Анализ рядов динамики

 

 

 

Расчёт средних  показателей анализа ряда динамики объемов реализации произведенной  продукции

В табл. 2 представлены данные, характеризующие динамику изменения  уровней ряда за отдельные периоды  времени. Для обобщающей оценки изменений  уровней ряда за весь рассматриваемый  период времени необходимо рассчитать средние показатели динамики. В анализе  динамики развития явления  в зависимости  от вида исходного ряда динамики используются  различные средние показатели динамики, характеризующие изменения ряда динамики в целом.

1. Средний уровень  ряда динамики ( ) характеризует типичную величину уровней ряда. Показатель рассчитывается по разным формулам для различных видов рядов динамики – интервальных, моментных, с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями.

Для интервального ряда динамики с равноотстоящими уровнями времени  средний уровень ряда определяется как простая арифметическая средняя  из уровней ряда:

                                   

                                                                (9)

где n- число уровней ряда.

В случае неравноотстоящих уровней для расчета    используется средняя арифметическая взвешенная:

                                

                                                     (10)

где веса t_i– длительность интервалов времени (дней месяцев и т.д) между смежными уровнями.

Для моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями  средний  уровень ряда определяется по формуле  средней хронологической простой:

 

                                (11)

где n- число уровней ряда.

В случае неравноотстоящих уровней применяется формула  средней хронологической взвешенной:

             

                       (12)

 

2. Средний абсолютный прирост ( ) является обобщающей характеристикой индивидуальных абсолютных приростов и  определяется как простая арифметическая средняя из цепных абсолютных приростов:

                            (13)

где n- число уровней ряда.

3. Средний темп  роста ( ) – это сводная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней ряда, показывающая во сколько раз изменялись уровни ряда в среднем за единицу времени. Показатель может быть рассчитан по формуле средней геометрической простой:

                       

  ,                                        (14)

где величины Т_рi^ц выражены в коэффициентах, или же по формуле

                                            ,                                                                   (15)

где  n – число уровней ряда.               

4. Средний темп прироста ( )рассчитывают с использованием среднего темпа роста:

                                                      (16)

В проводимом исследовании  рассматривается интервальный ряд  динамики с равноотстоящими уровнями. С учётом этого обстоятельства для  расчета  использована формула (9), для расчета всех остальных средних показателей -  соответствующие формулы (13)-(16).

 

1. Среднегодовой объем  реализации продукции: 

2. Среднегодовое абсолютное  снижение объемов реализации  продукции:

       

3. Среднегодовой темп  снижения объемов реализации  продукции: 

 

4. Среднегодовой темп  сокращения объемов реализации  продукции:

               

За исследуемый период средний объем реализации произведенной  продукции составил 20607,8 тыс. тонн. Выявлена положительная динамика реализации продукции: ежегодное увеличение объема реализации составляло в среднем 1135,4 тыс. тонн или 4,8%.

График динамики  объемов  реализации продукции представлен  на рис.1

Рис.1 –Динамика  объемов реализации продукции за пятилетний период.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. СГЛАЖИВАНИЕ РЯДА ДИНАМИКИ

 

Целью выполнения данного  задания является выявление основной тенденции (тренда) ряда динамики объемов реализации продукции за годовой период, используя методы укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания, а также отражение полученных результатов с помощью графического метода.

Суть различных приемов  сглаживания рядов с целью  выявления трендов с водится  к замене фактических уровней  ряда расчетными уровнями, которые  в меньшей степени подвержены колебаниям, что способствует более  четкому проявлению основной тенденции  развития ряда.

 

Сглаживание ряда динамики методом укрупнения интервалов

Метод укрупнения интервалов – метод, при котором первоначальный ряд динамики заменяется другим рядом динамики, с большими временными промежутками (например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячных данных, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями). Возможно прямое суммирование уровней укрупненного периода или же расчет средних уровней за укрупненный период.

В соответствии с заданием 2 производится укрупнение интервалов последнего (пятого) года рассматриваемого пятилетнего периода путём перехода от помесячных к поквартальным данным об объеме реализации  продукции (табл.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

Расчётная таблица для определения  укрупнённых (поквартальных) данных об объеме реализации продукции

Месяцы	Объем реализации продукции, тыс. тонн	Кварталы	Объем реализации продукции, тыс. тонн	Среднемесячный объем реализации продукции, тыс. тонн
Январь	1 262,3	первый	4125,0	1375,0
февраль	1 250,7
Март	1 612,0
Апрель	1 950,0	второй	6694,0	2231,3
Май	2 116,0
Июнь	2 628,0
Июль	2 606,0	третий	6641,5	2213,8
Август	2 178,2
сентябрь	1 857,3
Октябрь	1 544,0	четвёртый	3889,4	1296,5
Ноябрь	1 200,7
декабрь	1 144,7
Итого	21349,90	Итого	21349,9	1779,2

 

На основе среднемесячных данных табл. 3 построена эмпирическая кривая, представляющая собой график динамики развития изучаемого явления (рис. 2)

 

Рис. 2. График поквартальной динамики среднемесячных объемов реализации продукции

 

Данные табл. 3 и рис. 2, показывают, что в результате применения метода укрупнения интервалов проявилась тенденция развития явления, для отображения которой целесообразно использовать параболическую функцию .

 

Сглаживание ряда динамики с применением  скользящей средней

Метод скользящей средней – метод, при котором формируют укрупнённые интервалы, состоящие из одинакового числа уровней, - трехзвенные, пятизвенные, семизвенные и т.д. При этом соблюдается правило: каждый последующий укрупненный интервал получают, путем постепенного смещения начала отсчета интервала на один уровень (отбрасывается один уровень в начале интервала и добавляется один следующий). Для трёхзвенного укрупнения интервалов :

первый интервал: y₁, y₂, y₃;

второй интервал: y₂, y₃, y₄;

……………………………;

последний интервал:  y_n-2, y_n-1, y_n.

 

По каждому из полученных укрупненных интервалов определяется средний уровень. Таким образом, при расчете средних они как  бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу (от сюда название «скользящая средняя»). Выровненные данные отображаются эмпирической кривой.

При выполнении задания 2 на основании исходных данных табл. 1 для последнего (пятого) года определены значения скользящей трёхзвенной суммы, а также рассчитаны значения скользящей средней.

При этом сначала было произведен расчет средней за первые три месяца:

( )=1375,0 тыс. тонн

 Затем определена средняя  за три месяца, начиная с февраля:

( )=1604,2 тыс. тонн.

и т.д. Полученный новый ряд динамики, состоящий из скользящих средних  уровней, представлен в табл.4.

Таблица 4

Расчётная таблица  для определения значений скользящей средней

Месяцы	Объем реализации, тыс. тонн	Скользящая трёхзвенная сумма, тыс. тонн	Скользящая средняя, тыс. тонн
январь	1 262,3	-	-
февраль	1 250,7	4125,0	1375,0
март	1 612,0	4812,7	1604,2
апрель	1 950,0	5678,0	1892,6
май	2 116,0	6694,0	2231,3
июнь	2 628,0	7350,0	2450,0
июль	2 606,0	7412,2	2470,7
август	2 178,2	6641,5	2213,8
сентябрь	1 857,3	5579,5	1859,8
октябрь	1 544,0	4602,0	1534,0
ноябрь	1 200,7	3889,4	1296,5
декабрь	1 144,7	-	-

 

Эмпирическая кривая, иллюстрирующая сглаженный ряд динамики, построенный  методом скользящих средних  представлена на рис. 3.

Рис. 3. График динамики объемов реализации продукции рассчитанных методом скользящей средней

Как показывают данные табл.4, а также рис.3, значения скользящей средней до середины года систематически возрастали, но к концу года снизились  до исходного уровня (даже несколько  ниже его), что свидетельствует о  параболической тенденции изменения  объемов реализации продукции за последний год рассматриваемого периода.

 

Сглаживание ряда динамики с помощью метода аналитического выравнивания

В отличие от двух предыдущих методов (укрупнения интервалов, скользящей средней) метод аналитического выравнивания позволяет не только выровнять данные, но и представить развитие ряда динамики в виде функции времени у =f(t).

При таком подходе изменение  явления связывают лишь с течением времени: считается, что влияние  других факторов несущественно или  же косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построчная модель у=f(t) должна соответствовать характеру изменения тенденции изучаемого явления. Выбранная функция у=f(t) позволяет получить выровненные (теоретические) значения уровней ряда динамики.

Для отображения трендов  применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические функции и т.д.

Оценка параметров в  моделях у =f(t) находится методом наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в определении таких значений параметров (коэффициентов уравнения), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических была бы минимальной:

                          

                                                          (17)

где y_i- фактическое значение уровня ряда динамики; - расчетные значения; n – число уровней ряда.

 

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой

Аналитическое уравнение  прямой имеет вид:     

                      

,                                                           (18)

где t – порядковый номер периодов времени (или моментов);

      – выровненные значения ряда динамики.

Система нормальных уравнений  в данном случае имеет вид:

                 

                                      (19)

Отсчёт времени удобно производить так, чтобы сумма  показателей времени ряда динамики была равна нулю, то есть: