Контрольная работа по "Статистике"

 

Тогда оценочное уравнение  регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α  и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов  дает наилучшие (состоятельные, эффективные  и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Но только в том  случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК  можно записать так:

S = ∑(y_i - y^*_i)² → min

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система  уравнений имеет вид

20a + 1716 b = 3994

1716 a + 176950 b  = 397066

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.83, a = 42.69

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 1.83 x + 42.69

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

1. Параметры  уравнения регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое  отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Ковариация.

 

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

Линейный коэффициент  корреляции принимает значения от –1 до +1.

В нашем примере связь  между признаком Y фактором X  высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент  линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент  регрессии b:

 

1.2. Уравнение  регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение  регрессии имеет вид y = 1.83 x  + 42.69

Коэффициентам уравнения  линейной регрессии можно придать  экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 1.83 показывает среднее изменение  результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 1.83.

Коэффициент a = 42.69 формально  показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится  далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к  неверным результатам, и даже если линия  регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение  регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и  х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

1.3. Коэффициент  эластичности.

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются  коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении  Х на 1%, Y изменится менее чем  на 1%. Другими словами - влияние Х  на Y не существенно.

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

 

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 0.85 среднеквадратичного отклонения S_y.

1.4. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

 

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

1.5. Эмпирическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение  тесноты зависимости. Изменяется в  пределах [0;1].

 

 

где

 

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии  индекс корреляции равен коэфииценту  корреляции r_xy = 0.849.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y

Для любой формы зависимости  теснота связи определяется с  помощью множественного коэффициента корреляции:

 

Данный коэффициент  является универсальным, так как  отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции r_xy.

В отличие от линейного  коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

1.6. Коэффициент  детерминации.

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.849² = 0.7207

т.е. в 72.07 % случаев изменения  х приводят к изменению y. Другими  словами - точность подбора уравнения  регрессии - высокая. Остальные 27.93 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными  в модели.

 

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
57	156	3249	24336	8892	147	1909.69	81.04	829.44	0.0577
100	213	10000	45369	21300	225.69	176.89	160.91	201.64	0.0596
112	298	12544	88804	33376	247.64	9662.89	2535.67	686.44	0.17
106	242	11236	58564	25652	236.66	1789.29	28.46	408.04	0.022
62	130	3844	16900	8060	156.15	4858.09	683.68	566.44	0.2
60	184	3600	33856	11040	152.49	246.49	993.04	665.64	0.17
34	96	1156	9216	3264	104.91	10753.69	79.37	2683.24	0.0928
109	304	11881	92416	33136	242.15	10878.49	3824.84	538.24	0.2
38	95	1444	9025	3610	112.23	10962.09	296.83	2284.84	0.18
115	352	13225	123904	40480	253.13	23195.29	9774.42	852.64	0.28
64	148	4096	21904	9472	159.81	2672.89	139.41	475.24	0.0798
85	180	7225	32400	15300	198.24	388.09	332.55	0.64	0.1
92	132	8464	17424	12144	211.05	4583.29	6248.21	38.44	0.6
130	314	16900	98596	40820	280.58	13064.49	1116.66	1953.64	0.11
132	235	17424	55225	31020	284.24	1246.09	2424.91	2134.44	0.21
41	80	1681	6400	3280	117.72	14328.09	1422.69	2007.04	0.47
40	113	1600	12769	4520	115.89	7516.89	8.34	2097.64	0.0256
184	300	33856	90000	55200	379.4	10060.09	6304.43	9643.24	0.26
50	142	2500	20164	7100	134.19	3329.29	61.03	1281.64	0.055
105	280	11025	78400	29400	234.83	6448.09	2039.88	368.64	0.16
1716	3994	176950	935672	397066	3994	138070.2	38556.4	29717.2	3.51

2. Оценка параметров  уравнения регрессии.

2.1. Значимость  коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента  с уровнем значимости α=0.05 и степенями  свободы k=18 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (18;0.025) = 2.101

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим

В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

2.2. Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

 

r(0.7178;0.9802)

 

Список литературы

1. Богородская Н. А., Киселева Е. М. Статистика, Методические указания к практическим занятиям Санкт-Петербург, 2006. – 102с.
2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике г. Москва “Финансы и статистика” 2003.-192 с.
3. Ниворожкина Л. П., Морозова 3. А.,   Герасимова И. А., Житников И. В. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. — Ростов н/Д:  Феникс, 1999. — 320 с. — (Учебники «Феникса»).
4. Ряды распределения. Ряды распределения и их построение. [электронный ресурс] http://www.hi-edu.ru/e-books/xbook096/01./index.html?part-007.htm
5. Чернова Т.В. Экономическая статистика Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999, 140 с.