Контрольная по статистике

Задача 1.

По данным таблицы произвести группировку предприятий по  размеру  основных фондов валовой продукции, выделив 4-5 групп.

Установить зависимость  прибыли предприятия от  размера,  численности и объема выпускаемой  продукции.  Сделать выводы.

По группе предприятий  имеются следующие данные:

 

Номер п/п	Валовая продукция, млн. руб.	Среднегодовая стоимость  основных производственных фондов, млн. руб.	Среднесписочное число работающих	Прибыль, тыс. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1360 2480 1280 1230 1330 1490 780 960 1960 1920 1340 1300 1550 930 1840 1360	145 219 319 132 538 238 144 176 202 295 201 330 355 140 298 335	1390 1470 1590 840 1240 680 760 890 900 1180 740 1020 780 850 1180 1030	269 130 219 196 304 173 253 318 222 358 473 305 290 300 420 400

 

Число интервалов равно m=5, Х - размер основных фондов валовой продукции, Х макс =2480, Х мин= 780, длина интервала равна :

i= =340

Новая таблица с учетов группировки:

Валовая продукция, млн. руб.	780-1120	1120-1460	1460-1800	1800-2140	2140-2480
Число предприятий	3	7	2	3	1

 

Задача 2.

Дальность перевозки каменного  угля из одного бассейна  характеризуется  следующими данными:

Х Дальность перевозки каменного угля, км	500-550	550-600	600-650	650-700	700-750	750-800	800-850	850-900
F Удельный вес перевозки  (% к итогу)	10,1	20,4	23,1	30,4	10,0	3,1	1,8	1,4

Определите:

     1) среднюю дальность  перевозки;

     2) моду и  медиану;

     3) коэффициент  вариации;

     4) асимметрию  и эксцесс.

Постройте полигон и гистограмму  распределения.

_{Решение:}

1. Средняя арифметическая взвешенная равна:

= =(525*10.1+575*20.4+625*23.1+675*30.4+725*10+775*3.1+825*1.5+875*1.4)/(10.1+20.4+23.1+30.4+10+3.1+1.5+1.4)= 64352,5/100.3= 641,6002

2. Выборочная мода для интервального статистического ряда вычисляется по следующей формуле:

Mо = x_Mo + h

где Х_Mo – нижнее значение модального интервала; 
f_Mo – частота модального интервала; 
f_Mo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному; 
f_Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;  
h – величина интервала .

Модальный интервал –  это интервал, имеющий наибольшую частоту . В нашем случае это интервал [650 ; 700) , имеющий частоту  30.4.

Получаем:

Мо =650+50* =663,1769

Выборочная медиана для  интервального статистического  ряда вычисляется по следующей формуле:

Me = x_Mе + h

где Х_Me – нижнее значение медианного интервала; 
f_Me – частота медианного  интервала; 
h – величина интервала;

S_Me-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Медианный интервал – это  интервал, такой интервал, что до него сумма накопленных частот меньше половины объема выборки, а после  него больше половины объема выборки. В нашем случае это интервал [600;650) , имеющий частоту  23,1.

Получаем:

Me =600+50* = 642,5325

3)

Вычисляем выборочную дисперсию  по формуле:

                              

Получаем:

 = ((525-642)² ∙10,1 + (575,6-642)² ∙ 20,4 + (625-642)² ∙ 23,1 + (675,4-642)² ∙ 30,4  + (725-642)² ∙ 10+ (775-642)² ∙ 3,1+(825-642)² ∙ 1,8+ (875-642)² ∙ *1,4)/100,3= 5280,266

Выборочное среднее  квадратическое  отклонение σ = = 72,7

Коэффициент вариации вычисляется  по формуле:

                                          

Где σ – среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии)..

Вычисляем коэффициент вариации:

                                           =11,32%

3. ассимметрия

  = ((525-642)³ ∙10,1 + (575,6-642)³ ∙ 20,4 + (625-642)³ ∙ 23,1 + (675,4-642)³ ∙ 30,4  + (725-642)³ ∙ 10+ (775-642)³ ∙ 3,1+(825-642)³ ∙ 1,8+ (875-642)³ ∙ *1,4)/100,3= 458,1604

As=458,1604/(72.7) ³=0,546301

 = ((525-642)⁴ ∙10,1 + (575,6-642)⁴ ∙ 20,4 + (625-642)⁴ ∙ 23,1 + (675,4-642)⁴ ∙ 30,4  + (725-642)⁴ ∙ 10+ (775-642)⁴ ∙ 3,1+(825-642)⁴ ∙ 1,8+ (875-642)⁴ ∙ *1,4)/100,3=

Ex=458,1604/(72.7) ⁴ - 3=0,556409

 

Задача 3.

Произведено выборочное обследование  длительности  производственного  стажа рабочих. в выборку было взято 100 рабочих из общего количества в 1000 человек. Результаты выборки следующие:

 

Продолжительность стажа  в годах Х	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
Число рабочих F	20	40	25	10	5

 

        Определите:

     1) с вероятностью 0.997 возможные пределы  колебаний   средней продолжительности стажа  всех рабочих;

     2) какое число  рабочих надо взять в выборку,  чтобы  ошибка  не превышала  0.5 года.

_{Решение:}

1. средняя продолжительность стажа  рабочих равна

 

= (1*20+3*40+5*25+7*10+9*5)/(20+40+25+10+5) = 3,8

 = ((1-3,8)² ∙ 20+ (3-3,8)² ∙ 40+(5-3,8)² ∙ 25+(7-3,8)² ∙ 10+(9-3,8)² ∙ 5)/100= 6,84

Выборочное среднее  квадратическое  отклонение σ = = 2,16

 

 P{| ген - | ≤ t μ } = 2∙Ф(t)

где Ф(t) – функция Лапласа, ген – генеральная средняя .

μ  - средняя ошибка выборки

В нашем случае 2∙ Ф(t) = 0,997

По таблице удвоенной  функции Лапласа находим  t для вероятности 0,997: 

 t =3.

 

Средняя ошибка выборки  вычисляется по формуле:

, где  σ² – выборочная дисперсия,  n  - объем выборки

Получаем:   μ = 0,2

Или:

P{| ген – 3,8 | ≤ 3∙ 0,2 } = 0,997    или

P{| ген – 3,8 | ≤ 0,6 } = 0,997 

Раскрывая модуль, получаем доверительный интервал для среднего веса изделий в генеральной совокупности при уровне вероятности суждения 0,957:

      3,8 - 0,6  ≤   ген  ≤  3,8 + 0,6   или

   3,2    ≤   ген  ≤    4,4

Итак, с вероятностью 0,997  средняя продолжительность  стажа  рабочих попадает в интервал  [3,2 ; 4,4] лет

 

 

Задача 4.

     Имеются следующие  данные:

Виды продукции	Единица измерения	Произведено продукции		Затрачено времени  на всю продукцию, в чел.- днях
		Январь q0	Февраль q1	Январь t0	Февраль t1
А Б	т тыс. м	1270 3540	1430 3570	170825 113950	176400 107400

           По приведенным данным определите:

     1) индекс физического  объема продукции;

     2) индекс производительности  труда;

     3) экономию  (перерасход) затрат труда в зависимости    от   изменения   производительности труда.

Решение:

1. Индивидуальный индекс физического объема:

A - =1,125984

B - = 1,008475

Общий индекс физического  объема:

 
= = = 1,061

 

2. Индивидуальный индекс производительности труда 

A - 176400/170825=1,032636

B - 107400/113950=0,942519

= =634240000/620330750=1,022422

 

3. Абсолютное изменение затрат труда 

Δtq = 634240000-620330750=13909250 – перерасход затрат труда

 

 

 

   

   Задача 5.

     Рассчитайте  территориальный индекс на товары  города А по  отношению к  городу Б.  

Наименование	Город А		Город Б
товара	Цена за единицу, руб.	продано единиц	Цена за единицу, руб.	продано единиц
А	24	118	25	300
Б	57	66	55	40
В	30	2	40	10
С	38	6	36	12

Решение

I_p(А/Б)= (∑р_А*q_A)/(∑ р_Б*q_A)

А) I_p(А/Б)= (118*24)/(25*118)=0,96

Б) I_p(А/Б)= (57*66)/(55*66)= 1,03636364

В) I_p(А/Б)= (30*2)/(40*2) = 0,75

С) I_p(А/Б)= (38*6)/(36*6) = 1,05555556

I_p(А/Б)=(118*24+57*66+30*2+38*2)/(25*118+55*66+40*2+36*6) = 0,97876672

Ответ: территориальный индекс на товары города А по отношению  к городу Б равен 0,98.

Задача 6.

 По данным задачи 1 рассчитайте коэффициенты Фехнера.  Объясните полученные результаты.

Номер п/п	Валовая продукция, млн. руб.	Прибыль, тыс. руб.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1360 2480 1280 1230 1330 1490 780 960 1960 1920 1340 1300 1550 930 1840 1360	269 130 219 196 304 173 253 318 222 358 473 305 290 300 420 400

Коэффициент корреляции знаков.

Коэффициент корреляции знаков, или коэффициент Фехнера, основан  на оценке степени согласованности  направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного  признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:

 

где n_a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n_b - число несовпадений.

Коэффициент Фехнера может  принимать значения от –1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном  наличии прямой связи, Kф = -1 свидетельствует  о возможном наличии обратной связи.

Рассмотрим на примере  расчет коэффициента Фехнера по данным, приведенным в таблице:

Средние значения:

 

 

 

Xi	Yi	Знаки отклонений от средней  X	Знаки отклонений от средней  Y	Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков
1360	269	-	-	A
2480	130	+	-	B
1280	219	-	-	A
1230	196	-	-	A
1330	304	-	+	B
1490	173	+	-	B
780	253	-	-	A
960	318	-	+	B
1960	222	+	-	B
1920	358	+	+	A
1340	473	-	+	B
1300	305	-	+	B
1550	290	+	+	A
930	300	-	+	B
1840	420	+	+	A
1360	400	-	+	B
23110	4630

 

 

Значение коэффициента свидетельствует  о том, что можно предполагать наличие обратной связи.