Измерение и прогнозирование в статистических исследованиях

 

Таблица 13 - Матрица парных коэффициентов корреляции

-	y	x1	x2
y	1	0.61	-0.59
x1	0.61	1	0.25
x2	-0.59	0.25	1

 

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор  факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых r_yxi < 0.5 исключают из модели.

Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

 

r(x_jy) > r(x_kx_j);              (35)

 

r(x_ky) > r(x_kx_j).                      (36)

 

Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот  параметр x_k или x_j, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.

При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что  чем ближе к 0 определитель матрицы  межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.

Для отбора наиболее значимых факторов x_i учитываются следующие условия:

• связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
• связь между факторами должна быть не более 0.7;
• при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними.

Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результат фактора x_i при неизменном уровне других факторов.

3.4.1 Модель регрессии в стандартном масштабе

 

Модель регрессии в  стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

,              (37)

 

где х_ji - значение переменной х_ji в i-ом наблюдении.

 

         (38)

 

Таким образом, начало отсчета  каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения  принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными  в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

 

t_y = ∑β_jt_xj               (39)

 

Для оценки β-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

 

      r_x1y=β₁+r_x1x2•β₂ + ... + r_x1xm•β_m

r_x2y=r_x2x1•β₁ + β₂ + ... + r_x2xm•β_m

...

r_xmy=r_xmx1•β₁ + r_xmx2•β₂ + ... + β_m                  (40)

 

Для наших данных:

 

0.614277680995 = β₁ + 0.245205802365β₂

 

-0.587190954891 = 0.245205802365β₁ + β₂

 

Откуда находим:

β₁ = 0.8067679474756;

β₂ = -0.7850151367735;

Стандартизированная форма  уравнения регрессии имеет вид:

 

y⁰ = 0.807x₁ -0.785x₂                (41)

 

Найденные из данной системы  β–коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

 

         (42)

 

         (43)

3.5 Анализ параметров уравнения регрессии

 

Перейдем к статистическому  анализу полученного уравнения  регрессии: проверке значимости уравнения  и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации.

Для несмещенной оценки дисперсии  проделаем следующие вычисления.

Несмещенная ошибка:

 

ε = Y - Y(x) = Y - X*s                      (44)

 

Таблица 14 – Таблица расчетов

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2
1	1.21	-0.21	6.83
1	0.51	0.49	6.83
1	0.64	0.36	6.83
1	1.36	-0.36	6.83
1	0.43	0.57	6.83
1	0.82	<span class="Text_0020body__Ch