Робот с тремя степенями свободы

5). Строки матрицы поворота –  проекции ортов неподвижной системы координат на оси повернутой системы, жестко связанной с вращающимся телом.

6). ,                 (4.11)

где - вспомогательная матрица, зависящая только от положения оси вращения

.    (4.12)

В частности

, , .

Формула (4.11) позволяет формализовать вычисление производных от матриц поворота.

 

§5. Проективное пространство

.

Линейные преобразования в 

.

 

В трехмерном евклидовом пространстве любое линейное преобразование, сохраняющее расстояния между точками (движение), представляет собой композицию параллельного переноса и поворота, то есть

,     (5.1)

где - радиус-вектор некоторой точки в системе , -  радиус-вектор той же точки в системе , - матрица поворота системы относительно системы до совмещения направлений соответствующих  осей этих систем.

Представление линейного  преобразования в виде суммы (5.1) неудобно для формализации вычислений.

Известно, что пространство можно рассматривать как подпространство проективного пространства . Элементы этого пространства – трехмерные векторы удобно представлять четверками действительных чисел , таких что:

1. ,

2. для любого .

Эти числа называют однородными  координатами вектора  .

Однородные координаты вектора  связаны с его аффинными координатами отношениями . Если , то и .

Отсюда и вытекает, что   есть подпространство такое, что . В принятых обозначениях нулевой вектор записывается как . Векторы вида из представляют собой бесконечно удаленные точки пространства, соответствующие направлению в .

Основные операции над  векторами в однородных координатах  выполняются следующим образом.

1. ;

2.

3.

4.

5. .

Плоскость в  также задается четверкой действительных чисел ; первые три из них представляют собой декартовы координаты единичного вектора внешней нормали к плоскости, равно взятому со знаком «минус» расстоянию от начала координат до плоскости.

Точки проективного пространства   определяют направления осей системы координат.

Линейные преобразования в  задаются произвольными матрицами . При этом линейным преобразованиям , рассматриваемого как подпространство , соответствуют матрицы вида

, где  - матрица .

Среди всех линейных преобразований нас интересуют вращения и сдвиги. Очевидно, что преобразования вращения в задаются матрицами вида  , где - ортогональная матрица поворота , элементы которой   являются направляющими косинусами осей повернутой системы координат относительно неподвижной системы . Преобразования сдвига задаются в матрицами вида

, где  .

Очевидно, что движения в  , представимые в виде композиции вращения и сдвига, определяются произведением матриц

.                         (5.2)

Обратное преобразование задается матрицей

.       (5.3)

Итак, если система  переходит в систему движением, определяемым матрицей , а система переходит в систему движением, определяемым матрицей , и некоторый вектор имеет в этих системах координаты и соответственно, то преобразование осуществляется по формулам

 

       и       ,    (5.4)

 

формулы же преобразования координат  совпадают с соответствующими формулами  в 

    (5.5)

 

Однородная запись линейного преобразования (5.4) в в отличие от записи (5.1) в позволяет компактно и унифицировано записывать многие геометрические, кинематические и динамические соотношения для сложных пространственных механизмов, каковыми являются манипуляторы.

Отметим еще раз, что  матрица  полностью описывает положение системы по отношению к системе . Ее первые три столбца являются направляющими косинусами  ортов системы в системе , четвертый столбец представляет координаты вектора в системе .

 

§6. Выбор и преобразование систем координат, связанных со звеньями манипулятора. Параметры  Денави-Хартенберга.

 

Уравнения кинематики и  динамики манипулятора по сложности  и наглядности зависят  от выбора его обобщенных координат  и систем координат, жестко связанных со звеньями. В  3 мы уже условились о выборе обобщенных координат, характеризующих конфигурацию манипулятора. Приведем один из возможных и наиболее универсальных вариантов выбора ортогональных систем координат, жестко связанных со звеньями манипулятора.

Напомним, что осью вращательной пары , связывающей звенья и , является ось цилиндрического шарнира, жестко связанная со звеном , вокруг которой вращается звено . Для поступательной пары осью является любая прямая, параллельная вектору скорости поступательного движения звена относительно звена .

С каждым звеном манипулятора от 0 (стойка) до (схват) свяжем свою декартову систему координат следующим образом.

Базовую неподвижную систему, связанную со стойкой манипулятора выбираем так: начало системы точка  - любая точка оси (0)-й кинематической пары; ось направляем по оси этой пары, ось направляем произвольно в плоскости, перпендикулярной оси , ось направляем по правилу правой тройки.

Ось системы, жестко связанной с -м звеном ( ) направляем по оси -й кинематической пары. Точка выбирается на общем перпендикуляре к осям , либо в точке их пересечения, если таковая имеется, либо в любой точке оси -й кинематической пары, если оси совпадают или параллельны. За направление оси можно брать направление вектора , если оси не параллельны. Если же эти оси параллельны,  то направляем по вектору . Если оси совпадают, то любые направления для оси равнозначны. Ось направляем по правилу правой тройки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Систему выбираем так: начало помещаем в характеристическую точку рабочего органа; направления осей стараемся согласовать с геометрией схвата, направляя ось в «продольном» направлении, - в «поперечном», - по правилу правой тройки (рис. 9). Орты этой системы координат определяют ориентацию рабочего органа.

 На рис. 10 приведен пример выбора систем координат, жестко связанных со звеньями манипулятора, структурная формула которого .

 

 

Итак, каждая -я система координат, , связана с -м звеном манипулятора. Перемещение -й системы относительно -й характеризует движение -го звена относительно -го. Это движение при введенных ограничениях может быть либо поворотом на угол вокруг оси , либо сдвигом вдоль этой оси на величину .

При указанном выборе систем координат звеньев взаимное расположение и -й систем характеризуется следующими параметрами, называемыми параметрами Денави-Хартенберга (рис. 11):

 

 

 

1) углом  между осью и лучом, проведенным из точки параллельно оси ;

2) алгебраической величиной отрезка ;

3) алгебраической величиной  отрезка ;

4) углом  между осями и .

Система координат  переходит в систему с помощью четырех элементарных преобразований, выполняемых в следующем порядке:

1) поворот на угол  вокруг оси до тех пор, пока ось не станет параллельна оси ;

2) перенос на величину  вдоль оси до тех пор , пока оси и не окажутся на одной прямой;

3) перенос на величину  вдоль оси до тех пор, пока точка не совпадет с точкой ;

4) поворот на угол  вокруг оси до тех пор, пока система не совместится с системой .

Каждому из указанных преобразований соответствует своя матрица преобразования в  :

 

                     ,    , 

 

,   ,

так что

,   ,  ,   .

      Преобразование системы  в систему можно теперь представить как композицию указанных элементарных преобразований

           (6.1)

 с соответствующей матрицей 

         ,   (6.2)

которую в соответствии с (6.1) будем  называть матрицей перехода от -й системы координат в -ю.

Обратная матрица  , то есть матрица перехода из -й системы координат в -ю может быть вычислена по формулу (5.3)

 

  (6.3)

 

так что

.      (6.4)

Очевидно, эту матрицу тоже можно  представить в виде произведения четырех матриц, соответствующих  элементарным преобразованиям  -й системы в -ю.

,

 

,     ,

 

,    .

 

           Если  -я пара – вращательная, то параметры являются постоянными и переменной будет только величина , характеризующая поворот в кинематической паре. Как было ранее условлено эта величина и принимается за обобщенную координату .

Если  -я пара – поступательная, то постоянными будут , а переменной – величина . Так что

   

,  где . 

Обобщая формулы (4.11), (4.12) для дифференцирования матриц поворота в , можно записать, что

,      (6.5)

где   , если -я пара вращательная и                       (6.6)

  , если -я пара поступательная.                       (6.7)

Свойство (6.5) матриц очень полезно при математическом моделировании манипуляторов, так как позволяет заменить трудоемкую операцию дифференцирования операцией умножения матриц.

Еще раз подчеркнем, что матрица  однозначно определяется обобщенной координатой ( или ) и геометрическими и конструктивными параметрами ( или ) манипулятора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§7. Уравнение кинематики манипулятора.

Прямая задача кинематики.

 

Пусть - радиус-вектор некоторой точки пространства в -й системе координат, . Для инерциальной системы, связанной с неподвижной стойкой манипулятора индекс 0 будем опускать:  
- радиус-вектор той же точки пространства в базовой системе координат. По формуле (6.1) , где - матрица перехода из -й системы в -ю, - радиус-вектор указанной точки в системе . Аналогично можно записать, что

 и т.д., так что

,     (7.1)

где

-     (7.2)

матрица перехода из -й системы в базовую.

Если  и , то и . В случае, когда :   

.

Итак,

,    (7.3)

где  - матрица перехода из -й системы в -ю. Если , то

-     (7.4)

матрица перехода от системы координат, связанной со схватом, в базовую систему.

Так как все матрицы  , однозначно выражаются через и геометрические и конструктивные характеристики звеньев манипулятора, то равенство (7.1) позволяет установить зависимость между обобщенными координатами и декартовыми координатами произвольной точки манипулятора. Уравнение

      (7.5)

дает связь между обобщенными  координатами манипулятора и координатами любой точки схвата в инерциальной системе.

Согласно ранее сказанному элементы матрицы  имеют известный геометрический смысл: ее четвертый столбец есть вектор , то есть определяет положение полюса схвата в базовой системе координат; первые три столбца являются направляющими косинусами ортов системы в базовой системе, то есть определяют ориентацию схвата,  так что можно записать

.   (7.6)