуды напряженностей поля должны быть малы по сравнению с размерами системы, выраженными в длинах волн λ.

Гауссовы пучки формируются  в лазерных резонаторах (в частности, в резонаторе полупроводникового лазера) в результате многократного отражения излучения от зеркал. Распределение интенсивности излучения внутри пучка описывается функцией Гаусса.

В зависимости  от назначения лазерной системы необходимо выбрать приемлемый способ трансформации пучка: для передачи энергии на большие расстояния следует увеличивать перетяжку уменьшать угол расходимости; для достижения высокой плотности излучен (лазерная резка, сварка) следует увеличивать апертурный угол, добиваясь минимального размера перетяжки.

Применение формализма лучевых  матриц позволяет просто решить задачу распространения светового луча при распространении в различных  сложных средах, лучевые матрицы  для которых известны. Применение лучевых матриц облегчает и решение задачи на распространение гауссовых пучков в линзоподобной среде, обладающей фокусирующими свойствами и компенсирующей естественную расходимость гауссова пучка.

Гауссовы пучки наиболее просто и полно описывают свойства лазерных световых пучков и собственные типы колебаний открытых резонаторов.

 

 

 

 

Список используемых источников

 

1. Ярив, А. Оптические волны в кристаллах /  А.Ярив,  П. Юх. – М.: Мир, 1987. – 616 с. ил.

2. Хаус, Х. Волны и поля в оптоэлектронике / Х. Хаус – М.: Мир, 1988. – 432 с., ил.

3. Гончаренко, А. М. Гауссовы пучки света / А. М. Гончаренко. – Мн., «Наука и техника», 1977, -29 с.

4. Ищенко, Е. Ф. Открытые оптические резонаторы: Некоторые вопросы теории и расчета / Е. Ф. Ищенко – М.: Сов. радио, 1980 – 208 с., ил.