Использование среднеарифметических индексов в статистическом анализе деятельности предприятий торговой сети

Задача 1. Имеются данные выпуска продукции по заводу строительных пластмасс (табл. 1.1):

Вид продукции	Выпуск продукции в I квартале, млн. руб.	Изменение объема производства во II квартале в натуральной выражении, %
Пленка Пеноплен Линолиум	30 25 40	+10 -10 -25

Определить  сводную оценку изменения объема производства продукции (в натуральном  выражении)

Решение: из условия следует, что индивидуальные индексы по видам продукции имеют следующие значения:

i’=1,1;    i”=0,9;    i’”= 0,75.

Индекс  физического объема продукции:

 

 

Следовательно, объем производства в натуральном  выражении во втором квартале по сравнению  с первым уменьшился на 10%.

Каждый качественный показатель связан с тем или иным объемным показателем, в расчете на единицу которого он исчисляется. Так, с объемом произведенной (проданной) продукции связаны такие качественные показатели, как цена р, себестоимость z и трудоемкость t.

В условиях рыночных отношений в экономике  особое место среди индексов качественных показателей отводится индексу  цен. Покажем преобразование агрегатного  индекса качественного показателя в средний арифметический на примере индекса цен. Выразим из индивидуального индекса цен:

_{Цену отчетного  периода р1 = i0*p0 и подставим в числитель формулы агрегатного индекса цен Ласпейреса:}

 

 

то получим средний арифметический индекс цен, тождественный агрегатному  индексу Ласпейреса:

 

Весами осредняемых индивидуальных индексов в этом индексе служит объем товарооборота в базисном периоде (p₀q₀). Аналогично индексу цен исчисляются и средние индексы себестоимости продукции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчетная часть

Задание 1.

По исходным данным:

1. построить статистический ряд распределения предприятий по признаку цена товара образовав пять групп с равными интервалами;
2. графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения;
3. рассчитать характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделать выводы по результатам выполнения пунктов 1,2,3 задания;
4. вычислить среднюю арифметическую по исходным данным, сравнить ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

 

Решение:

Имеются следующие  выборочные данные за отчетный период по предприятиям розничной торговой сети (выборка 10%-ная, механическая):

№ предпри-ятия	Цена товара, руб./шт.	Выручка от продаж, млн. руб.	№ предпри-ятия	Цена товара, руб./шт.	Выручка от продаж, млн. руб.
1	1100,9	518,8	16	1150,1	614,0
2	1441,1	942,5	17	1446,6	959,9
3	1106,9	530,0	18	1214,3	648,4
4	1136,2	566,5	19	1471,4	960,2
5	1252,1	696,4	20	1360,6	837,2
6	1288,1	737,8	21	1094,6	512,9
7	996,1	387,4	22	1085,0	454,6
8	1337,6	801,1	23	1166,4	622,1
9	971,4	360,1	24	1182,7	628,6
10	1147,9	569,4	25	1215,6	661,7
11	1095,1	511,4	26	1237,1	672,4
12	1230,3	661,3	27	1185,4	641,9
13	1378,6	862,2	28	1239,4	685,3
14	1122,3	549,8	29	1286,9	719,6
15	1013,4	393,7	30	1358,9	807,8

 

1) Чтобы построить  статистический ряд распределения  предприятий по признаку цена  товара, образовав 5 групп с равными  интервалами, определим величину  интервала по формуле:

 где

= 1471,4 руб./шт. (максимальное значение группировочного признака – цена товара), = 971,4 руб./шт. (минимальное значение), n = 5 (число групп).

Следовательно, ширина интервала составит:

 руб./шт.

        Таким образом имеем следующее распределение предприятий по группам (табл. 2.1):

      Табл. 2.1 Распределение предприятий  по цене товара

№ группы	Группы предприятий по цене товара, руб/шт.	Число предприятий
		В абсолютном выражении	В относительных единицах, %
1	971,4-1071,4	3	10,0
2	1071,4-1171,4	10	33,3
3	1171,4-1271,4	8	26,7
4	1271,4-1371,4	5	16,7
5	1371,4-1471,4	4	13,3
Итого:		30	100,0

 

Составим  рабочую группировочную таблицу 2.2 и посчитаем групповые итоги:

     Табл. 2.2 Распределение предприятий  по цене товара

№ группы	Группы предприятий по цене товара, руб./шт.	Номер организации	Цена товара, руб./шт.
1	971,4-1071,4	7	996,1
		9	971,4
		15	1013,4
Итого:		3	2980,9
2	1071,4-1171,4	1	1100,9
		3	1106,9
		4	1136,2
		10	1147,9
		11	1095,1
		14	1122,3
		16	1150,1
		21	1094,6
		22	1085,0
		23	1166,4
Итого:		10	11205,4
3	1171,4-1271,4	5	1252,1
		12	1230,3
		18	1214,3
		24	1182,7
		25	1215,6
		26	1237,1
		27	1185,4
		28	1239,4
Итого:		8	9756,9
4	1271,4-1371,4	6	1288,1
		8	1337,6
		20	1360,6
		29	1286,9
		30	1358,9
Итого:		5	6632,1
5	1371,4-1471,4	2	1441,1
		13	1378,6
		17	1446,6
		19	1471,4
Итого:		4	5737,7
Всего:		30	3631,3

 

2) Построим  графики, найдем моду и медиану:

         Мода – это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

где х_Мо – нижняя граница модального интервала;

      i_Mo – величина модального интервала;

       f_Mo – частота модального интервала;

       f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

        f_Mo – частота интервала, следующего за модальным;

         Интервал с границами 1071,4-1171,4 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту (10).

         Тогда мода равна:

руб./шт.

Почти совпадает  со значением, найденным по графику (рис.2.1).

Рисунок 2.1 Распределение предприятий по цене товара

         Медиана – это вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части. Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

где x_Mе - нижняя граница медианного интервала;

i_Mе - величина медианного интервала;

Σf - сумма частот ряда;

S_Mе-1 - сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

f_Mе - частота медианного интервала.

 

Для определения  медианного интервала найдем накопленную  частоту каждого последующего интервала  до тех пор, пока она не превысит суммы накопленных частот (в данном случае – 15).

Тогда медиана  равна: руб./шт., почти совпадает со значением, найденным по графику (рис. 2.1).

        3) Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения аналитически: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Расчет оформим в таблице 2.3.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений переходят к их серединам.

Таблица 2.3.

Группа предприятий по цене товара	Число пред-приятий fj	Середина интервала	Расчетное значение
971,4-1071,4	3	1021,4	3064,2	-190	36100	108300
1071,4-1171,4	10	1121,4	11214,0	-90	8100	81000
1171,4-1271,4	8	1221,4	9771,2	10	100	800
1271,4-1371,4	5	1321,4	6607,0	110	12100	60500
1371,4-1471,4	4	1421,4	5685,6	210	44100	176400
Итого	30		36342,0			427000

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний уровень цены товара:

 руб./шт.

Средне  квадратическое отклонение равно:

  руб./шт.

Среднее квадратическое отклонение равно 119,304 руб./шт. Полученная величина показывает, что уровень цены товара отклоняется от средневзвешенного уровня цены товара в среднем на 119,304 руб./шт.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

V не превышает 33%, следовательно, данная совокупность предприятий одной из отраслей промышленности в отчетном году однородна.

 

1.4. Вычислим  среднюю арифметическую по исходным  данным и сравним ее с аналогичным  показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения.

По исходным данным (табл. 2.3.) среднегодовой уровень производительности труда равен (средняя арифметическая):

 руб./шт.

Если  среднее значение признака в каждом интервале заменяется серединой  интервала, то из-за условности назначения границ в верхнем и нижнем интервалах фактическое общее среднее значение может быть или выше расчетного –  при общей тенденции увеличения анализируемого признака, или ниже – при общей тенденции снижения уровня показателя. В данном случае средний уровень среднегодовой цены товара по интервальному ряду в 1211,4 руб./шт. дает завышенный результат по сравнению с расчетом по не сгруппированным данным в 1210,4 руб./шт.

Задание 2.

По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:

1. Установите наличие и характер  корреляционной связи между признаками цена товара (первый признак х – факторный) и выручка от продаж (второй признак у – результативный), используя метод аналитической группировки;

2. оценить силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное соотношение;

3. оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения задания.

Решение:

Для проведения аналитической группировки проведем группировку торговых организаций  по 5-ти интервалам в зависимости  от цены за 1 кг картофеля. Величина интервала равна:

h = (17,0 – 7,0) / 5 = 2, 0 руб

Отсюда  путем прибавления величины интервала  к минимальному уровню признака в  группе получим группы организаций  по значению цены за 1 кг и соответствующие им значения количества проданной продукции.