Анализ рядов динамики

                                

                                                          (20)

При нечётном числе уровней  ряда динамики для достижения равенства (20) уровень, находящийся в середине ряда, условно принимается за начало отсчёта времени, то есть этому периоду  времени (или моменту) придаётся  нулевое значение. Все последующие  за нулевым уровнем обозначаются: +1;+2;+3 и т.д., а все предыдущие уровни в порядке расчёта, начиная от нулевого, обозначаются соответственно: -1;-2;-3 и т.д.

При чётном числе уровней  ряда динамики для достижения равенства (20) уровни первой половины ряда (от конца  этой половины и до начала ряда динамики) нумеруются: -1;-2;-3 и т.д., а уровни второй половины ряда (от начала этой половины и до конца ряда динамики) обознаются соответственно: +1;+2;+3 и т.д.

При соблюдении указанного принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (19) преобразуется к более простому виду:

                         

                                             (21)

Решение системы 21 относительно неизвестных а, b позволяет определить параметры уравнения прямой (18):

                               

                                           (22)

                                                                      (23)

 

Аналитическое выравнивание ряда динамики по параболе

Аналитическое уравнение  параболы имеет вид:

                     

                                                    (24)

Параметры уравнения a ,b и c определяются на основе МНК.

Система нормальных уравнений  в данном случае имеет вид:

                                                         (25)

При соблюдении принципа отсчёта времени t от условного нулевого начала система нормальных уравнений (25) преобразуется к следующему виду:

                                                                       (26)

Решение системы уравнений (26) относительно неизвестных a,b,c  позволяет определить параметры уравнения параболы (24).

Методику расчёта параметров уравнений прямой и параболы для  данных последнего года рассматриваемого периода (табл.1) иллюстрирует табл.5.

 

Таблица 5

Расчетная  таблица для определения параметров уравнений прямой и параболы

Месяцы
1	2	3	4	5	6	7
январь	1 262,3	-6	36	-7 573,8	45 442,8	1 296
февраль	1 250,7	-5	25	-6 253,5	31 267,5	625
март	1 612,0	-4	16	-6 448,0	25 792,0	256
апрель	1 950,0	-3	9	-5 850,0	17 550,0	81
май	2 116,0	-2	4	-4 232,0	8 464,0	16
июнь	2 628,0	-1	1	-2 628,0	2 628,0	1
июль	2 606,0	1	1	2 606,0	2 606,0	1
август	2 178,2	2	4	4 356,4	8 712,8	16
сентябрь	1 857,3	3	9	5 571,9	16 715,7	81
октябрь	1 544,0	4	16	6 176,0	24 704,0	256
ноябрь	1 200,7	5	25	6 003,5	30 017,5	625
декабрь	1 144,7	6	36	6 868,2	41 209,2	1 296
Итого	21349,90	0	182	-1 403,30	255 109,50	4550

 

При подстановке итоговых данных  гр. 2 в формулу 22, итоговых данных гр. 4 и 5 – в формулу 23 параметры  уравнения прямой получают следующие  значения:

Таким образом, основная тенденция  развития ряда отображается уравнением прямой:

Для определения параметров уравнения параболы итоговые данные гр. 2, 4-7 необходимо подставить в систему  уравнений 26:

Решая систему, из 2-го уравнения  определяют значение b: 

Затем из 1-го уравнения  выражают значение а, через параметр с: 

Подставляя значение а в 3-е уравнение системы, получаем уравнение относительно с:

Решение последнего уравнения  позволяет определить значение параметра c, а затем параметра а:

Таким образом, параболическая модель ряда имеет вид:

Правильность расчёта  уровней выровненного ряда динамики проверяется следующим способом: сумма значений уровней эмпирического  ряда должна совпадать с суммой значений уровней выровненного ряда , то есть:

                                                                                               (27)

Для того, чтобы определить, какое из полученных уравнений наиболее адекватно исходному ряду динамики, для  каждого из них рассчитывают  среднеквадратическое отклонение (среднеквадратическую ошибку) , которое определяется по следующей формуле:

                                         ,                                           (28)

где m – число параметров в уравнении тренда (для уравнения прямой m=2, для уравнения параболы m=3).

 

С целью проверки правильности проведенных расчетов параметров уравнений  прямой и параболы, а также выбора наиболее адекватной модели развития изучаемого явления, построена расчётная  табл. 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 6

Расчётная таблица

Месяцы		для уравнения		для уравнения		для уравнения
		прямой	параболы	прямой	параболы	прямой	параболы
1	2	3	4	5	6	7	8
январь	1 262,3	1825,42	978,40	-563,12	283,90	317 104,13	80 599,21
февраль	1 250,7	1817,71	1417,91	-567,01	-167,21	321 500,34	27 959,18
март	1 612,0	1810,00	1776,12	-198,00	-164,12	39 204,00	26 935,37
апрель	1 950,0	1802,29	2053,01	147,71	-103,01	21 818,24	10 611,06
май	2 116,0	1794,58	2248,58	321,42	-132,58	103 310,82	17 577,46
июнь	2 628,0	1786,87	2362,84	841,13	265,16	707 499,68	70 309,83
июль	2 606,0	1771,45	2347,42	834,55	258,58	696 473,70	66 863,62
август	2 178,2	1763,74	2217,74	414,46	-39,54	171 777,09	1 563,41
сентябрь	1 857,3	1756,03	2006,75	101,27	-149,45	10 255,61	22 335,30
октябрь	1 544,0	1748,32	1714,44	-204,32	-170,44	41 746,66	29 049,79
ноябрь	1 200,7	1740,61	1340,81	-539,91	-140,11	291 502,81	19 630,81
декабрь	1 144,7	1732,90	885,88	-588,20	258,82	345 979,24	66 987,79
Итого	21 349,9	21349,9	21349,89	0,0	0,0	3 068172,33	440422,84

 

Равенство итоговых значений гр.2,3,4 показывает, что согласно критерию 27 расчеты коэффициентов уравнений  прямой и параболы выполнены правильно. Графики соответствующих сглаживающих кривых представлены на рис.4.

Рис. 4. Сглаживание  ряда динамики объемов реализации продукции  методом аналитического выравнивания по прямой и параболе

 

Для выбора наиболее адекватной модели развития ряда (прямой или параболы) необходимо рассчитать среднеквадратическое отклонение по формуле 27 с использованием итоговых данных гр.7,8 табл.6. 

 

 

Для уравнения прямой:

,

            Для уравнения параболы:

           

Величина среднеквадратической ошибки , рассчитанная для уравнения параболы значительно меньше, чем для уравнения прямой. Следовательно, уравнение параболы

является более адекватной моделью описания тенденции ряда динамики объемов реализации продукции  по сравнению с уравнением прямой

           

Этот же вывод подтверждают графики сглаживания ряда динамики на рис.4.

Параболическая форма  ряда может объясняться разными  причинами, в том числе наличием сезонной компоненты в развитии явления.

Аналитическое выравнивание рядов динамики широко используется при построении прогнозов на основе метода экстраполяции. Применение программных  продуктов позволяет при помощи компьютеров оперативно определить адекватное уравнение тренда, на основании  которого при необходимости можно  делать прогноз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ВЫЯВЛЕНИЕ СЕЗОННОСТИ

 

Целью выполнения данного  задания является выявление сезонной компоненты в динамике объемов реализации продукции.

 

Определение индексов сезонности реализации продукции

Периодические колебания, которые  имеют постоянный годовой период, определяются как сезонные колебания (сезонные волны).

Сезонные колебания характеризуются  в статистики индексами сезонности

Индекс сезонности ( ) – отношение средней величины уровня, рассчитанной для каждого из 12 календарных месяцев за ряд лет ( ), к среднемесячному уровню ряда динамики за весь рассматриваемый период ( ), выраженное в процентах:

        ,                                                            (29)

где  – средний уровень за i-ый месяц года;

        – среднемесячный уровень за весь пятилетний период исследования.

Расчёты индексов сезонности для данных табл.1 в табл. 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 7

Расчётная таблица для определения  индексов сезонности

Месяцы	Объем реализации, тыс. тонн					Средне- месячный объем реализации, тыс. тонн	Индекс сезонности %
	1-й год	2-й год	3-й год	4-й год	5-й год
январь	956,7	886,8	1 287,3	1 304,7	1 262,3	1 139,56	66,40
февраль	916,7	893,5	1 300,7	1 324,0	1 250,7	1 137,12	66,26
март	1073,9	1080,1	1 577,3	1 589,0	1 612,0	1 386,46	80,79
апрель	1474,4	1433,7	2 061,3	2 088,7	1 950,0	1 801,62	104,98
май	1708,7	1667,1	2 450,7	2 440,7	2 116,0	2 066,80	120,44
июнь	1891,9	1837,2	1804,5	2299,5	2 628,0	2 092,22	121,92
июль	2072,2	3 980,0	3 920,0	2 961,3	2 606,0	3 107,90	181,10
август	1276,0	2 420,1	2 368,7	2 367,6	2 178,2	2 122,12	123,66
сентябрь	1549,5	1 980,2	1 928,7	1 879,3	1 857,3	1 839,00	107,16
октябрь	1259,8	1 620,9	1 580,5	1 553,3	1 544,0	1 511,70	88,09
ноябрь	1 328,4	1 267,4	813,3	1 218,0	1 200,7	1 165,56	67,92
декабрь	1 300,3	1 279,8	1 242,7	1 172,0	1 144,7	1 227,90	71,55
Итого	16808,5	20346,8	22335,7	22198,10	21349,90	-	-