Гауссовы пучки

 

Другим важным примером является распространение  гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описании произвольная волна представляется в виде линейной суперпозиции мод, каждая из которых характеризуется своей постоянной распространения и поперечным электромагнитным полем. При описании с помощью гауссовых пучков предполагается, что распространение волны в каждой точке подчиняется закону (11), причем параметры пучка и изменяются в соответствии (13).

Вернемся к рассмотрению общего случая линзоподобной среды, когда . В выражении (11) параметры Р и q в соответствии с (13) удовлетворяют следующим уравнениям:

,                      .                            (35)

 

Вводя новую функцию , определяемую следующим образом:

 

,                                                     (36)

из (35) имеем

 

,                                           (37)

 

откуда

,

                                                                                                (38)

 

,                         (39)

 

где а и b — произвольные постоянные, а штрих обозначает производную по z.

Используя (38) и (36) и выражая параметры а и b через входное значение , можно написать следующее выражение для комплексного радиуса пучка :

,                             (40)

где по определению . В геометрической теории построения оптических изображений соотношение (40) между параметром пучка на выходе и его значением на входе известно как условие коллинеарности.

Физический смысл q (r) в данном случае можно выяснить с помощью (11). Выделим часть амплитуды поля , которая содержит :

 

.                                                 (41)

Если  записать вещественную и мнимую части  величины в виде

,                                         (42)

 

то получим

                                      (43)

 

Следовательно, как и в случае однородной среды, когда мы имеем 

гауссов пучок, описываемый выражением (30), величина со (г) представляет собой радиус пучка, a R — радиус кривизны его волнового фронта. В частном случае однородной среды выражение (40) переходит в (19).

 

3.1 Лучи в линзоподобной среде

 

Распространение оптических пучков можно  адекватно описывать с

помощью уравнений Максвелла или (при  определенных условиях) в рамках скалярного волнового уравнения (3). Показатель преломления n в волновом уравнении (3) отражает свойства среды и в общем случае зависит от положения в пространстве. Если n=const, то уравнение (3) имеет решения в виде плоских волн. Если же n зависит от координат, то плоские волны уже не являются решениями. Однако в случае, когда и медленно меняется с расстоянием, решение можно искать в виде, близком к плоской волне настолько, насколько это возможно. Иными словами, мы ищем решение в виде

 

.                                           (44)

 

Здесь и — искомые вещественные функции координат. Следовательно, характеризует амплитуду волны. В случае когда n = const, функция   равна , и поэтому ее называют фазой волны; ее часто называют также эйконалом. Если подставить выражение (44) для в волновое уравнение (3) и предположить, что относительное изменение n на расстояниях порядка длины волны пренебрежимо мало, то скалярное волновое уравнение

принимает вид

 

.                                           (45)

В случае однородной среды интегрирование уравнения (45) дает , где . Уравнение (45) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины , определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам , и, следовательно, описываются также уравнением (45). Если r- радиус-вектор некоторой точки на траектории луча, а s — длина луча, измеряемая от некоторой фиксированной точки на нем, то представляет собой единичный вектор в на- правлении перпендикулярный волновым фронтам. Таким образом, извлекая квадратный корень из (45), получаем уравнение

 

,                                             (46)

которое определяет траекторию луча посредством  эйконала Ф(х). И наоборот, эйконал можно выразить через лучевой интеграл

 

,

в котором интегрирование ведется вдоль траектории луча. Из (45) и (46) можно получить дифференциальное уравнение, которое описывает распространение лучей непосредственно через показатель преломления n (r):

 

.                                           (47)

Для параксиальных лучей (т. е. для  лучей, составляющих очень малые  углы с осью z) можно заменить на . В случае линзоподобной среды, описываемой выражением (6), уравнение для лучей принимает вид

.                                          (48)

Следует заметить, что это уравнение  аналогично (37). Это означает, что в линзоподобной среде в параксиальном приближении пространственная эволюция комплексного параметра пучка q и параметра луча происходит одинаково. Иными словами, для преобразования комплексного параметра пучка q можно применять тот же закон, что и при преобразовании параметра луча. Если луч в любой плоскости z представить в виде вектора

 

,                ,                                           (50)

 

то  из уравнения (48) для линзоподобной среды можно получить лучевую матрицу, такую, что выполняется следующее преобразование:

 

,                             (51)

 

где , а индексы 1 и 2 относятся к плоскостям и соответственно. В таблице 1 приведены лучевые матрицы для некоторых оптических элементов и сред. Заметим, что уравнение (51) можно также записать в виде

 

.                                           (52)

 

 

3.2 Преобразование гауссовых пучков; закон ABCD

 

В предыдущем разделе мы получили законы преобразования гауссова пучка (40) и луча (52) при их распространении в линзоподобной среде, характеризуемой постоянной . Было также показано, что параметр пучка и параметр луча подчиняются одинаковым законам преобразования. Иными словами, преобразование комплексного параметра пучка можно записать в виде

.                                                   (53)

 

Таблица 1 - Матрицы преобразования лучей для некоторых

часто встречающихся оптических элементов  и сред

 

 

где A, В, С, D — элементы лучевой матрицы, связывающей луч в плоскости   с лучом в плоскости   [выражение (51)]. Поскольку оптические элементы в табл. 1 можно рассматривать как частные случаи линзоподобной среды, распространение излучения через эти элементы или отражение излучения от них также подчиняется закону (53). Для дальнейшего рассмотрения полезно заметить, что для тонкой линзы с фокусным расстоянием из соотношения (53) и табл. 1 (п. 2) получаем

 

                                        (54)

откуда для  пучка мы имеем 

,                                            (55)

 

                                         (56)

где   — радиусы пучка соответственно на входе и выходе линзы, а — соответствующие радиусы кривизны. Эти соотношения применимы также для описания отражения от зеркал с радиусом кривизны ,  если заменить в них на .

Рассмотрим теперь распространение  гауссова пучка через две линзоподобные среды, примыкающие друг к другу. Пусть первая среда описывается матрицей с элементами а вторая среда — матрицей с элементами Обозначая входной параметр пучка через,  а выходной через  из (53) получаем следующее выражение для параметра пучка на выходе из среды 1 (плоскость 1):

  ,                                       (57)

а на выходе из среды 2 (плоскость 3) имеем

 

              ,                                        (58)

Сравнение последних  двух выражений дает

 

                                (59)

где — элементы лучевой матрицы, связывающей выходную плоскость 3 с входной плоскостью 1. Таким образом, распространение лазерных пучков

 

                           (60)

 

По индукции нетрудно показать, что  выражение (59) можно применять для описания распространения гауссова пучка через произвольное число линзоподобных сред и элементов. При этом матрица из элементов является упорядоченным произведением матриц, характеризующих отдельные звенья такой цепочки.

Важное значение закона ABCD состоит в том, что он позволяет рассчитать изменение параметра гауссова пучка при его распространении через сложную последовательность линзоподобных элементов. Радиус пучка и его ширина   в любой плоскости могут быть восстановлены с помощью соотношения (42). Для того чтобы понять, как можно использовать этот метод, рассмотрим следующий пример.

 

3.3 Фокусировка гауссова пучка.

 

В качестве иллюстрации применения закона ABCD рассмотрим случай гауссова пучка, который в плоскости его перетяжки падает на тонкую линзу с фокусным расстоянием  (рисунок 4). Задача состоит в том, чтобы найти положение плоскости перетяжки и радиус выходного пучка в этой плоскости.

На входе в линзу (плоскость 1) мы имеем поэтому

 

(61)

 

Используя ( 54), можно написать следующие соотношения:

(62)

 

,                           (63)

 

                                                          (64)

Затем, учитывая (19), в плоскости 3 имеем

(65)

 

(66)

 

Рисунок 4 – фокусирование гауссова пучка.

 

Поскольку по условию задачи выходная плоскость 3 отвечает перетяжке выходного пучка, . Учитывая это, из последнего выражения для координаты новой перетяжки получаем

                  (67)

а отношение  радиусов выходного и входного пучков в плоскостях перетяжки дается выражением

 

                    (68)

 

Параметр конфокальности пучка

(69)

в соответствии с (26) равен расстоянию от перетяжки, на котором ширина входного пучка возрастает в раза, и является удобной характеристикой сходимости входного пучка. Чем меньше   , тем сильнее сходимость пучка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 Преобразование гауссова пучка произвольной оптической системой

 

Рассмотрим изменение параметров гауссова пучка при его прохождении через произвольную  оптическую систему.

 

Рисунок 5 -  преобразование гауссова пучка произвольной оптической

системой

 

Отнесем наше рассмотрение к фиксированному меридиональному сечению пучка и оптической системы (рисунок 5). Пусть пучок, входящий в оптическую систему, характеризуется положением перетяжки относительно входной плоскости и конфокальным параметром . Это эквивалентно заданию комплексного лучевого параметра во входной плоскости системы. Пусть также рассматриваемое меридиональное сечение произвольной оптической системы задается своим лучевым матричным оператором

.                                               (70)

Задача заключается в определении  параметра  в выходной плоскости оптической системы или соответствующей пары величин: конфокального параметра и расстояния от выходной плоскости до перетяжки преобразованного пучка . Последовательно применяя соотношение

 

                                            (71)

для каждой тонкой линзы с фокусом и формулу

                                                (72)

 

Для каждого однородного промежутка длиной , можно вычислить параметры преобразованного пучка.

Из (4.1) видно, что для однородного пространства и для тонкой линзы выполняется соотношение

 

,                             (73)

где A, B, С, D — элементы лучевой матрицы однородного пространства или тонкой линзы.

Учитывая, что любую идеальную  оптическую систему можно представить в виде последовательно расположенных тонких линз и однородных пространств, можно записать закон преобразования комплексного параметра пучка сложной оптической системой:

 

.                                   (74)