Автор работы: Пользователь скрыл имя, 07 Мая 2013 в 15:16, курсовая работа
Работа по рассчету кинематической модели робота
§2. Об исполнительном механизме манипуляционных роботов.
Структурная формула манипулятора.
Основные базовые структуры.
Механизмом называют всякую систему тел, предназначенную для преобразования движения одних тел в требуемое движение других.
В некотором смысле манипулятор удовлетворяет этому определению. Действительно, движение, которое совершается двигателями манипулятора, преобразуется в движение его звеньев по требуемому закону. Вместе с тем, манипулятор представляет собой сложный машинный агрегат, включающий двигатели, передаточные механизмы, систему управления, а также собственно манипуляционный механизм, предназначенный для непосредственного воздействия на рабочую среду. Этот манипуляционный механизм называется исполнительным механизмом манипуляционного робота и в дальнейшем будет для краткости именоваться манипулятором.
При построении математической модели манипулятора мы не будем касаться вопросов устройства и работы двигателей и передаточных механизмов.
Условимся называть тела, образующие исполнительный механизм, его звеньями и примем предположение о том, что эти тела являются абсолютно твердыми. Каждое звено манипулятора может состоять из совокупности многих деталей; признаком принадлежности их к одному звену является их относительная неподвижность в процессе движения.
Звенья манипулятора образуют кинематические пары, то есть такие соединения двух соприкасающихся звеньев, которые допускают их относительное перемещение.
Число степеней свободы звеньев кинематической пары в относительном движении определяется как , где - число условий связи, наложенных на относительное движение звеньев, . Число определяет класс кинематической пары , так шаровой шарнир является парой третьего класса, цилиндрическая пара вращения и призматическая пара поступательного движения являются парами пятого класса. Независимо от конструктивного выполнения кинематическую пару пятого класса назовем вращательной парой, если она допускает относительное вращение звеньев, и поступательной парой, если она допускает их относительное поступательное перемещение. Схематическое изображение вращательных (рис.1а) и поступательных (рис.1б) пар пятого класса с одним неподвижным звеном показано на рис.1.
Система звеньев, образующих кинематические пары, называется кинематической цепью. Если при этом имеются звенья, входящие только в одну кинематическую пару, то кинематическая цепь называется разомкнутой. Если же каждое звено входит хотя бы в две кинематические пары, то цепь называется замкнутой. Исполнительный механизм робота представляет собой разомкнутую кинематическую цепь. Механизмом, вообще говоря, является лишь такая кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев все остальные звенья совершают однозначно определенные движения. Именно это условие позволяет совершать с помощью механизма целенаправленные движения.
Число независимых движений, в которых могут участвовать звенья манипулятора, определяет число его степеней подвижности. Для пространственной кинематической цепи число степеней подвижности относительно неподвижного звена определяется формулой
где - число подвижных звеньев, - число кинематических пар -го класса. Для кинематической цепи, включающей только пары пятого класса , а в случае, когда число подвижных звеньев равно числу кинематических пар пятого класса .
Замечание: не следует путать число степеней подвижности механизма с числом степеней свободы его последнего звена и связанного с ним рабочего органа. Число степеней свободы рабочего органа не может быть больше 6, тогда как число степеней подвижности манипулятора можно сделать любым. Очевидно только, что при число степеней свободы рабочего органа будет также меньше 6, но условие не обязательно обеспечивает 6 степеней свободы рабочего органа.
Для того, чтобы иметь возможность свободно перемещать и произвольно ориентировать объект манипулирования в рабочей зоне механизм должен обеспечивать 6 степеней свободы рабочему органу. Если это достигается числом степеней подвижности, большим 6, то такой механизм называется механизмом с двигательной избыточностью. Такого рода механизмы обеспечивают необходимую маневренность руке робота (при наличии, например, препятствий в рабочей зоне, при необходимости проникновения руки в труднодоступные места и пр.) (рис.2).
Надо отметить, что множественность
степеней подвижности является одним
из главных свойств живых
Кинематические пары третьего или четвертого классов независимо от их конструктивного исполнения можно заменить соответственно тремя или двумя парами пятого класса. Условие замены состоит в том, чтобы сохранилось число степеней подвижности и относительное положение всех звеньев. Такая замена позволяет представить кинематические схемы различных по своей конструкции исполнительных механизмов в виде схем, содержащих только кинематические пары пятого класса. Это облегчает процедуру построения математических моделей и последующего расчета манипуляторов на ЭВМ.
Условимся в дальнейшем рассматривать только манипуляторы, состоящие из кинематических пар пятого класса, обеспечивающих возможность вращения вокруг некоторой оси или поступательного перемещения вдоль оси. Эту ось называют осью кинематической пары.
При описании манипулятора будем обозначать его звенья порядковыми номерами от 0 до (0 – номер неподвижного звена – стойки). Кинематической паре, образованной -м и -м звеньями присваиваем номер ( ).
Последовательность и тип
Задача достижения характеристической точкой рабочего органа (полюсом) определенной точки рабочей зоны называется задачей позиционирования, тогда как задача достижения определенного положения рабочего органа в заданной точке рабочей зоны называется задачей ориентации. При решении какой-то технологической задачи эти две проблемы могут быть разделены и решаться последовательно. Для решения задачи позиционирования исполнительный механизм робота должен обеспечить схвату 3 степени свободы. Этого можно достичь тремя степенями подвижности; соответствующие механизмы называются базовыми структурами. Для решения задачи ориентации к базовой кинематической цепи необходимо добавить по крайней мере еще три звена.
На рис.3-6 приведены примеры основных базовых структур (основные структурные кинематические схемы).
§3. Обобщенные и операционные координаты манипулятора.
Формулировка прямой и обратной задач кинематики манипулятора.
В процессе выполнения технологических задач рука робота меняет свою конфигурацию. Описать конфигурацию манипулятора – значит указать положение каждого последующего звена по отношению к предыдущему. Это можно сделать путем введения обобщенных координат манипулятора – независимых параметров, однозначно характеризующих его конфигурацию. Так, если -я пара – вращательная, то положение -го звена по отношению к -му однозначно определится углом поворота -го звена относительно -го и можно положить . Если же -я пара – поступательная, то , где - смещение -го звена по отношению к -му, . Для манипуляторов с кинематическими парами пятого класса число обобщенных координат равно числу звеньев и вектор однозначно определяет конфигурацию манипулятора, а различным наборам обобщенных координат соответствует пространство конфигураций . Границы этого -мерного пространства определяются конструктивными ограничениями на : .
Операционными координатами манипулятора называются параметры, однозначно характеризующие положение его рабочего органа в базовой (связанной со стойкой ) системе координат. Под положением рабочего органа как твердого тела понимают положение его характеристической точки (полюса) и ориентацию относительно этой точки. Положение полюса можно задать декартовыми, цилиндрическими или любыми другими координатами в базовой системе. Ориентация может быть задана, например, направляющими косинусами осей координат, жестко связанных с рабочим органом, по отношению к осям базовой системы. В этом случае вектор операционных координат состоит из 12 компонент: трех координат полюса и 9 направляющих косинусов, однако независимых компонент 6, так как направляющие косинусы связаны шестью условиями ортонормальности.
Ориентацию рабочего органа можно задать и углами Эйлера (рис.7): углом собственного вращения , углом прецессии и углом нутации . В этом случае компоненты вектора операционных координат будут независимы.
Каждой конфигурации манипулятора соответствует вполне определенное положение его рабочего органа, то есть
, (3.1)
где - однозначная и дифференцируемая почти всюду вектор-функция.
Задача определения положения и ориентации рабочего органа по заданной конфигурации называется прямой задачей кинематики манипулятора. Эта задача будет решена, если найдется явный вид зависимости (3.1).
Каждому положению рабочего органа может соответствовать одна или несколько конфигураций манипулятора. Задача определения этих конфигураций по заданному положению рабочего органа называется обратной задачей кинематики манипулятора. Математически задача состоит в обращении зависимости (3.1), то есть в нахождении функции
. (3.2)
§4. Матрицы поворота и их свойства. Формула Родриго.
Как известно, всякое конечное перемещение твердого тела с одной неподвижной точкой можно совершить одним поворотом этого тела вокруг оси конечного вращения, проходящей через неподвижную точку. Пусть твердое тело повернулось на угол вокруг оси , , проходящей через точку - начало неподвижной системы координат, причем поворот осуществился против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Пусть - радиус-вектор некоторой точки тела до поворота, а - радиус-вектор той же точки после поворота.
Рис.8
В результате поворота жестко связанная с телом система координат, до поворота совпадавшая с неподвижной системой , переходит в положение (рис.8). Обозначим , , . Пусть - основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось конечного вращения , - основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Очевидно, что и прямая перпендикулярна плоскости . Если - единичный вектор , то
, а
. (4.1)
Очевидно, что
, (4.2)
а , где
, (4.3)
так что . (4.4)
Подставляя (4.1), (4.4) с учетом (4.3) в (4.2) получим
или после преобразования
. (4.5)
Формула (4.5) дает связь между радиус-векторами точки до и после поворота на угол вокруг оси и называется формулой Родриго.
Запишем эту формулу в матричном виде. Пусть
, , где - координаты точки в неподвижной системе , с которой до поворота совпадала система . Тогда , где - единичная матрица.
=
Теперь формулу Родриго можно записать в виде
. (4.6)
Здесь - матрица поворота на угол вокруг оси с направляющим вектором . Явный вид этой матрицы выражается формулой
(4.7)
Матрица является матрицей поворота системы в систему . Ее столбцы представляют собой направляющие косинусы орт системы в системе . В частности повороты вокруг координатных осей задаются матрицами
. (4.8)
Выведем теперь формулы, выражающие направляющие косинусы оси конечного вращения и угол поворота через элементы матрицы поворота . Найдем след матрицы .
откуда определим угол поворота
. (4.9)
Очевидно, что , , , так что
, , . (4.10)
Отметим, что формула (4.6) может иметь два истолкования.
1). Она дает связь между радиус-
2). Она связывает радиус-векторы фиксированной точки тела в разных системах координат: - радиус-вектор точки в системе , неизменно связанной с телом, - радиус-вектор той же точки, но в неподвижной системе , относительно которой система повернута на угол вокруг оси .
Основные свойства матриц поворота.
1). Матрица, обратная матрице
поворота,- тоже матрица поворота
вокруг той же оси, на тот
же угол, но в противоположном
направлении; она получается
2). .
3). Произведение матриц поворота есть матрица поворота.
4). Столбцы матрицы поворота – проекции ортов повернутой системы координат, жестко связанной с вращающимся телом, на оси неподвижной системы.