Робот с тремя степенями свободы

Поскольку при движении манипулятора его обобщенные координаты изменяются со временем , то и элементы матрицы также являются функциями времени .

Матрица решает прямую задачу кинематики манипулятора, сформулированную в 3 то есть задачу определения положения и ориентации рабочего органа по заданной конфигурации (обобщенным координатам) манипулятора. Действительно, чтобы получить явный вид зависимости (3.1), выберем в качестве операционных координат наддиагональные элементы матрицы

.   (7.7)

Первые три из операционных координат являются координатами полюса схвата в базовой системе, оставшиеся три являются  независимыми направляющими косинусами осей, связанных со схватом, в базовой системе. Остальные направляющие косинусы выражаются через них с помощью условий ортонормируемости. Легко показать, что

,      (7.8)

где

.   (7.9)

Здесь

  -  (7.10)

единичные векторы осей и нулевой  вектор в  , , - транспонированные векторы.

Таким образом, решение прямой задачи кинематики сводится к вычислению матрицы , следовательно, всегда существует и единственно.

 

§8. Обратная задача кинематики манипулятора.

 

При проектировании робота приходится решать задачу определения таких  законов изменения обобщенных координат, которые обеспечивали бы заданное перемещение  его рабочего органа, то есть обратную задачу кинематики манипулятора (3.2). Аналитическое решение этой задачи весьма затруднительно, так как связано с решением системы шести нелинейных уравнений (7.8) с неизвестными ( - число степеней подвижности манипулятора). При задача может быть неразрешимой, при решение может быть неединственным.

Приведем достаточно универсальный  алгоритм решения обратной задачи кинематики манипулятора, основанный на использовании матриц однородного преобразования координат его звеньев .

1. Задаем вектор  , определяющий желаемое положение и ориентацию рабочего органа.

2. Вычисляем матрицу  , соответствующую вектору .

3. Умножаем матричное равенство   слева на матрицу и приходим к равенству   или

.     (8.1)

 Левая часть этого равенства  зависит от обобщенных координат , а правая – только от обобщенной координаты . Сравнивая соответствующие элементы  (8.1), пытаемся найти уравнение, из которого можно определить . Подставляя найденное значение в правую часть (8.1), получаем равенство .

4. Далее повторяем пункт 3. Умножаем  последнее равенство слева на  матрицу  и приходим к равенству

,

из которого пытаемся найти  и т. д., пока не определим все обобщенные координаты.

           Замечания: 1). Для облегчения вычислений при решении обратной задачи кинематики полезно, решая прямую задачу, вычислить не только матрицы , но и матрицы , что позволит дополнительно проверить правильность нахождения матрицы .

2). Нахождение  из равенства  не всегда возможно, то есть алгоритм не является универсальным. Но в большинстве практических случаев некоторые элементы матрицы оказываются постоянными, тогда нахождение производится идентификацией соответствующих элементов матриц и .

3). На практике идентификация  элементов матриц  и может позволить найти не только , но и , то есть процесс может закончиться раньше -го шага.

4). Если манипулятор заканчивается  тремя вращательными парами, оси  которых пересекаются в одной  точке, например, , что часто встречается на практике, то для упрощения вычислений удобно вместо системы взять систему , оси которой параллельны осям системы , а начало находится в точке . Матрицы , как и матрицы легко выводятся из матриц и . Приведенный алгоритм в этом случае сохраняется, но строится на базе матриц и .

Пример решения прямой и обратной задач кинематики для конкретного  манипулятора приведен в 10.

 

 

§9. Основные кинематические соотношения.

Прямая задача о скоростях.

 

 Прямая задача о скоростях состоит в определении абсолютных скоростей точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей звеньев при заданных законах изменения обобщенных координат .

 

Рассмотрим фиксированную точку -го звена, радиус-вектор которой в -й системе координат . Известно по (7.2), что радиус-вектор этой точки в базовой системе

.     (9.1)

Обозначим - скорость и ускорение рассматриваемой точки в базовой системе координат, то есть ее абсолютные скорость и ускорение. Тогда

,     (9.2)

.     (9.3)

Так как

  ,    (9.4)

,  ,     (9.5)

 

то        ,                 (9.6)

.   (9.7)

Среди всех матриц от зависит только матрица , поэтому в силу (6.5) будем иметь

 

                   (9.8)

 

           (9.9)

 

 определяются формулами (6.6), (6.7). Все элементы матрицы нули, если -я пара поступательная. Если -я пара вращательная, то

.     (9.10) 

Если, в частности, выбранная нами точка совпадает с началом координат -й системы, то и формулы (9.6), (9.7) примут вид

  ,      (9.11)

 

.   (9.12)

Для определения абсолютных угловых скоростей и ускорений звеньев манипулятора заметим, что переносным движением -й системы является абсолютное движение -й системы по отношению к базовой. Тогда

,

где - угловая скорость -го звена относительно -го в базовой системе. Угловая скорость  -го звена относительно -го в -й системе , если -я пара вращательная и , если -я пара поступательная. По формуле преобразования (7.1)

,

так что

,    (9.13)

где ,  и суммирование в (9.13) производится по индексам, соответствующим только вращательным парам.

Дифференцируя (9.13) по времени и пользуясь второй формулой (9.4), получим выражение для вектора абсолютного ускорения -го звена в базовой системе

.   (9.14)

В этой формуле суммирование также  производится по индексам, соответствующим только вращательным парам.

Полагая в (9.11)–(9.14) , получим формулы для абсолютных скорости  и ускорения характеристической точки схвата и для его угловой скорости и углового ускорения в базовой системе.

Формулы (9.11)–(9.14) решают прямую задачу о скоростях и ускорениях. Чтобы записать ее решение более компактно, введем в рассмотрение шестимерный вектор

,    (9.15)

 где   - вектор абсолютной скорости полюса схвата, - вектор абсолютной угловой скорости схвата в базовой системе. Тогда формулы (9.11), (9.13) для можно записать в виде

      (9.16)

где - вектор обобщенных скоростей,  а матрица , называемая матрицей Якоби, имеет вид, например, для манипулятора со структурной формулой 

 

=           (9.17)

 

=

=

 

= (9.18

 

В общем случае последние три  элемента -го столбца матрицы Якоби будут нулевыми, если в -й позиции структурной формулы стоит буква , то есть -я пара поступательная.

Обратная задача о скоростях состоит в определении обобщенных скоростей из системы линейных уравнений (9.16). Если ранг матрицы Якоби равен 6, то умножая обе части (9.16) на , получим

,      (9.19)

либо процедурно дело сводится к  решению системы линейных уравнений

(9. 16).

Матрице Якоби можно дать другое представление, если записать формулу (9.13) для схвата так

,    (9.20)

где - орт оси в базовой системе и суммирование в (9.20) производится только по вращательным парам.

По теореме о сложении скоростей  для схвата

,                                 (9.21)

где - радиус-вектор полюса схвата относительно системы , записанный в абсолютной системе; суммирование по производится только по вращательным парам, суммирование по - только по поступательным парам. Учитывая, что , формулу (9.21) можно записать в виде

.    (9.22)

Очевидно (рис. 12), что

.     (9.23)

Имея выражения (9.22), (9.23) матрицу Якоби для манипулятора с той же структурной формулой можно представить в виде

 

. (9.24)

При использовании этой формулы  следует иметь в виду, что и являются соответственно третьим и четвертым столбцами матрицы .

 

§10. Пример кинематического расчета манипулятора Пола.

 

10.1. Кинематическая схема манипулятора. Системы координат звеньев.

          Таблица параметров Денави –  Хартенберга.

 

Ричард Пол – участник Стэнфордского  проекта по искусственному интеллекту - в излагает сущность одного конкретного проекта современного робота-манипулятора с элементами искусственного интеллекта, предназначенного для исследовательских целей.

Кинематическая схема манипулятора Пола, структурная формула которого , представлена на рис. 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

Системы координат звеньев (рис.14) выбраны в соответствии с алгоритмом, описанным в 6. Так как оси трех последних вращательных пар пересекаются в одной точке, то для наглядности системы координат, связанные с последними тремя звеньями, изображены дополнительно на рис. 15.

 

 

 

 

Преобразуя мысленно каждую -ю систему координат в -ю, заполняем таблицу параметров Денави – Хартенберга (таблица 1).

N	Тип			S
1	R	1			0
2	R	2			0
3	P	3			0	0
4	R	4		0	0
5	R	5		0	0
6	R	6			0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.2. Решение прямой задачи кинематики.

Используя формулу (6.2) записываем матрицы  , заменяя для краткости , .

 

,   ,   ,

,  ,  .

 

Перемножая матрицы  , находим матрицы .

 

,

,

,

 

                                ,

 

 

 

 

 

.

 

Для упрощения расчетов при решении  обратной задачи кинематики вычислим матрицы  .

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 совпадает с уже вычисленной  матрицей.

 

10.3. Решение обратной задачи кинематики.

Согласно замечанию 4 8 выберем систему  . При этом во всех матрицах надо положить . Пусть

. Тогда  , где и

-

матрица с заданными элементами, определяющими положение и ориентацию рабочего органа в базовой системе. В дальнейшем для краткости записи значок будем опускать.

Используя формулу (6.3) для матриц   запишем

 

,   ,   ,

,   , .

 

Полагаем  и вычисляем

 

=

 

= . (10.1)

 

Сравниваем элементы полученной матрицы и матрицы , вычисленной в п. 10.2, учитывая, что . Идентифицируя элементы матриц с индексами (3,4), придем к уравнению

 

 

Замечание: Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие ; стандартные решения этого уравнения могут быть записаны в виде

 

,   ,  . (10.2)

 

Используя формулы (10.2), получим

 

   (10.3)

 

при условии 

.      (10.4)

 

После подстановки (10.3) в (10.1) получим  матрицу 

 

,   , все элементы которой известны.

 

Полагаем  и вычисляем

 

 

.  (10.5)

 

Сравниваем элементы полученной матрицы  и матрицы  , вычисленной в п. 10.2, учитывая, что . Идентифицируя элементы матриц с индексами (1,4), придем к уравнению