Использование агрегатных индексов в статистическом анализе уровня и качества жизни населения региона

Расчет средней арифметической взвешенной:

                   (5)

Расчет дисперсии:

                                                        (6)

Расчет среднего квадратического  отклонения:

                                   

Расчет коэффициента вариации:

                            (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средний объем валового дохода домохозяйств составляет 229,2 млн руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 13,63 млн руб. (или 5,94%), наиболее характерные значения объема валового дохода  находятся в пределах от 215,57 млн руб. до 242,83 млн руб. (диапазон ).

Значение V_σ = 5,94% не превышает 33%, следовательно, вариация кредитных вложений в исследуемой совокупности домохозяйств  незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =229,2 млн руб., Мо=228,46 млн руб., Ме=229 млн руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности домохозяйств. Таким образом, найденное среднее значение объема валового дохода домохозяйств (229,2 млн руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности домохозяйств.

4.Вычисление средней арифметической по исходным данным

Для расчета применяется формула  средней арифметической простой:

,                  (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается  в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти домохозяйств, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

Задание 2

Связь между признаками – валовой доход и расходы на продукты питания в среднем на одного члена домохозяйства в год.

По условию Задания 2 факторным  является признак Объем валового дохода (X), результативным – признак Расходы на продукты питания (Y).

1. Установление  наличия и характера связи  между признаками Объем валового дохода и Расходы на продукты питания методом аналитической группировки

Применение метода аналитической  группировки

При использовании метода аналитической  группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – валовый доход и результативным признаком Y – расходы на продукты питания. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7):

 

Таблица 7

Зависимость валового дохода  от расходов на продукты питания 

Номер группы	Группы домохозяйств по объему валового дохода, млн руб., х	Число домохозяйств, fj	Расходы на продукты питания, млн руб
			всего	в среднем на одно домохозяйство,
1
2
3
4
Итого

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 8.

 

 

Таблица 8

• Зависимость валового дохода от расходов на продукты питания

Номер группы	Группы домохозяйств по объему валового дохода, млн руб., х	Число домохозяйств, fj	Расходы на продукты питания, млн руб.
			всего	в среднем на одно домохозяйство,
1	198-210	3	348	116,0
2	210-222	5	603	120,6
3	222-234	12	1495	124,58
4	234-246	6	764	127,3
5	246-258	4	532	133
	Итого	30	3742	124,7

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением объема валового дохода от группы к группе систематически возрастает и средняя расход по каждой группе домохозяйств, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение  тесноты и силы корреляционной  связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные  показатели – эмпирический коэффициент  детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический  коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                            (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                    (10)

где  y_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                            (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                       (12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

 

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер домохозяйства п/п	Расходы на продукты питания, млн руб.
1	2	3	4	5
1	121	-3,7	13,69	14641
2	116	-8,7	75,69	13456
3	126	1,3	1,69	15876
4	128	3,3	10,89	16384
5	126	1,3	1,69	15876
6	122	-2,7	7,29	14884
7	127	2,3	5,29	16129
8	135	10,3	106,09	18225
9	123	-1,7	2,89	15129
10	122	-2,7	7,29	14884
11	115	-9,7	94,09	13225
12	125	0,3	0,09	15625
13	129	4,3	18,49	16641
14	121	-3,7	13,69	14641
15	124	-0,7	0,49	15376
16	124	-0,7	0,49	15376
17	116	-8,7	75,69	13456
18	123	-1,7	2,89	15129
19	127	2,3	5,29	16129
20	135	10,3	106,09	18225
21	117	-7,7	59,29	13689
22	123	-1,7	2,89	15129
23	122	-2,7	7,29	14884
24	125	0,3	0,09	15625
25	127	2,3	5,29	16129
26	130	5,3	28,09	16900
27	135	10,3	106,09	18225
28	125	0,3	0,09	15625
29	127	2,3	5,29	16129
30	126	1,3	1,69	15876
Итого	3742	1	765,9	467518

 

Расчет общей дисперсии  по формуле (10):

 

Общая дисперсия может быть также  рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

      – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного  примера 

Тогда

Межгрупповая  дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                                                (13)

где     –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Группы домохозяйств по размеру валового дохода, млн руб.	Число домохозяйств,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
198-210	3	116,0	-8,7	227,07
210-222	5	120,6	-4,1	84,05
222-234	12	124,58	-0,12	0,1728
234-246	6	127,3	2,6	40,56
246-258	4	133	8,3	275,56
Итого	30			627,4128